From: Peter Schaefer Date: Mon, 26 Mar 2012 07:28:19 +0000 (+0200) Subject: [doc] Verfeinern Alg geschrieben X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=e0d834f301dd91e8f255bcafc225b4098e4e30d6;p=bacc.git [doc] Verfeinern Alg geschrieben [doc] Satz zu 4 Schätzer festgehalten --- diff --git a/doc/doc.pdf b/doc/doc.pdf index 2f384c5..fa99b9b 100644 Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ diff --git a/doc/doc.tex b/doc/doc.tex index 051752d..63f9a8e 100644 --- a/doc/doc.tex +++ b/doc/doc.tex @@ -53,15 +53,16 @@ \def\N{\mathbb{N}} \def\R{\mathbb{R}} -\newtheorem{lem}{Lemma} \newtheorem{defi}{Definition} -\newtheorem{sat}{Satz} -\newtheorem{bew}{Beweis} +\newtheorem{lem}[defi]{Lemma} +\newtheorem{sat}[defi]{Satz} +\newtheorem{bew}[defi]{Beweis} +\newtheorem{alg}[defi]{Algorithmus} -\numberwithin{lem}{section} +% \numberwithin{lem}{section} \numberwithin{defi}{section} -\numberwithin{bew}{section} -\numberwithin{sat}{section} +% \numberwithin{bew}{section} +% \numberwithin{sat}{section} \author{P. Schaefer} @@ -186,21 +187,32 @@ Algoritmus zum Verfeinern \begin{defi} Sei $\T_{h/2}$ das aus der Verfeinerung von $\T_h$ resultierende Netz \end{defi} +\begin{alg}[Verfeinern] \label{alg:refine} Sei $\T_h = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine gegebenes Netz und $marked$ eine gegebene Markierung wobei $marked_j \hat =$ Markierung von $T_j$. Nun sei $j = 0$ und gehe so vor: + \begin{enumerate} + \renewcommand{\theenumi}{(\roman{enumi})} + \item falls Kante von $T_j$ hanging-note ist, markiere zusätzlich den Nachbarn und gehe zu Schritt \ref{alg:refine:last} \label{alg:refine:checkHN} + \item teile $T_j$ wie in $marked_j$ vorgegeben + \item aktualisiere Nachbarinformationen + \item halte fest in welche Elemente $T_j$ zerlegt wurde + \item $j \mapsto j+1$, gehe zu Schritt \ref{alg:refine:checkHN} \label{alg:refine:last} + \end{enumerate} +\end{alg} + \subsection{Fehlerschätzer} Um eine Aussage über die Genauigkeit der Galerkinapproximation zu erhalten ist es sinnvoll, dass wir einen A-Posteriori Fehlerschätzer definieren. -\begin{defi}[A-Posteriori Fehlerschätzer $\mu_h$] +\begin{defi}[A-Posteriori Fehlerschätzer $\mu$] sollte \begin{enumerate} \item Berechenbar sein, also keine unbekannten enthalten \item Zuverlässig sein, \begin{align} - \norm{\phi-\phi_h} &\leq C_{ref} \cdot \mu_h + \norm{\phi-\phi_h} &\leq C_{ref} \cdot \mu \end{align} \item Effizient sein, \begin{align} - \mu_h &\leq C_{eff} \cdot \norm{\phi - \phi_h} + \mu &\leq C_{eff} \cdot \norm{\phi - \phi_h} \end{align} \end{enumerate} \end{defi} @@ -219,22 +231,34 @@ Der Fehlerschätzer ist aber nur unter der Saturationsannahme zuverlässig und i Da aber die $\norm{\cdot}_{H^{1/2}}$ schlecht zu berechnen ist, wenden wir die $L_2$-Projektion an. \begin{defi}[ersetzen von $\norm{\cdot}_{H^{1/2}}$] \begin{align} - \tilde \eta_h &:= \norm{ \rho^{1/2} (\phi_{h/2} - {\phi_h})}_{L_2} + \mu_h &:= \norm{ \varrho^{1/2} (\phi_{h/2} - {\phi_h})}_{L_2(\Gamma)} \end{align} -$\tilde\eta_h$ ist da $\tilde\eta_h \approx \eta_h$ gilt noch immer zuverlässig und effizient. +$\mu_h$ ist da $\mu_h \approx \eta_h$ gilt noch immer zuverlässig und effizient. \end{defi} Um sich unnötige Berechnungen zu sparen ist es sinnvoll $\phi_h$ zu ersetzen. \begin{defi}[ersetzen von $\phi_h$] \begin{align} - \tilde \mu_h &:= \norm{\rho^{1/2}(\phi_{h/2} - \Pi_h\phi_{h/2})}_{L_2} + \tilde \mu_h &:= \norm{\varrho^{1/2}(\phi_{h/2} - \Pi_h\phi_{h/2})}_{L_2(\Gamma)} \end{align} wobei $\Pi_h$ die $L_2$ Projektion auf $P^0(\T_h)$ ist. \end{defi} -\begin{sat}[A-posteriori Fehlerschätzer] - Alle vier Schätzer +\begin{sat}[A-posteriori Fehlerschätzer] Seien also: +\begin{align} + \eta_h &= \enorm{\phi_{h/2} - \phi_h}\\ + \tilde\eta_h &= \enorm{\phi_{h/2} - \Pi_h\phi_{h/2}}\\ + \mu_h &= \norm{\varrho^{1/2}(\phi_{h/2} - \phi_h)}_{L^2(\Gamma)}\\ + \tilde\mu_h &= \norm{\varrho^{1/2}(\phi_{h/2} - \Pi_h\phi_{h/2})}_{L^2(\Gamma)} +\end{align} +Dann gilt: +\begin{itemize} + \item Schätzer sind equivalent\\ $\eta_h \sim \tilde \eta_h \sim \mu_h \sim \tilde \mu_h$ + \item sie sind effizient + \item sie sind unter Saturationsannahme auch zuverlässig +\end{itemize} + \end{sat} \begin{bew} - Siehe S.F. Paper + Siehe S.F. Paper $\mapsto$ THM 3.2 \& 3.4 \end{bew} @@ -487,6 +511,7 @@ Tin ausführliches Beispiel ist in Figure \ref{exmpl3} dargestellt. \subsection{Verfeinern} +Diese Funktion sei die Implementierung von Algorithmus \ref{alg:refine}. Da wir im weiteren Verlauf sowohl adaptive also auch anisotrope Netzverfeinerung zulassen wollen, ist es sinnvoll eine Verfeinerungsfunktion zu implementieren, die alle Möglichen Teilungsprozesse auf einem Element unterstützt. Dabei sind vier nur wirklich relevant: \begin{enumerate} \item keine Teilung diff --git a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.eps b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.eps index 54f08a8..1158b89 100644 --- a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.eps +++ b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.eps @@ -1,7 +1,7 @@ %!PS-Adobe-2.0 EPSF-1.2 %%Creator: MATLAB, The MathWorks, Inc. Version 7.13.0.564 (R2011b). Operating System: Linux 3.0.0-16-generic #29-Ubuntu SMP Tue Feb 14 12:48:51 UTC 2012 x86_64. %%Title: ./exmplAA_2DQuad_error.eps -%%CreationDate: 03/18/2012 16:07:35 +%%CreationDate: 03/26/2012 08:17:51 %%DocumentNeededFonts: Helvetica %%DocumentProcessColors: Cyan Magenta Yellow Black %%Extensions: CMYK @@ -546,88 +546,88 @@ gr /c9 { 0.000000 0.500000 0.000000 sr} bdef c9 -58 6 53 -6 54 6 81 10 52 11 76 57 85 64 80 51 -77 36 75 52 70 44 57 29 44 33 67 52 44 40 51 43 -48 46 49 50 49 48 36 49 50 47 38 52 41 46 56 55 -41 54 72 46 57 60 83 70 98 58 152 59 203 59 448 92 -1071 1284 33 MP stroke -gs 1020 1233 2648 1522 MR c np - 25 25 1071 1284 FO - 25 25 1519 1376 FO - 25 25 1722 1435 FO - 25 25 1874 1494 FO - 25 25 1972 1552 FO - 25 25 2055 1622 FO - 25 25 2112 1682 FO - 25 25 2184 1728 FO - 25 25 2225 1782 FO - 25 25 2281 1837 FO - 25 25 2322 1883 FO - 25 25 2360 1935 FO - 25 25 2410 1982 FO - 25 25 2446 2031 FO - 25 25 2495 2079 FO - 25 25 2544 2129 FO - 25 25 2592 2175 FO - 25 25 2643 2218 FO - 25 25 2687 2258 FO - 25 25 2754 2310 FO - 25 25 2798 2343 FO - 25 25 2855 2372 FO - 25 25 2925 2416 FO - 25 25 3000 2468 FO - 25 25 3077 2504 FO - 25 25 3157 2555 FO - 25 25 3242 2619 FO - 25 25 3318 2676 FO - 25 25 3370 2687 FO - 25 25 3451 2697 FO - 25 25 3505 2703 FO - 25 25 3558 2697 FO - 25 25 3616 2703 FO +58 6 53 -6 54 5 81 11 52 11 76 56 85 64 80 52 +77 36 75 52 70 43 57 29 44 34 67 52 44 39 51 43 +48 46 49 50 49 48 36 50 50 47 38 52 41 46 56 55 +41 53 72 46 57 61 83 69 98 59 152 58 203 60 448 91 +1071 880 33 MP stroke +gs 1020 829 2648 1521 MR c np + 25 25 1071 880 FO + 25 25 