From: Peter Schaefer Date: Fri, 11 May 2012 17:07:36 +0000 (+0200) Subject: VO merged X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=f65285d17887265f5519c045afc195f6ade14a49;p=zahlenTA.git VO merged pdf aktualisiert .gitignore angepasst (hoffentlich richtig) UE2+3 angepasst UE3 Aufgaben hinzugefügt --- f65285d17887265f5519c045afc195f6ade14a49 diff --cc .gitignore index 0000000,7947a26..b0805a5 mode 000000,100644..100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@@ -1,0 -1,4 +1,6 @@@ -Vorlesung.aux -Vorlesung.log -Vorlesung.dvi -Vorlesung.toc ++*.aux ++*.log ++*.tmp ++*.dvi ++*.*~ ++*.toc diff --cc UE/ue2.pdf index 868733b,fa69ca0..edf9686 Binary files differ diff --cc Vorlesung.pdf index 7e8127b,eabc629..da6b857 Binary files differ diff --cc Vorlesung.tex index aa0d3f2,051f07b..c5bfb53 --- a/Vorlesung.tex +++ b/Vorlesung.tex @@@ -1,65 -1,358 +1,360 @@@ - \documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{article} - \usepackage[utf8x]{inputenc} - \usepackage{amsmath,amssymb,ulsy} + \documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{scrreprt} + \usepackage{amssymb,amsmath,color,amsthm} + \usepackage{ucs} \usepackage{fullpage} - + \usepackage{fancyhdr} + %\usepackage{mathtools} + \usepackage{ulsy} + \usepackage{txfonts} + %\usepackage{ngerman} + %\usepackage[ngerman]{babel} + \usepackage[utf8x] {inputenc} + \usepackage{graphicx} + \usepackage{array,soul,pst-all,makeidx} + \author{} + \title{Mitschrift zur Vorlesung \\ AKDIS: Zahlentheorie und Anwendungen,\\ gehalten von Prof. J. Wiesenbauer, Sommersemester 2012} + \pagestyle{plain} + \frenchspacing + + + + + + %\addtolength{\textwidth}{3cm} + %\addtolength{\textheight}{3.5cm} + %\setlength{\oddsidemargin}{0 cm} + %\setlength{\evensidemargin}{0 cm} + \setlength{\topmargin}{-1.5cm} + \setlength{\parindent}{0pt} + \setlength{\parskip}{5pt plus 2pt minus 1pt} + + \renewcommand{\proofname}{Beweis} + \renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis} + \renewcommand{\bibname}{Literaturverzeichnis} + + \newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}} + \newcommand{\tr}{\textrm{Tr}\,} + \newcommand{\ind}[1]{\mathds{1}_{#1}} + \renewcommand{\Re}{\textrm{Re}\,} + \renewcommand{\Im}{\textrm{Im}\,} + \renewcommand{\arg}{\textrm{arg}} + \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} + \def \N {\mathbb{N}} + \def \Z {\mathbb{Z}} + \def \Q {\mathbb{Q}} + \def \R {\mathbb{R}} + \def \C {\mathbb{C}} \def\P{\mathbb{P}} - \def\N{\mathbb{N}} - \def\R{\mathbb{R}} - \def\Z{\mathbb{Z}} - \def\C{\mathbb{C}} \def\oder{\vee} \def\und{\wedge} - - \def\kgV{\text{kgV}} - \def\ggT{\text{ggT}} - \def\sgn{\text{sgn}} \def\ord{\text{~ord}} - \def\mod{\text{~mod~}} - %opening - \title{} - \author{Peter Schaefer} + \swapnumbers + \newtheorem{defn}{Definition}[section] + \newtheorem{lemma}[defn]{Lemma} + \newtheorem{satz}[defn]{Satz} + \newtheorem{hsatz}[defn]{Hilfssatz} + \newtheorem{kor}[defn]{Korollar} + \newtheorem{prop}[defn]{Proposition} + \newtheorem{folg}[defn]{Folgerung} + \theoremstyle{remark} + \newtheorem{bsp}[defn]{Beispiel} + \newtheorem{bem}[defn]{Bemerkung} ++ ++ \makeindex + \begin{document} + + \begin{titlepage} + \maketitle + \end{titlepage} + + \setcounter{secnumdepth}{-1} + + + \section{Kurzzusammenfassung} + Das ist die "getechte" Mitschrift zur Vorlesung $118 \dot 186$ \emph{AKDIS Zahlentheorie und Anwendungen} vom Sommersemester 2012, gehalten von Prof. J. Wiesenbauer. + \newpage + - \begin{document} - \maketitle - \section*{Vorlesung 21.3.12} - \subsection*{Bew. 1.16} + \tableofcontents + \newpage + \setcounter{secnumdepth}{2} + \section{Einleitung} + \chapter{Teil 1} + \begin{bem} + Prf: $4$ Bsp: 2 Beweise, 2 Überblicksfragen + schreiben + \end{bem} + + \begin{bem} + Die natürlichen Zahlen sind in dieser Vorlesungen inklusive $0$ zu verstehen, d.h. $\N = \lbrace 0,1,2,\ldots \rbrace$. + \end{bem} + + \begin{bem}[Bemerkung zu Definition $1.1$] + Sei $a \neq 0 \land a \mid b \Rightarrow$ Komplementärteiler ist eindeutig: \\ + Sei + \begin{subequations} + \begin{align} + a u_{1} =b \land a u_{2} =b \\ + a \left( u_{1} - u_{2} \right) = 0 \\ + \stackrel{\textsl{Nullteilerfreiheit + VS}} \Rightarrow u_{1} - u_{2} = 0 \\ + \implies u_{1} = u_{2} + \end{align} + \end{subequations} + \end{bem} + + \begin{bem}[Bemerkung zu Satz $1.3$] + Das Wichtige bei diesem Satz ist diese Tatsache: $0 \leq r < \vert b \vert$, siehe auch Euklidische Ringe in Algebra. + \end{bem} + + \begin{proof}[Beweis von Satz $1.3$] \begin{enumerate} - \item Sei $p\in\P$ und es gelte $p|av \und p \nmid a$ , d.h. $\ggT(p,a)=1$. nach dem Lemma von Euklid (Satz 1.11) folgt daher $p|b$. - \item Ist umgekehrt die Bedingung des Satzes erfüllt und gilt $p = a\cdot b$ mit $(a,b \in \N *$, so gilt einerseits $a|p \und b|p$, aber auch $p|a \oder p|b$ nach VS. Daraus folgt aber sofort $p = a \oder p= b,Q$ + \item + \item[Existenz] + Sei zunächst $b > 0$: \\ + Wähle $q \in \Z$ so, dass: $qb \leq a \land \left( q+1 \right) > a$ (ist in endlich vielen Schritten möglich) (--> Skizze Zahlengerade)\\ + Dann gilt für $r := a - qb$, dass $0 \leq r < b \land a = qb+r$. \\ + Ist aber $b<0$, so gilt nach Obigem: + \begin{equation} + \exists \bar{q},\bar{r} \in \Z: a = \vert b \vert \cdot \bar{q} + \bar{r} \land 0 \leq \bar{r} < \vert b \vert + \end{equation} + Setze $q:=-\bar{q}, r:=\bar{r}$ folgt dann wieder $a = bq +r \land 0 \leq r < b$. Daher ist die Existenz gesichert. + \item[Eindeutigkeit] Angenommen wir haben zwei Darstellungen der folgenden Form: + \begin{equation} + a = q_{1}b+r_{1}=q_{2}+r_{2} \land 0 \leq r_{1} < \vert b \vert \land 0 \leq r_{2} < \vert b \vert + \end{equation} + Daraus erhält man + \begin{subequations} + \begin{align} + \left( q_{1} - q_{2} \right) b = r_{2} - r_{1} \\ + \stackrel{\vert \cdot \vert} \implies \vert q_{1} - q_{2} \vert \cdot \vert b \vert = \underbrace{\vert r_{2} - r_{1} \vert}_{\in [0,\vert b \vert), \textsl{ zumindest } < \vert b \vert} \\ + \Rightarrow \vert q_{1} - q_{2} \vert = 0 \\ + \Rightarrow q_{1} = q_{2} \\ + \Rightarrow r_{1} = r_{2} + \end{align} + \end{subequations} \end{enumerate} - \hfill$\blacksquare$ + \end{proof} + + \begin{bem}[@Def 1.4 ggT] + \begin{equation} + a=b=0 \Rightarrow ggT(a,b)=ggT(0,0)=0 + \end{equation} + \end{bem} + + \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.6$] + Teilbarkeitsrelation ist invariant unter $\pm$, daher gilt $ggT(a,b)=ggT(\vert a \vert, \vert b \vert)$, insbesondere erhält man dadurch $ggT(a,0)=\vert a \vert$ und $ggT(a,b)=ggT(b,a)$. \\ + oBdA: $a \geq b > 0$. Wende Euklidischen Algorithmus an, $r_{(-1)}:=a, r_{0}:=b$, dann gilt: + \begin{subequations} + \begin{align} + a = q_{1} b+ r_{1}, \quad 0 \leq r_{1} < b \\ + b = q_{2} r_{1} + r_{2}, \quad 0 \leq r_{2} < r_{1} \\ + r_{1} = q_{3} r_{2} + r_{3}, \quad 0 \leq r_{3} < r_{2} \\ + r_{(i-2)} = q_{i} r_{(i-1)} + r_{i}, \quad 0 \leq r_{i} < r_{(i-1)}\\ + \textsl{Folge der Reste ist streng monoton fallend} \rightarrow \textsl{ bricht ab} \\ + r_{(n-1)} = q_{n} r_{n} \label{letzterestgleichung} + \end{align} + \end{subequations} + Insbesondere folgt aus \eqref{letzterestgleichung}, dass $ggT(r_{(n-1)},r_{n})=r_{n}$. + \begin{equation} + ggT(a,b)=ggT(b,r_{1}) = ggT(r_{(n-1)},r_{n})= r_{n} + \end{equation} + Man kann daraus die folgende Behauptung formulieren: + \begin{equation} + \forall k \in \lbrace -1 \rbrace \cup \N: \exists x_{k},y_{k} \in \Z: r_{k} = x_{k}a + y_{k}b + \end{equation} + Beweis mit Induktion nach $k$: \\ + I-Anfang $-1,0$: + \begin{subequations} + \begin{align} + r_{(-1)} = a = 1 \cdot a + 0 \cdot b, \qquad \surd \\ + r_{0} = b = 0 \cdot a + 1 \cdot b, \qquad \surd \\ + \end{align} + \end{subequations} + I-Schritt: $k \rightarrow k+1$: + \begin{subequations} + \begin{align} + r_{k} = r_{(k-2)} - q_{k} r_{(k-1)} = \\ + \stackrel{\textsl{I-VS}} = \left( x_{(k-2)} a + y_{(k-2)} b \right) - q_{k} \left( x_{(k-1)} a + y_{k-1} b \right) = \\ + = \underbrace{(x_{(k-2)} - q_{k}x_{(k-1)})}_{x_{k}} a + \underbrace{(y_{(k-2)} - q_{k}y_{(k-1)})}_{y_{k}}b + \end{align} + \end{subequations} + Man beachte, dass für $r_{()}, x_{()},y_{()}$ drei mal die gleiche Rekursionsgleichung mit verschiedenen Startwerten genügt! Diese Methode ist besser um ggT auszurechnen, als im Eukl. Alg. einfach ``hinaufzurechnen''. Es gilt + \begin{subequations} + \begin{align} + r_{-1}=a,r_{0}=b, r_{i} = r_{i-2} - q_{i} r_{i-1}\\ + x_{-1}=1, x_{0}=0, x_{i} = x_{i-2} - q_{i} x_{i-1} \\ + y_{-1}=0, y_{0}=0, y_{i} = y_{i-2} - q_{i} y_{i-1} + \end{align} + \end{subequations} + \end{proof} + + \begin{bsp} + Berechne $ggT(2124, 1764)$ mit Hilfe von Euklidischem Algorithmus, Schema: + + \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}\hline + $r_{i-2}$ & $r_{i-1}$ & $q_{i}$ & $x_{i-2}$ & $x_{i-1}$ & $y_{i-2}$ & $y_{i-1}$ & $i$ \\ + \hline + $2124$ & $1764$ & $1$ & $1$ & $0$ & $0$ & $1$ & $0$\\ + $1764$ & $360$ & $4$ & $0$ & $1$ & $1$ & $-1$ & $1$ \\ + \hline + \end{tabular} + $\Rightarrow ggT(2124,1764)=26=5 \cdot 2124 + (-6) \cdot 1764$. + \end{bsp} + + \begin{bem} + $\sim 40 \%$ der Fälle gilt $q=1$, bzw Einstellig in $90\%$. Statt Divisionen verwendet man interierte Subtraktionen, mit vielleicht Ausnahme einer ersten Division. + \end{bem} + + \begin{bem} + Die Stellenanzahl im dekadischen System einer dekadischen Zahl $n$: $\lfloor \log_{10} n \rfloor +1 \approx \log_{10}$. + \end{bem} + + \begin{bem} + ``Normale Multiplikation'' mit ``Schulmathematik'' hat quadratischen Aufwand. + \end{bem} + + \begin{bem}[Umrechnung für $\lambda$] + \begin{subequations} + \begin{align} + \lambda^{\log_{\lambda}(a)} = a \\ + \Rightarrow \log_{10}(\cdot) \\ + \log_{\lambda}(a) \cdot \log_{10}(\lambda)=\log_{10}(a) \\ + \implies \log_{\lambda}(a)=\frac{\log_{10}(a)}{\log_{10}(\lambda)} + \end{align} + \end{subequations} + \end{bem} + + \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.8$, Seite $4$] + Betrachte die Fibonacci-Folge + \begin{equation} + 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \ldots + \end{equation} + welche definiert ist durch $F(0)=0,F(1)=1, F(n)=F(n-2)+F(n-1)$ für $n\geq 2$. \\ + Ist $F_{n}$ die nächst kleinere Fibonacci-Zahl zu $a$, so kann der Rechenaufwand zur Berechnung von $ggT(a,b)$ durch den Rechenaufwand von $ggT(F_{n},F_{(n-1)})$ nach oben abgeschätzt werden, z.B. $a=50,b=37 \rightsquigarrow ggT(34,21)$, sind $F_{9}=34, F_{8}=21$ die nächst kleineren Fibonacci-Zahlen und es gilt: + \begin{subequations} + \begin{align} + 34 = 1 \cdot 21 + 13 \\ + 21 = 1 \cdot 13 + 8 \\ + 13 = 1 \cdot 8 + 5 \\ + 8 = 1 \cdot 5 + 3 \\ + 5 = 1 \cdot 3 + 2 \\ + 3 = 1 \cdot 2 + 1 \\ + 2 = 1 \cdot 2 + \end{align} + \end{subequations} + Man benötigt hier $7$, allgemein $n-2$ Divisionen, was eine obere Schranke darstellt. \\ + Es gilt für die $F_{n}$ die folgende explizite Formel: + \begin{equation} + F_{n} = \frac{\lambda_{1}^{n} - \lambda_{2}^{n}}{\sqrt{t}} \textsl{ mit } \lambda_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} + \end{equation} + Diese Formel zeigt man leicht mit Induktion. \\ + Wenn es eine geometrische Folge gibt, welche die Fibonacci-Folge liefert, so muss diese Folge zwingend erfüllen: + \begin{subequations} + \begin{align} + q^{n} = q^{n-1} + q^{n-2} \\ + \implies q^{2} = q + 1 \\ + \textsl{woraus man die folgenden Lösungen erhält} \\ + F_{n} = \frac{\lambda_{1}^{n} - \lambda_{2}^{2}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_{1}^{n} + \underbrace{\left( \frac{-1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_{2}^{n} \right)}_{\stackrel{n \rightarrow \infty}\rightarrow 0} + \end{align} + \end{subequations} + $\lambda_{2}$-Term geht sehr schnell gegen Null. Lässt man den zweiten Teil weg, d.h. man rechnet ``nur'' mit dem Wert $\frac{\lambda_{1}^{n}}{\sqrt{t}}$ und rundet immer auf die nächste ganze Zahl, so erhält man auch wieder die Fibonacci-Folge (Beweis per Derive). \\ + Setzt man $\lambda := \lambda_{1}$, so folgt daraus + \begin{subequations} + \begin{align} + n-2 = \log_{\lambda}(\lambda^{n-2})=\log_{\lambda} \left( \frac{\lambda^{n}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\lambda^{2}} \right) = \\ + = \log_{\lambda} \left( \frac{\lambda^{n}}{\sqrt{5}} \right) + \log_{\lambda}\left( \frac{\sqrt{5}}{\lambda^{2}} \right) = \\ + = \log_{\lambda}(F_{n}) + \underbrace{ \left( \log_{\lambda}\left( \frac{\lambda^{n}}{\sqrt{5}} - \log_{\lambda}(F_{n}) \right) \right) }_{\approx 0} + \underbrace{\log_{\lambda}\left( \frac{\sqrt{5}}{\lambda^{2}} \right)}_{\approx -0,33} = \\ + = \lfloor \log_{\lambda}(F_{n}) \rfloor, \quad n \geq 2 + \end{align} + \end{subequations} + Wegen $F_{n} \leq a$ folgt insgesamt $n-2 \leq \lfloor \log_{\lambda}(a) \rfloor$. + \end{proof} + + \begin{bem}[Bemerkung zu Satz $1.10$] + $ggT(72,108)=36 \cdot ggT(2,3)=36$, ``Distributivgesetz'' gilt. + \end{bem} + + \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.10$, Seite $4$] + Zeige zwei Eigenschaften von ggT: + \begin{equation} + ggT(a,b)\mid a \land ggT(a,b)\mid b \Rightarrow \frac{ggT(a,b)}{t} \mid \frac{a}{t} \land \frac{ggT(a,b)}{t} \mid \frac{b}{t} + \end{equation} + Daher ist $\frac{ggT(a,b)}{t}$ ist ein gemeinsamer Teiler von $\frac{a}{t}$ und $\frac{b}{t}$. \\ + Es gilt: $\exists x,y \in \Z: ggT(a,b)=xa+yb$. + \begin{equation} + \implies \frac{ggT(a,b)}{t} = x \frac{a}{t} + y \frac{b}{t} + \end{equation} + Jeder gemeinsame Teiler von $\frac{a}{b}$ und $\frac{b}{t}$ teilt auch rechte Linearkombination, insbesondere daher auch die linke Seite nach Rechenregeln der Teilbarkeitsrelation. + \end{proof} + + \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.11$, Seite $4$] + % ein one-liner-beweis + $ggT(a,b)=1 \Rightarrow x,y\in \Z: xa+yb=1$, ``mal c'' liefert + \begin{equation} + xac + ybc = c + \end{equation} + Nun gilt $a \mid xac, a \mid ybc$ nach Voraussetzung, daher teilt $a$ auch Summe, daher $a \mid c$. + \end{proof} + + \begin{proof}[Beweis zu Folgerung $1.14$, Seite $4$] + Unter gegebenen Voraussetzungen gilt: $kgV(a,b)=\frac{\vert ab\vert}{ggT(a,b)} = \vert a b \vert$, weiters gilt $kgV(a,b) \mid c$ weil $c$ ist gemeinsames Vielfaches, daher $ab \mid c$. + \end{proof} + + + \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.16$, Seite $5$] + \begin{enumerate} + \item[``$\Rightarrow$''] Sei $p\in\P$ und es gelte $p \mid ab \und p \nmid a$ , d.h. $ggT(p,a)=1$ (da $p$ eine Primzahl ist), und nach dem Lemma von Euklid (Satz $1.11$) folgt daher $p \mid b$. + \item[``$\Leftarrow$''] Ist umgekehrt die Bedingung des Satzes erfüllt und gilt $p = a\cdot b$ mit $a,b \in \N^{*}$, so gilt einerseits $a \mid p \und b \mid p$, aber auch $p \mid a \oder p \mid b$ nach VS. Daraus folgt aber sofort $p = a \oder p= b$, da alle auftretenden Zahlen nichtnegativ sind. + \end{enumerate} + \end{proof} + + \begin{bem} + Kein (!) Beweis zum Fundamentalsatz der Zahlentheorie, Satz $1.17$. + \end{bem} - \subsection*{Bew. 1.20} + \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.20$, Seite $5$] \begin{eqnarray*} - \ggT(a,b) = \ggT(a,c) = 1 &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : xa+yb = ua +vc = 1\\ - &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : (xa +yb)(ua +vc) = (xau +xvc +ybu) a +(yv)(bc) = 1\\ - &\Rightarrow& \text{Jeder gem. Teiler von} a \text{ und }c \text{ teilt auch }1 \Rightarrow \ggT(a,c) =1 + ggT(a,b) = ggT(a,c) = 1 &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : xa+yb = ua +vc = 1\\ + &\Rightarrow& (xa +yb)(ua +vc) = (xau +xvc +ybu) a +(yv)(bc) = 1\\ + &\Rightarrow& \text{Jeder gemeinsame Teiler von} a \text{ und }c \text{ teilt auch }1 \Rightarrow ggT(a,c) =1 \end{eqnarray*} - \hfill$\blacksquare$ - - \subsection*{Bew. 1.21} - Angenommen, $P=\{p_1,P_2,\cdots,p_r\}$, d.h. endlich. Die Zahl + \end{proof} + + \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.21$, Seite $5$] + Angenommen $P=\{p_1,p_2,\cdots,p_r\}$, d.h. von endlicher Mächtigkeit. Definiere + \begin{equation} + N: = p_1 p_2 \cdots p_r +1 + \end{equation} + Ist die Menge $\P$ nun endlich oder sogar leer, folgt für diese Zahl $N$ dann $N > 1$ und daher ist $N$ durch eine Primzahl $p$ teilbar, wobei man setzt + \begin{equation}\label{eqminteiler} + p := \min \{ t \in \N^{*} : t \mid n \und t > 1 \} + \end{equation} + Die Menge in \eqref{eqminteiler}, über die das Minimum gebildet wird, ist nichtleer, denn sie enthält $N$, und da die natürlichen Zahlen wohlgeordnet sind, hat sie ein kleinstes Element. Dieses Minimum $p$ ist nun zwingendermaßen prim, da man sonst einen noch kleineren Teiler hätte, der die beiden Bedingungen in \eqref{eqminteiler} erfüllt. Weiters beachte man, dass hier der Fundamentalsatz der Zahlentheorie nicht verwendet wird! + Es gilt + \begin{equation}\label{pteiltN} + p \mid N + \end{equation} + nach Konstruktion von $p$. \\ + $p$ ist prim, und da es nach VS nur endlich viele Primzahlen gibt, folgt, dass $p \in \lbrace p_{1}, \cdots, p_{r} \rbrace$. Daraus erhält man sofort + \begin{equation}\label{pteiltp1bispr} + p \mid p_{1} p_{2} \cdots p_{r} + \end{equation} + Aufgrund der Rechenregeln der Teilbarkeit erhält man nun aus \eqref{pteiltN} und \eqref{pteiltp1bispr}, dass $p$ auch ihre Differenz teilt, und man erhält unter Verwendung von $p_1p_2 \cdots p_r = N-1$, dass gilt: \begin{displaymath} - N=p_1 p_2\cdots p_r +1 + p \mid 1 = N-(N-1) \text{Widerspruch!} \end{displaymath} - Zahl dann $> 1$ und daher durch eine Primzahl $p$ teilbar, wobei man - \begin{displaymath} - p := min\{t \in \N * | t | n \und t > 1 \} - \end{displaymath} - Wenn $p| n \und p| n-1 = p_1p_2 \cdots p_r$ folgt daraus - \begin{displaymath} - p|1 = N-1(N-1) \Rightarrow $\blitza$ - \end{displaymath} - Also ist $| \P | = \infty$, \hfill$\blacksquare$ - \subsection*{Anmerkung 1.21} + Also ist $\vert \P \vert = \infty$. + \end{proof} + + \begin{bem}[Bemerkung zu Anmerkung $1.21$] \begin{eqnarray*} \sum_{p\in\P} \frac 1 p && \text{divergent (Euler)}\\ - \sum_{k=1}^{\infty} &=& \frac{\pi^2}{6} + \sum_{k=1}^{\infty} &=& \frac{\pi^{2}}{6} \end{eqnarray*} - \subsection*{Anmerkung 1.22} + \end{bem} + + \begin{bem}[Bemerkung zu Satz $1.22$, Seite $6$] \begin{displaymath} \pi(x) = \{ p \in \P | p \leq x\}, x\in \R^+ \end{displaymath} @@@ -231,50 -569,183 +571,229 @@@ Setzen $e:= \ord_m(a) \item \end{enumerate} - $\Rightarrow \ord_(a^k) = \frac e {\ggT(k,e)}$ - - \section*{Vorlesung 25.4.12} - \subsection*{Erweiterung 3.1} - ++% $\Rightarrow \ord_(a^k) = \frac e {\ggT(k,e)}$ ++% ++% \section*{Vorlesung 25.4.12} ++% \subsection*{Erweiterung 3.1} ++% ++% \begin{align} ++% &ax^2 +bx +c \equiv 0 \mod m, \ggT(a,m) = 1, m \text{ungerade}\\ ++% &x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} ++% \end{align} ++% Anzahl der Lösungen $x^2 \equiv a \mod p$ ist $ 1+(a/p)$ ++% ++% \subsection*{Beweis 3.2} ++% \begin{enumerate} ++% \item Folgt unmittelbar aus der Definition des Legendresymbols, wegen $a \equiv b \mod p\Rightarrow (x^2 \equiv a \mod p $ Lösbar $\Leftrightarrow x^2 \equiv b \mod p$ Lösbar ++% \item Ist $g$ eine Primwurzel $\mod p$, so ist dann $\{ g, g^2 , \dots g^{p-1}\}$ ein primes Restsystem $\mod p$ und daher sind ++% \begin{align} ++% g^2,g^4,\dots,(g^{\frac{p-1}2})^2,(g^{\frac{p+1}2})^2,\dots,g^{2(p-1)} ++% \end{align} ++% \item ++% \begin{enumerate} ++% \item Fall: $a$ ist quadratischer Rest, das heißt, $a \equiv g^{2k} \mod p$ für ein $k\in \N$, woraus folgt ++% \begin{align} ++% a^{\frac{p-1}{a}} ++% \end{align} ++% \item Fall: $a $ ist quadritscher $\mod p $, das heißt $a \equiv g^{2k+1} \mod p$ für ein $k \in \N$. Dann gilt ++% \begin{align} ++% a^{\frac{p-1}2} = (g^{2k+1})^{\frac{p-1}2} ++% \end{align} ++% \end{enumerate} ++% \item Fallunterscheidung ++% \begin{enumerate} ++% \item $(a/p) = (b/p) = 1$ ++% \item o.b.d.A. $(a/p) = 1, (b/p) = -1$ ++% \item $(a/p) = (b/p) = -1$ ++% \end{enumerate} ++% \end{enumerate} ++% zu (a) $\exists k,\ell \in \N : a\equiv g^{2k} \mod p, b \equiv g^{2\ell} \mod p$ ++% Dann gilt: ++% \begin{align} ++% (\frac{ab}{p}) = (\frac{g^{2k}g^{2\ell}}{p}) = (\frac{g^{2(k+\ell)}}{p})= 1 = \underbrace{(\frac{a}{p})}_{=1}\underbrace{(\frac{b}{p})}_{=1} ++% \end{align} ++% zu (b),(c) -> Analog ++% ++% \subsection*{Ergänzung 3.7} ++% $(\frac{a}{b} := \underbrace{(\frac{a}{p_1})(\frac{a}{p_2}\cdots(\frac{a}{p_r})}_{\text{Legendresymbole}}$ ++ + $\Rightarrow \ord_(a^k) = \frac e {\gcd(k,e)}$ + + \subsection*{VO 25.4.2012} + Betrachte $ax^{2}+bx+c \equiv 0 \mod m, \gcd(a,m)=1$, m ungerade. Dann gilt + \begin{equation} + x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} + \end{equation} + Anzahl der Lösungen $x^{2} \equiv a \mod p$ ist $1+\left( \frac{a}{p} \right)$.