From: Peter Schaefer Date: Thu, 14 Jun 2012 07:34:55 +0000 (+0200) Subject: UE5 Aufgaben korrigiert X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=e568ba540c3fdca5a7f3875f626f62792ae443e6;p=zahlenTA.git UE5 Aufgaben korrigiert --- diff --git a/UE/ue5.pdf b/UE/ue5.pdf index a52d38a..fc1a11f 100644 Binary files a/UE/ue5.pdf and b/UE/ue5.pdf differ diff --git a/UE/ue5.tex b/UE/ue5.tex index 8397bec..797fb0c 100644 --- a/UE/ue5.tex +++ b/UE/ue5.tex @@ -11,42 +11,24 @@ \aufgabe{25} {$p=2^{43112609}-1$ ist die zur Zeit größte bekannte Primzahl. Wie kann man ihre Stellenanzahl am einfachsten berechnen und was sind ihre $3$ Endziffern?} -Die Anzahl der Stellen einer Zahl können mit $\log_{10}$ berechnet werden. Daher ist $\lfloor \log_{10} 2^{43112609} \rfloor +1 = \lfloor 43112609\cdot\log_{10} 2 \rfloor +1 = 12978189$\\ -Für die letzten 3 Stellen berechnet man nun: +Die Anzahl der Stellen einer Zahl können mit $\log_{10}$ berechnet werden. Daher ist $\lfloor \log_{10} 2^{43112609}-1 \rfloor +1 = \lfloor 43112609\cdot\log_{10} 2 \rfloor +1 = 12978189$. Der $-1$er kann ignoriert werden da $5$ kein Teiler von $2^a$ ist und damit kein Stellenanzahl Wechsel durch subtrahieren von $1$ entstehen kann.\\ +Die letzten drei Ziffern entsprechen $2^{43112609} -1 \mod 1000$. \begin{align} - 2^{43112609} \in (\Z_{1000}, * \mod 1000, 1) \text{, d.h. }x=2, k=43112609 +1000 &= 2^3\cdot5^3\\ +2^{43112609} &\equiv 0 \mod 8\\ +43112609 &= \alpha \varphi{125} + \beta, \text{ da } \ggT{2,125}=1 \text{ gilt } 2^{a\varphi{125}} \equiv 1 \mod 125\\ +&= 431126\cdot 100 + 09\\ +2^{09} &= 512 \equiv 12 \mod 8 \end{align} -\begin{center} -$\begin{python} -import lib -lib.sqmult_tex(2,43112609,lambda x,y:(x*y)%1000,1) -\end{python}$ -\end{center} -\begin{align} - p=2^{43112609} \mod 1000 &\equiv 512 \Rightarrow 2^{43112609}-1 \mod 1000 \equiv 511 -\end{align} -\newpage\noindent -Oder aber man Überlegt sich vorher eine Sinnvolle Zerlegung des Exponenten und Verkürzt so den SM Algorithmus:\\ -Die letzten drei Ziffern entsprechen $2^{43112609} -1 \mod 1000$. Mithilfe von $\varphi(1000) = 400$ lässt sich nun der Exponent zerlegen. +Nun sind nur noch die beiden Gleichungen mit dem Chinesischen-Restsatz zu lösen: \begin{align} -43112609 &= \alpha 400 + \beta\\ -&= 107781\cdot 400 + 209\\ + x &\equiv 0 \mod 8\\ + x &\equiv 12 \mod 8\\ + &\Rightarrow x = 512 \end{align} -Da aber $a^{\varphi(n)}\equiv1\mod n$ ist, gilt: -\begin{align} - 2^{43112609} -1 \mod 1000&=2^{107781\cdot 400 + 209} -1 \mod 1000\\ - &=2^{209} -1 \mod 1000 -\end{align} -$2^{209}-1 \mod 1000$ lässt sich nun einfach mit dem Square and Multiply Algorithmus berechnen: -\begin{center} -$\begin{python} -import lib -lib.sqmult_tex(2,209,lambda x,y:(x*y)%1000,1) -\end{python}$ -\end{center} Daraus Folgt nun \begin{align} - p=2^{209} \mod 1000 &\equiv 512 \Rightarrow 2^{43112609}-1 \mod 1000 \equiv 511 + 2^{43112609} \mod 1000 &\equiv 512 \Rightarrow 2^{43112609}-1 \mod 1000 \equiv 511 \end{align} @@ -107,17 +89,17 @@ $F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257$. Daher: \aufgabe{28} {Man zeige für die Zahl $N=971$ mit Hilfe des Satzes von Brillhart-Lehmer-Selfridge, dass sie prim ist, indem man für $N-1$ nur die Kenntnis der einstelligen Primfaktoren voraussetzt.