From: Peter Schaefer Date: Sat, 3 Nov 2012 14:25:16 +0000 (+0100) Subject: [doc] Interpol angefangen zu überarbeiten X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=df8e54c378b61557fca4ead9c427326d72280961;p=bacc.git [doc] Interpol angefangen zu überarbeiten --- diff --git a/doc/doc.pdf b/doc/doc.pdf index 4096a31..f3a479f 100644 Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ diff --git a/doc/doc.tex b/doc/doc.tex index e72d84b..9a090d5 100644 --- a/doc/doc.tex +++ b/doc/doc.tex @@ -378,30 +378,59 @@ beziehungsweise als Spezialfall davon die Berechnung des Integrals A_{jk} &=\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}. \end{align} unter bestimmten Voraussetzungen an die affinen Randstücke $T_j,T_k$ und den asymptotisch glatten Integranden $\kappa : \R^3 \times \R^3 \to \R$. + \subsection{Interpolation} -Zunächst wollen wir die Chebyshev-Interpolation auf dem Intervall [0,1] definieren. Hierzu sei $\P_p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$. +An dieser stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. + \begin{defi} -Seien $x_0,\ldots,x_p \in [0,1]$ paarweise verschiedene Knoten und $y_0,\ldots,y_p$ die zugehörigen Funktionswerte. Die Lagrange'sche Interpolationsaufgabe lautet dann folgendermaßen: Finde ein Polynom $q$ vom Grad $p-1$, sodass +Für einen festen Grad $p \in \N$ und paarweise verschiedene Knoten $x_j \in [-1,1]$ lautet das Lagrange'sche Interpolations Problem: +Zu gegebenen Funktionswerten $y_j \in \R$ finde ein Polynom $q \in \P^{p-1}$ so, dass \begin{align*} - q(x_i) &=y_i \quad \text{für alle} i=0,\ldots,p. + q(x_j) &=y_j \quad \text{ für alle } j=0,\ldots,p. \end{align*} \end{defi} -Ferner definieren wir die zu den Knoten $x_0,\ldots,x_p$ zugehörigen Lagrange-Polynome durch -\begin{align} +Für die Lagrange-Polynome +\begin{align*} L_j(x) &= \prod_{i=1,i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-xi}. -\end{align} -\todo{cite} zeigt, dass die Lagrange'sche Interpolationsaufgabe eine eindeutige Lösung besitzt, die gegeben ist durch -\begin{align} +\end{align*} +wissen wir aus \todo{cite}, dass das Lagrange'sche Interpolations Problem eine eindeutige Lösung hat, gegeben durch +\begin{align*} q&=\sum_{j=0}^py_jL_j. -\end{align} -Wir definieren den Interpolationsoperator $\I_pu$ durch +\end{align*} +Mit diesem Wissen definieren wir uns nun den Interpolationsoperator $\I_p u : \C[-1,1]\to\P^{p-1}$ \begin{align} \I_pu &:= \sum_{j=0}^p u(x_j)L_j. \end{align} -Außerdem definieren wir die Lebesgue-Konstante durch +Ferner definieren wir noch die Lebesgue Konstante \begin{align} -\Lambda_p &:= \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}. +\Lambda_p &:= \max_{x\in[-1,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}. \end{align} + +\todo{ +\subsection{Interpolation} +Zunächst wollen wir die Chebyshev-Interpolation auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. Hierzu sei $\P_p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$. +% \begin{defi} +% Seien $x_0,\ldots,x_p \in [0,1]$ paarweise verschiedene Knoten und $y_0,\ldots,y_p$ die zugehörigen Funktionswerte. Die Lagrange'sche Interpolationsaufgabe lautet dann folgendermaßen: Finde ein Polynom $q$ vom Grad $p-1$, sodass +% \begin{align*} +% q(x_i) &=y_i \quad \text{ für alle } i=0,\ldots,p. +% \end{align*} +% \end{defi} +% Ferner definieren wir die zu den Knoten $x_0,\ldots,x_p$ zugehörigen Lagrange-Polynome durch +% \begin{align} +% L_j(x) &= \prod_{i=1,i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-xi}. +% \end{align} +% \todo{cite} zeigt, dass die Lagrange'sche Interpolationsaufgabe eine eindeutige Lösung besitzt, die gegeben ist durch +% \begin{align} +% q&=\sum_{j=0}^py_jL_j. +% \end{align} +% Wir definieren den Interpolationsoperator $\I_pu$ durch +% \begin{align} +% \I_pu &:= \sum_{j=0}^p u(x_j)L_j. +% \end{align} +% Außerdem definieren wir die Lebesgue-Konstante durch +% \begin{align} +% \Lambda_p &:= \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}. +% \end{align} \todo{cite} stellt einen Bezug zwischen der Bestapproximation und der Polynominterpolation her und ist später von Bedeutung. \begin{sat}\label{math:ipol} Sei $\Lambda_p$ die Lebesgue-Konstante zu $p$ paarweise verschiedener Knoten $x_1,\ldots,x_p$, die alle im Intervall $[0,1]$ liegen. Dann gilt für jedes $u \in \C[0,1]$ @@ -419,11 +448,13 @@ Bei der Chebyshev-Interpolation wählt man die Knoten in Bezug auf diese Abschä \begin{align*} \max_{x\in[0,1]} \left| \prod_{j=0}^n (x-x_j) \right| \end{align*} -minimiert. Die Läsung dieses Minimierungsproblrems sind die NUllstellen der Chebyshev-Polynome. Diese sind gegeben durch +minimiert. Die Lösung dieses Minimierungsproblems sind die Nullstellen der Chebyshev-Polynome. Diese sind gegeben durch \begin{align} x_j &= \frac12 \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac12 \right) + \frac12 \quad \text{für} j=1,\ldots,p. \end{align} Sieh dazu auch \todo{cite}.