From: Peter Schaefer Date: Mon, 21 Oct 2013 16:04:42 +0000 (+0200) Subject: merged X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;p=anaalg.git merged --- e136333382f75befbb1260e5d57e2128eaa4aeba diff --cc Vorlesung.pdf index 1e903de,3848c8f..a6628b8 Binary files differ diff --cc Vorlesung.tex index 6afcfb7,d13586a..ede79d8 --- a/Vorlesung.tex +++ b/Vorlesung.tex @@@ -18,30 -17,15 +18,31 @@@ \maketitle \end{titlepage} -\setcounter{secnumdepth}{-1} +% \setcounter{secnumdepth}{-1} +\section{Übersicht} + +\href{https://tiss.tuwien.ac.at/course/educationDetails.xhtml?windowId=cb1&courseNr=104345&semester=2013W}{104.345 Analyse von Algorithmen}\\ +2013W, VO, 3.0h, 4.5EC\\ + +\subsection*{Merkmale} +\begin{itemize} + \item Semesterwochenstunden: 3.0 + \item ECTS: 4.5 + \item Typ: VO Vorlesung +\end{itemize} + + +\subsection*{Ziele der Lehrveranstaltung} + +Vermittlung von Werkzeugen zur Analyse konkreter Algorithmen. + +\subsection*{Inhalt der Lehrveranstaltung} + +Methoden und konkrete Beispiele für die Analyse von Algorithmen und Datenstrukturen. + -\section{Kurzzusammenfassung} -Das ist die "ge {\TeX} te" Mitschrift zur Vorlesung... \newpage -\begin{bew} - -\end{bew} +\section{day 2} \begin{align*} \sum_{i=1}^k a_i c_5 (x b_i)^\alpha (1+\int_1^{xb_i} \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}}du) + g(x)\\ @@@ -76,7 -60,7 +77,11 @@@ $F_x(1) = 1, F_x'(1) = \E X, F_x''(1) \ $\E[X^2] = F_x''(1) + F_x'(1)$ ++<<<<<<< HEAD +Varianz $\V[X] = \E(X-\E X)^2 = F_x''+F_x'-F_x'^2$ ++======= + Varianz $\mathbb{V}[X] = \E(X-\E X)^2 = F_x''+F_x'-F_x'^2$ ++>>>>>>> 85c4b486aeff80d8f2afbde025b22b8db2abbaf8 Unabhängigkeit $ X,Y, \E[f(x),g(y)] = \E[f(x)]\E[g(y)]$ @@@ -120,143 -104,4 +125,142 @@@ $C_N = 2(N+1)H_N+4N = 2NlogN + O(N) Mergesort $NlogN + O(N)$ + +\newpage +\section{day 3} + +Quicksort $X_N = \# $ Vergleichsoperationen bei $N$ Datensätzen + +$F_N(z) = \E[z^{X_N}] = \frac{z^{N-1}}{N} \sum_{k=1}^N F_{k-1}(z)f_{N-k}(z)$ + +$F_0 = F_1= 1$ + +$C_N = \E[X_N] = N-1 + \frac{z}{N} \sum^{N-1} C_k$ + +$C_0 = C_1 = 1$ + +$ NC_N = N(N-1) + Z \sum C_k$ + +$(N-1) C_{N-1} = (N-1)(N-1) + z sum c_k$ + +$NC_N - (N-1) C_{N-1} = ...$ + +$H_N = 1 + 1/2 + 1/3 ...$ Harmonische Zahl + +$= logN + \gamma + O(1/N)$ $\gamma$ Eulersche Konstante + +$C_N/(N+1) = sum_{k=1}^N \frac{2(k-1)}{k(k+1)}$ +Mit Partialbruchzerlegung abschätzen $-z/k + 4/(k+1)$ + +$= H_N - 4 + 4/(N+1)$ + +$C_N = 2(N+1)H_N -4N$ + +$C_N = 2NlogN + O(N)$ + +Mergesort $Nlog_2N + O(N)$ = $ Nlg N/log + O(N)$ + +$QS/MS \approx 2N lg N / (N log_2 N) ) 2 lg2 = 1,386$ +Wert sehr gut, im mittel ist Mergesort besser aber durch verteilung ist Quicksort sehr gut. + +Satz. $\E[X_N] = 2N lg N + O(N)$ und $\V[X_N] = 7-2/3 \pi^2)N$ + +Beweisidee, 2x ableiten und dann mit Formel Varianz ausrechnen, durch auslöschungen, fällt sehr viel weg und man muss sehr genau arbeiten um ein gutes ergebniss zu bekommen + +Wurzel Varianz ist bereich in dem Die Masse sich abspielt, und gibt mehr aussage als das Mittel. + +Tschebyscheffsche Ungleichung + +$\P[X_N -\E X_N]> t] \leq \V[X_N] / t^2$ greift für $t\geq \sqrt{\V X_N}$ + +Ab der Wurzelvarianz grenze klingt die sehr schnell Verteilung ab. + +Beweis der Tsch Ungl. +$\V[X] = \E(X-\E X)^2 = \int_\R (x-\E X)^2 dP(x)$ +Integral in zwei Integrale zerlegen + +$= \int_{x: |x-\E X| \leq t} + \int_{x: |x-\E X| > t} \geq \int_{x: |x-\E X| > t} (x- \E X)^2 dP(x) \leq t^2 \int 1 dP(x) = t^2\P[X-\E X \> t$ + +Abklingintervall ist im Vergleich zum Erwartungswert sehr klein. + +Satz. Wenn $\V X_N / (\E X)^2 \rightarrow 0$, dann konvergiert $X_N / (\E X_N) \rightarrow^P 1$ Das heißt $X_N$ beim Erwartungswert konzentriert. Konvergenz in Wahrscheinlichkeiten! + +$lim_{N\to\infty} \P [X_N/\E X_N -1 \geq \epsilon] = 0$ + +Nur dann ist der Erwartungswert aussagekräftig und sagt wirklich was über die Verteilung aus. + +$\V X = \E[X^2] - (\E X) ^2$ + +Ist auch wirklich oftmals konzentriert. + +Im folgenden interessieren wir uns hauptsächlich für die Konzentration von Zufallsvariablen, mittels der Varianz. + +Im Folgenden wollen wir Quicksort noch verbessern. + +Bei einem Pivot kann die Verteilung sehr ungleichmäßig sein. Für Median of three ist die Verteilung besser. Median von drei Pivot elementen. + +Median-of-3-Quicksort + +Wir ignorieren zunächst den Aufwand zur Medianbestimmung. Interessanter ist die $I_N$ aufteilung. + +$X_N = N-1 + X_{I-1}^{(1)} + X_{N-I}^{(2)}$ +$I$ ist diesmal der Median of 3, $\P[I_n = k] = (k-1)(N-k) / \binom{N}{3}$ + +$F_N(z) = z^{N-1} / \binom{N}{3} \sum (k-1)(N-k) F_{k-1}(z)F_{N-k}(z)$ + +Durch ableiten bekommen wir wieder: + +$C_N = F_N'(1) = N-1+ 2/\binom{}{} \sum (k-1)(N-k) C_k$ + +Satz. Median ... QS + +$\E X_N = 12/7 NlogN + O(N)$ ... $12/7 log2 = 1.118$ +$\V X_N \approx c N $ + +für größere Median of ... wird die Konstante noch besser und geht gegen 1. Nur konvergiert die Folge ab 3 nur sehr langsam und es lohnt sich nicht größere zu wählen. + +Rekursion +$N(N-1)(N-2)C_N ) $ +Mit Erzeugenden Funktionen, einer Potenzreihe $C(X) = \sum_{N\geq0} C_NX^N$. Ist DGL und man braucht strategien zum Lösen! + +\section{day4} + +$C_N = N-1 +2 \sum_{k=1} \frac{(k-1)(N-k)}{\binom{N}{3}} C_{k-1}$ + +$C_N = 12/7 N log N + O(N)$ + +$\binom{N}{3} = \frac{N(N-1)(n-2)}{6}$ + +$N(N-1)(N-2) C_N = ...$ + +ist nicht sehr schön, also erzeugende Funktion + +$C(X) = \sum_{N\geq0} C_N X^N$ + +Konvergenzradius kleiner eins, also $|X| < 1$. Für $N!$ hat keinen endlichen Konvergenzradius. + +Durch dreimal differenzieren-> + +$C'''(X) = \sum N(N-1)(N-2)C_N X^{N-3}$ + +wir können deshalb einfach mit $X^{N-3}$ multiplizieren. + +$C'''(X) = 12 \frac{1+x}{(1-x)^5} + 12* \frac{C'(x)}{(1-x)^2}$ + +Ableitung multiplizieren mit $C'*1/(1-x)^2$ + +Produkt bilden und sortieren, und noch eine Indexverschiebung vornehmen. + +Damit DG dritter -> zweiter Ordnung. + +$D(X) = C'(X) = ...$ + +Damit neue DG + +$D''(X) = 12 \frac{1+x}{(1-x)^5} + 12* \frac{D(x)}{(1-x)^2}$ + +-> Lösen der DG und substitution $D(X) = f(u) = f(ln(1/(1-x)))$ + +explizite Lösung $D(X)$, wo das Polynom egal ist. + - \end{document}