1519 971 FO + 25 25 1722 1031 FO + 25 25 1874 1089 FO + 25 25 1972 1148 FO + 25 25 2055 1217 FO + 25 25 2112 1278 FO + 25 25 2184 1324 FO + 25 25 2225 1377 FO + 25 25 2281 1432 FO + 25 25 2322 1478 FO + 25 25 2360 1530 FO + 25 25 2410 1577 FO + 25 25 2446 1627 FO + 25 25 2495 1675 FO + 25 25 2544 1725 FO + 25 25 2592 1771 FO + 25 25 2643 1814 FO + 25 25 2687 1853 FO + 25 25 2754 1905 FO + 25 25 2798 1939 FO + 25 25 2855 1968 FO + 25 25 2925 2011 FO + 25 25 3000 2063 FO + 25 25 3077 2099 FO + 25 25 3157 2151 FO + 25 25 3242 2215 FO + 25 25 3318 2271 FO + 25 25 3370 2282 FO + 25 25 3451 2293 FO + 25 25 3505 2298 FO + 25 25 3558 2292 FO + 25 25 3616 2298 FO gr /c10 { 1.000000 0.000000 0.000000 sr} bdef c10 -58 -1 53 -16 54 26 81 6 52 8 76 52 85 58 80 48 -77 43 75 52 70 49 57 49 44 58 67 69 44 62 51 62 -48 59 49 59 49 68 36 61 50 59 38 57 41 55 56 57 -41 54 72 54 57 59 83 76 98 57 152 68 203 65 448 97 -1071 1251 33 MP stroke -gs 1020 1200 2648 1750 MR c np - 25 25 1071 1251 FO - 25 25 1519 1348 FO - 25 25 1722 1413 FO - 25 25 1874 1481 FO - 25 25 1972 1538 FO - 25 25 2055 1614 FO - 25 25 2112 1673 FO - 25 25 2184 1727 FO - 25 25 2225 1781 FO - 25 25 2281 1838 FO - 25 25 2322 1893 FO - 25 25 2360 1950 FO - 25 25 2410 2009 FO - 25 25 2446 2070 FO - 25 25 2495 2138 FO - 25 25 2544 2197 FO - 25 25 2592 2256 FO - 25 25 2643 2318 FO - 25 25 2687 2380 FO - 25 25 2754 2449 FO - 25 25 2798 2507 FO - 25 25 2855 2556 FO - 25 25 2925 2605 FO - 25 25 3000 2657 FO - 25 25 3077 2700 FO - 25 25 3157 2748 FO - 25 25 3242 2806 FO - 25 25 3318 2858 FO - 25 25 3370 2866 FO - 25 25 3451 2872 FO - 25 25 3505 2898 FO - 25 25 3558 2882 FO - 25 25 3616 2881 FO +58 0 53 0 54 0 81 1 52 0 76 1 85 2 80 3 +77 3 75 4 70 6 57 8 44 12 67 19 44 22 51 29 +48 32 49 38 49 49 36 50 50 50 38 51 41 51 56 53 +41 52 72 53 57 57 83 75 98 57 152 68 203 64 448 97 +1071 846 33 MP stroke +gs 1020 795 2648 1110 MR c np + 25 25 1071 846 FO + 25 25 1519 943 FO + 25 25 1722 1007 FO + 25 25 1874 1075 FO + 25 25 1972 1132 FO + 25 25 2055 1207 FO + 25 25 2112 1264 FO + 25 25 2184 1317 FO + 25 25 2225 1369 FO + 25 25 2281 1422 FO + 25 25 2322 1473 FO + 25 25 2360 1524 FO + 25 25 2410 1574 FO + 25 25 2446 1624 FO + 25 25 2495 1673 FO + 25 25 2544 1711 FO + 25 25 2592 1743 FO + 25 25 2643 1772 FO + 25 25 2687 1794 FO + 25 25 2754 1813 FO + 25 25 2798 1825 FO + 25 25 2855 1833 FO + 25 25 2925 1839 FO + 25 25 3000 1843 FO + 25 25 3077 1846 FO + 25 25 3157 1849 FO + 25 25 3242 1851 FO + 25 25 3318 1852 FO + 25 25 3370 1852 FO + 25 25 3451 1853 FO + 25 25 3505 1853 FO + 25 25 3558 1853 FO + 25 25 3616 1853 FO gr /c11 { 0.000000 0.750000 0.750000 sr} bdef diff --git a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.pdf b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.pdf index 297ec2f..c5c1603 100644 Binary files a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.pdf and b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.pdf differ diff --git a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_norm.eps b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_norm.eps index 9245ec9..c18b172 100644 --- a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_norm.eps +++ b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_norm.eps @@ -1,7 +1,7 @@ %!PS-Adobe-2.0 EPSF-1.2 %%Creator: MATLAB, The MathWorks, Inc. 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