\\ Im folgenden bezeichne $\I_p$ immer den Chebyshev-Interpolationsoperator. +\todo{multi Interpolation!} +} \subsection{Gauss-Quadratur} Im Folgenden wollen wir die klassische Gauss-Quadratur definieren.\\ Unter einer Quadratur verstehen wir die approximative Berechnung eines Integrals der Form: @@ -464,20 +495,20 @@ gilt, wobei $p$ das Interpolationspolynom von $f$ vom Grad $n$ zu den Knoten $x_ % &\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha}-\abs{\beta}+s)}(\alpha + \beta)! % \end{align} \begin{align}\label{math:sem:glatt} - \abs{\partial_{x_a}^{\alpha_a}\partial_{x_b}^{\alpha_b}\partial_{y_a}^{\beta_a}\partial_{y_b}^{\beta_b}\kappa(\bs x, \bs y)} - &\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha_a}+\abs{\alpha_b}+\abs{\beta_a}+\abs{\beta_b}+s)}(\alpha_a + \alpha_b + \beta_a + \beta_b)! + \abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\partial_{\bs y}^{\beta}\kappa(\bs x, \bs y)} + &\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha} + \abs{\beta})! \end{align} - für alle Multiindizes $\alpha_a, \alpha_b, \beta_a, \beta_b \in \N_0^d$ mit $\abs{\alpha_a}+\abs{\alpha_b}+\abs{\beta_a}+\abs{\beta_b}\geq 1$ gilt. + für alle Multiindizes $\alpha,\beta \in \N_0^d$ mit $\abs{\alpha}+\abs{\beta}\geq 1$ gilt. \end{defi} Wie wir im Folgenden sehen werden, lassen sich asymptotisch glatte Kernfunktionen besonders gut durch Polynome interpolieren. Hierzu benötigen wir das Lemma \todo{cite}: \begin{lem} Sei $J \subseteq \R$ ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall und angenommen die Funktion $u$ erfüllt für Konstanten $C_u,\rho_u > 0$ -\begin{align}\label{math:sem:ipol} +\begin{align*} \norm{u^{(n)}}_{\infty,J} &\leq C_u \rho_u^nn!\text{~~~für alle} n \in \N_0. -\end{align} +\end{align*} Dann gilt für alle $k\in \N_0$ -\begin{align} -\min_{v \in \P_p} \norm{u-v}_{\infty,J} &\leq C_u 4e(1+\rho_u\abs{J})(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\abs{J}}\right)^{-(p+1)}. +\begin{align}\label{math:sem:ipol} +\min_{v \in \P_k} \norm{u-v}_{\infty,J} &\leq C_u 4e(1+\rho_u\abs{J})(k+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\abs{J}}\right)^{-(k+1)}. \end{align} \end{lem} \hfill$\square$ @@ -504,7 +535,7 @@ und können die Konstante $C_{\zeta,j,\kappa}$ dann schreiben als: \end{align} Sei $\bs y \in T_k$ fest gewählt. Ist $\gamma_{j | x_{\bs b}}$ die Parametrisierung von $T_{j| x_{\bs b}}$, so gilt aufgrund $\abs{\gamma_{j|x_{\bs b}}'}=\abs{a_j\bs a_j}=\diam_{|\bs a}(T_j)$ und der Kettenregel \begin{align*} -\abs{\partial_{x_{\bs a}}^n\kappa} +\abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\kappa} &= \abs{\partial_{x_{\bs a}}^n(\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y))} = (\diam_{|\bs a}(T_j))^n\abs{(\partial_{x_{\bs a}}^n\kappa)(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)}. \end{align*} @@ -712,7 +743,7 @@ Dann gilt nach \cite{mai:3dbem} &= \int_{T_j} \int_{T_k} \left ( ((x_1 + v_1)-\tilde v_1)^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- (y_3 +\tilde v_3))^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ - &= \int_0^{s_1}\int_0^{s_2}\int_0^{\tilde s_2}\int_0^{\tilde s_3} + &= \int_0^{a}\int_0^{b}\int_0^{\tilde b}\int_0^{\tilde a} \left ( (x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3-\delta_3)^2 \right)^{-1/2} dy_3 dy_2 dx_2 dx_1 \end{align*} @@ -738,21 +769,21 @@ Dann gilt nach \cite{mai:3dbem} \todo{ \subsection{Bestimmtes Integral} \begin{align*} -& \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\ + \int_T& \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\ &\approx \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}\int_0^{\tilde k_2} \dif{}{y_2} \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,y_2) dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\ % -&= \big( \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1} +=& \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1} \big( \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} - F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,\tilde k_2) -- + F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,\tilde k_2) \\ +&- \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,0) \big) dy_1 dx_2 dx_1\\ % -&= \big( \int_0^{k_1}\int_0^{k_2} +=& \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\big( \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} F_{p/o}(x_1,x_2,\tilde k_1,\tilde k_2) - @@ -766,7 +797,7 @@ dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\ F_{p/o}(x_1,x_2,0,0)\big) dx_2 dx_1\\ % -&= \big( \int_0^{k_1} +=& \int_0^{k_1}\big( \dif{}{x_1} F_{p/o}(x_1,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2) - @@ -792,7 +823,7 @@ dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\ F_{p/o}(x_1,0,0,0)\big) dx_1\\ % -&= \big( +=& F_{p/o}(k_1,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2) - F_{p/o}(k_1,k_2,\tilde k_1,0) @@ -823,7 +854,7 @@ dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\ + F_{p/o}(0,0,0,\tilde k_2) - - F_{p/o}(0,0,0,0)\big) + F_{p/o}(0,0,0,0) \end{align*} }