\\ + Das Euler'sche Kriterium kann nicht verallgemeinert werden. \\ + @(4) stark multiplikativ im Zähler. \\ + + \begin{proof}[Beweis zu Satz $3.2$, Seite $10$] + \begin{itemize} + \item Folgt unmittelbar aus der Definition des Legendre-Symbols, wegen + \begin{equation} + a \equiv b \mod p \implies \left[ x^{2} \equiv a \mod p \textsl{ ist lösbar } \Leftrightarrow x^{b} \equiv b \mod p \textsl{ ist lösbar} \right] + \end{equation} + \item Ist $g$ eine Primitivwurzel $\mod p$, so ist dann $\lbrace g, g^{2}, \ldots, g^{p-1} \rbrace$ ein volles primes Restsystem $\mod p$ und daher sind + \begin{equation} - \underbrace{g^{2}, g^{4}, \ldots, g^{\left(\frac{p-1}{2}\right)^{2}}=g^{p-1}\equiv 1 \mod p}_{\textsl{versch. quadr. Reste}}, \underbrace{g^{\lbrace \frac{p+1}{2} \right)^{2}}}_{\textsl{Wiederholung}} \equiv g^{2} \mod p, \ldots ++% \underbrace{g^{2}, g^{4}, \ldots, g^{\left(\frac{p-1}{2}\right)^{2}}=g^{p-1}\equiv 1 \mod p}_{\textsl{versch. quadr. Reste}}, \underbrace{g^{\lbrace \frac{p+1}{2} \right)^{2}}}_{\textsl{Wiederholung}} \equiv g^{2} \mod p, \ldots + \end{equation} + daher sind $g^{2}, g^{4}, g^{p-1}$ alle quadratischen Reste, und die ungeraden Potenzen sind quadratische Nichtreste. + \item \hfill + \begin{itemize} + \item[1. Fall] $a$ ist quadratischer Rest $\implies \exists k \in \N: a \equiv g^{2k} \mod p$, woraus folgt dass + \begin{equation} + a^{\left( \frac{p-1}{2}\right)} \equiv \left( g^{2k} \right)^{\left( \frac{p-1}{2} \right)} = \left( g^{p-1} \right)^{k} \equiv 1 \mod p \equiv \left( \frac{a}{p} \right) \mod p + \end{equation} + \item[2. Fall] $a$ ist quadratischer Nichtrest, d.h. $\exists k \in \N: a \equiv g^{2k+1} \mod p$, dann gilt + \begin{equation} + a^{\left( \frac{p-1}{2} \right)} \equiv \left( g^{2k+1} \right)^{\left( \frac{p-1}{2} \right) } \equiv \underbrace{g^{(p-1)k}}_{\equiv 1 \mod p} \cdot \underbrace{g^{\left( \frac{p-1}{2} \right)}}_{\equiv -1 \mod p} \equiv 1 \equiv \lbrace \frac{a}{p} \rbrace \mod p + \end{equation} + Warum $\equiv -1 \mod p$? da $g^{\frac{p-1}{2}}$ Lösung von $x^{2} \equiv 1 \mod p$ ist $\implies$ + \end{itemize} + \end{itemize} + \end{proof} + + %Vorlesung 2.5.2012 + Zu Lucas-Folgen: sind Verallgemeinerung von Fibonacci-Folgen, sind wichtig für Primzahltests. \\ + \begin{proof}[Beweis zu Satz $4.2$, Seite $13$] + Wegen $(x-\alpha)(x-\beta)=x^{2} - Px + Q = 0$ erhält man durch einen Koeffizientenvergleich + \begin{equation} + P=\alpha+\beta, Q = \alpha \beta + \end{equation} + Durch unmittelbares Einsetzen erhält man: + \begin{subequations} \begin{align} - &ax^2 +bx +c \equiv 0 \mod m, \ggT(a,m) = 1, m \text{ungerade}\\ - &x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} + U_{m}V_{n} - Q^{n}U_{m-n} = \frac{\alpha^{m}-\beta^{m}}{\alpha-\beta} \left( \alpha^{n} - \beta^{n} \right) - \left( \alpha \beta \right)^{n} \cdot \left( \frac{\alpha^{m-n} - \beta^{m-n}}{\alpha-\beta} \right)= \\ + = \left( \frac{1}{\alpha - \beta} \right) \cdot \left( \alpha^{m+n} + \alpha^{m}\beta^{n} - \alpha^{n} \beta^{m} - \beta^{m+n} - \alpha^{m} \beta^{n} + \alpha^{n} \beta^{m} \right) = \\ + = \frac{\alpha^{m+n} - \beta^{m+n}}{\alpha-\beta} \stackrel{\textsl{nach Def.