} Es gilt $N-1=970=2\cdot 5 \cdot 97$, d.h. $r=2$, und man setzt $p_{1}:=2, p_{2}:=5 \implies F=2\cdot 5=10$. \\ -Überprüfe Voraussetzungen aus Satz $2.22$: $N-1=R \cdot F \implies R=97$. Weiters gilt $\gcd(F,R)=1$. +Überprüfe Voraussetzungen aus Satz $2.22$: $N-1=R \cdot F \implies R=97$. Weiters gilt $\ggT(F,R)=1$. \begin{subequations} \begin{align} - a_{1}:=2: \quad 2^{970} \equiv 1 \mod 971, \gcd(2^{((N-1)/2)}-1,N)=\gcd(970,971)=1\\ -a_{2}:=2: \quad 2^{970} \equiv 1 \mod 791, \gcd(2^{((N-1)/5)}-1,N)=\gcd(1,971)=1 + a_{1}:=2: \quad 2^{970} \equiv 1 \mod 971, \gcd(2^{((N-1)/2)}-1,N)=\gcd(969,971)=1\\ +a_{2}:=3: \quad 2^{970} \equiv 1 \mod 791, \gcd(3^{((N-1)/5)}-1,N)=\gcd(340,971)=1 \end{align} \end{subequations} Daher sind alle Bedingungen des Satzes $2.22$ erfüllt. \\ Es gilt \begin{equation} -\sqrt[3]{N}=9.90238353655558 < F < 31.16087290176577=\sqrt{N} +\sqrt[3]{N}\approx9.90238353655558 \leq F < 31.16087290176577\approx\sqrt{N} \end{equation} Weiters erhält man sofort: \begin{equation} @@ -127,21 +109,35 @@ Nun gilt: \begin{equation} c_{1}^{2}-4c_{2}=7^{2}-4\cdot 9=49-4*9=49-36=13 \end{equation} -ist kein Quadrat, daher ist $N$ nach dem Satz von Brillhart-Lehmer-Selfridge prim. +ist kein Quadrat, daher ist $N$ nach dem Satz von Brillhart-Lehmer-Selfridge prim. + \aufgabe{29} {Man finde eine explitzite Formel für die Folge $s_{n}$ im Lucas-Lehmer-Test, indem man zeigt, dass sich diese Folge als Teilfolge einer Lucasfolge $V_{n}$ mit gewissen Parametern P und Q interpretieren lässt. (Hinweis: Man gehe dazu aus von der Formel $V_{2k}=V_{k}^{2}-2Q^{k}$ für alle $k \in \N$).} -$V_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}$, $V_{0}=2, V_{1}=P$\\ -$Q=1$ zwingend aus Rekursionsformel aus der Theorie der Lucas-Folgen. P=4? Dann gilt -\begin{equation} -D=P^{2}-4Q=4^{2}-4\cdot 1=16-4=12 \neq 0 -\end{equation} -Wissen -\begin{subequations} \begin{align} - V_{1}=s_{1} \\ - k \in \N: k>1: s_{k}=V_{2k} + s_1 &= 4\\ + s_{n+1} &= s_n^2-2 : n\geq1\\ + V_{2n} &= V_n^2 -2 Q^n,V_1 = P + &\Rightarrow Q = 1, P = 4 \end{align} -\end{subequations} +Weiterhin ist auch $\ggT(1,4) = 1$. +Die Annahme ist nun, dass: +\begin{align} + V_{1}&=s_{1} \\ + s_{n}&=V_{2^{n-1}} : n \in \N: n>1 +\end{align} +Da für $n=1$ die Annahme passt zeigen wir nun noch den Induktionsschritt: +\begin{align} + n \to n+1\\ + s_{n+1} &= s_n^2 -2 = V_{2^{n-1}}^2 -2 = V_{2\cdot2^{n-1}} = V_{2^n} = V_{2^{(n-1)+1}} +\end{align} +Damit lässt sich nun die Formel aufstellen: +\begin{align} + D &= P^2-4Q = 4^2 -4\cdot1 = 12 \neq 0\\ + \alpha &= \frac{P+\sqrt D} 2= 2+\sqrt 3\\ + \beta &=\frac{P-\sqrt D} 2 = 2-\sqrt 3\\ + s_n&=V_{2^{n-1}}=\alpha^{2^{n-1}}+\beta^{2^{n-1}}=(2+\sqrt 3)^{2^{n-1}}+(2-\sqrt 3)^{2^{n-1}} +\end{align} + \aufgabe{30} {Man wende den Lucas-Lehmer Test auf die Mersenn'sche Zahl $M_{7}=2^{7}-1=127$ an, wobei insbesondere die Reduktion $\mod M_{7}$ in der Weise durchzuführen sind, dass man die Quotienten und Reste bei der Division durch $2^{7}$ in geeigneter Weise verwendet.}