}} = U_{m+n} \end{align} - Anzahl der Lösungen $x^2 \equiv a \mod p$ ist $ 1+(a/p)$ - - \subsection*{Beweis 3.2} - \begin{enumerate} - \item Folgt unmittelbar aus der Definition des Legendresymbols, wegen $a \equiv b \mod p\Rightarrow (x^2 \equiv a \mod p $ Lösbar $\Leftrightarrow x^2 \equiv b \mod p$ Lösbar - \item Ist $g$ eine Primwurzel $\mod p$, so ist dann $\{ g, g^2 , \dots g^{p-1}\}$ ein primes Restsystem $\mod p$ und daher sind + \end{subequations} + Genauso erhält man für die $V$-Folge + \begin{subequations} + \begin{align} + V_{m}V_{n} - Q^{n} V_{m-n} = \left( \alpha^{m} + \beta^{m}\right) \left( \alpha^{n} + \beta^{n} \right) - \left( \alpha \beta \right)^{n} \left( \alpha^{m-n} + \beta^{m-n} \right) = \\ + = \alpha^{n+m} + \alpha^{m} \beta^{n} + \alpha^{n} \beta^{m} + \beta^{m+n} - \alpha^{m} \beta^{n} - \alpha^{n} \beta^{m} = \\ + = \alpha^{n+m} + \beta^{m+n} \stackrel{\textsl{nach Def.}} = V_{m+m} + \end{align} + \end{subequations} + \end{proof} + + \begin{proof}[Beweis zu Folgerung $4.3$, Seite $13$] + Durch Einsetzen erhält man direkt + \begin{subequations} \begin{align} - g^2,g^4,\dots,(g^{\frac{p-1}2})^2,(g^{\frac{p+1}2})^2,\dots,g^{2(p-1)} - \end{align} - \item - \begin{enumerate} - \item Fall: $a$ ist quadratischer Rest, das heißt, $a \equiv g^{2k} \mod p$ für ein $k\in \N$, woraus folgt - \begin{align} - a^{\frac{p-1}{a}} + U_{0} = \frac{\alpha^{0} - \beta^{0}}{\alpha - \beta} = 0, \quad U_{1} = \frac{\alpha^{1} - \beta^{1}}{\alpha - \beta} = 1 \\ + V_{0} = \alpha^{0} + \beta^{0} = 2, \quad V_{1} = \alpha + \beta = P \end{align} - \item Fall: $a $ ist quadritscher $\mod p $, das heißt $a \equiv g^{2k+1} \mod p$ für ein $k \in \N$. Dann gilt - \begin{align} - a^{\frac{p-1}2} = (g^{2k+1})^{\frac{p-1}2} - \end{align} - \end{enumerate} - \item Fallunterscheidung - \begin{enumerate} - \item $(a/p) = (b/p) = 1$ - \item o.b.d.A. $(a/p) = 1, (b/p) = -1$ - \item $(a/p) = (b/p) = -1$ - \end{enumerate} - \end{enumerate} - zu (a) $\exists k,\ell \in \N : a\equiv g^{2k} \mod p, b \equiv g^{2\ell} \mod p$ - Dann gilt: + \end{subequations} + Ferner folgt aus Satz $4.2$ mit $n=1$, dass + \begin{subequations} + \begin{align} + U_{m+1} = U_{m} \underbrace{V_{1}}_{=P} - Q^{1} U_{m-1} = PU_{m} - Q U_{m-1} \\ + V_{m+1} = V_{m} \underbrace{V_{1}}_{=P} - Q^{1} V_{m-1} = PV_{m} - Q V_{m-1}, + \end{align} + \end{subequations} + also dass, was zu zeigen war. + \end{proof} + + \begin{proof}[Beweis zu Folgerung $4.4$, Seite $13$] + Folgt wieder aus Satz $4.2$ wegen + \begin{subequations} + \begin{align} + U_{2n} = U_{n+n} = U_{n}V_{n} - Q^{n}U_{0} = U_{n} V_{n} \\ + U_{2n+1} = U_{(n+1)+n}=U_{n+1}V_{n} - Q^{n} U_{1} = U_{n+1}V_{n} - Q^{n} \\ + V_{2n} = V_{n+n} = V_{n} V_{n} - Q^{n} V_{0} = V_{2}^{2} - 2Q^{n} \\ + V_{2n+1} = V_{(n+1)+n} = V_{n+1}V_{n} - Q^{n} V_{1} = V_{n+1} V_{n} - PQ^{n} + \end{align} + \end{subequations} + $\implies$ leichte Berechenbarkeit der Lucasfolge. + \end{proof} + + \begin{bem} + Bsp zur Berechnung von $V_{100}$ mit Hilfe von $4.4$. + \end{bem} + + \begin{proof}[Beweis von Lemma $4.6$, Seite $13$] + Zur Invertierung von $2 \mod r$ für eine ungerade Zahl $r$: + \begin{equation} + \frac{1}{2} \mod r \equiv \underbrace{\frac{1+r}{2}}_{\in \Z} \mod r + \end{equation} + Man berechne: + \begin{subequations} + \begin{align} + \left( 2 \alpha \right)^{r} = \left( R+\sqrt{D} \right)^{r} = \\ + = P^{r} \underbrace{\sum \limits_{k=1}^{r-1} \binom{r}{k} P^{k} \left( \sqrt{D} \right)^{r-k}}_{=:*} + \left( \sqrt(D) \right)^{r} = \\ + \equiv P^{r} + \left( \sqrt{D} \right)^{r} \equiv P^{r} + D^{\frac{r-1}{2}} \sqrt{D} \\ + \stackrel{\textsl{(**)}} \equiv P + \left( \frac{D}{r} \right) \equiv \begin{cases}P + \sqrt{D} \equiv 2 \alpha \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = 1 \\ P - \sqrt{D} \equiv 2 \beta \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = -1 \end{cases} + \end{align} + \end{subequations} + @(*): es gilt + \begin{equation} + \binom{r}{k} = \frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)}{1\cdot 2 \cdots k} \equiv 0 \mod r + \end{equation} + denn angenommen $r \mid 1 \cdot 2 \cdots k \Rightarrow r \mid i$ für ein $i \in \lbrace 1,2, \ldots, r-1 \rbrace$, denn wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, teilt sie einen Faktor, daher WS zu r ist Primzahl. \\ + @(**): Es gilt nach dem ``kleinen Fermat'': $P^{r} \equiv P \mod r$. Weiters gilt nach dem Euler'schen Kriterium: + \begin{equation} + D^{\frac{r-1}{2}} \equiv \left( \frac{D}{r} \right) \mod r + \end{equation} + Nun gilt aber + \begin{equation} + 2 \alpha^{r} \stackrel{\textsl{kl. Fermat}} \equiv 2^{r} \alpha^{r} = \left( 2 \alpha \right)^{r} \equiv \begin{cases} 2 \alpha \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = 1 \\ 2\beta \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = -1 \end{cases} + \end{equation} + Durch Kürzen durch $2$ ($2^{-1} \mod r$ existiert, da ja $\gcd(2,r)=1$ da $r$ ungerade nach Voraussetzung) folgt die Behauptung für $\alpha$. Beweis für $\beta$ analog. + \end{proof} + + \begin{bem} + Den zwei Fällen im vorigen Lemma liegt folgendes zugrunde: + \begin{itemize} + \item $\alpha, \beta \in \Z_{r} \implies$ ``kleiner Fermat'' $\implies$ fertig. + \item $\alpha \vee \beta \notin \Z_{r} \implies \alpha, \beta \in \Z_{r^{2}} \geq \Z_{r}$. $\Z_{r^{2}}$ hat genau einen nichtrivialen Automorphismus und es gilt + \begin{equation} + \mathcal{F} = \lbrace a + b \sqrt{D} \mid a,b \in \Z_{r} \rbrace + \end{equation} + Es folgt daher, dass die Funktionen $x \mapsto x^{r}$ und $a+b\sqrt{D} \mapsto a - b \sqrt{D}$ der gleiche Automorphismus sind. + \end{itemize} + \end{bem} + + \begin{proof}[Beweis zu Satz $4.7$, Seite $14$] + Es gilt $\left( \frac{D}{r} \right) \in \lbrace \pm 1 \rbrace$ wegen $\gcd(r,QD)=1$. + \begin{itemize} + \item[(1)] Sei zunächst $\lbrace \frac{D}{r} \rbrace = 1$. Dann gilt nach Lemma $4.6$ + \begin{equation} + \alpha^{r} \equiv \alpha \mod r, \beta^{r} \equiv \beta \mod r + \end{equation} + woraus durch Kürzen (beachte $\alpha \nequiv 0 \mod r, \beta \nequiv \mod r$, da sonst $Q = \alpha \beta \equiv 0 \mod r$ wäre, im Widerspruch zu $\gcd(r,QD)=1$) folgt $\alpha^{r-1} \equiv 1 \mod r, \beta^{r-1} \equiv 1 \mod r$. \\ + Es gilt daher + \begin{equation} + \left( \alpha - \beta \right) U_{r-1} = \alpha^{r-1} - \beta^{r-1} \equiv 1 -1 \equiv 0 \mod r + \end{equation} + Nun ist aber $\alpha - \beta = \sqrt{D} \nequiv 0 \mod r$ (weil $\sqrt{D} \mod r \Rightarrow D = (\sqrt{D})^{2} \equiv 0 \mod r \Rightarrow \gcd(r,QD) \neq 1 \blitza$), woraus durch Kürzen tatsächlich $U_{r-1} \equiv 0 \mod r$ folgt. \\ + Sei nun $\left( \frac{D}{r} \right) = -1$. Daher gilt nach Lemma $4.6$ + \begin{subequations} \begin{align} - (\frac{ab}{p}) = (\frac{g^{2k}g^{2\ell}}{p}) = (\frac{g^{2(k+\ell)}}{p})= 1 = \underbrace{(\frac{a}{p})}_{=1}\underbrace{(\frac{b}{p})}_{=1} + \alpha^{r} \equiv \beta \mod r \\ + \beta^{r} \equiv \alpha \mod r \end{align} - zu (b),(c) -> Analog - - \subsection*{Ergänzung 3.7} - $(\frac{a}{b} := \underbrace{(\frac{a}{p_1})(\frac{a}{p_2}\cdots(\frac{a}{p_r})}_{\text{Legendresymbole}}$ - + \end{subequations} + Daher gilt + \begin{equation} + (\alpha - \beta)U_{r+1} = (\alpha^{r+1} - \beta^{r+1} )=alpha \alpha^{r} - \beta \beta^{r} \equiv \alpha \beta - \alpha \beta \equiv 0 \mod r, + \end{equation} + woraus wie vorhin durch Kürzen $U_{r+1} \equiv 0 \mod r$ folgt. + \item[(2)] Wegen $U_{2n} = U_{n}V_{n}$ nach $4.4$ gilt + \begin{subequations} + \begin{align} + U_{r-\left( \frac{D}{r} \right)} = U_{s \cdot 2^{t}} = U_{s2^{t-1}}V_{s2^{t-1}} = \cdots = \\ + = U_{s}V_{s}V_{2s}V_{4s} \cdots V_{s2^{t-1}} \equiv 0 \mod r \textsl{ nach (1)} + \end{align} + \end{subequations} + $r$ ist Primzahl, daher teilt r einen Faktor, woraus die Behauptung direkt folgt. + \item[(3)] Es gilt + \begin{equation} + (\alpha - \beta)U_{r} \equiv \alpha^{r} - \beta^{r} \equiv \begin{cases}\alpha - \beta \mod r, \left( \frac{D}{r} \right)=1 \\ \beta - \alpha \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = -1 \end{cases} + \end{equation} + Woraus durch Kürzen folgt: $U_{r} \equiv \left( \frac{D}{r} \right) \mod r$. + \end{itemize} + \end{proof} \end{document} diff --cc ZthUe3x.pdf index 0000000,0000000..e58806e new file mode 100755 Binary files differ