From: Peter Schaefer <schaeferpm@gmail.com>
Date: Wed, 9 May 2012 07:12:34 +0000 (+0200)
Subject: VO
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VO
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index 923dd98..868733b 100644
Binary files a/UE/ue2.pdf and b/UE/ue2.pdf differ
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index 839bb1d..72b1abf 100644
--- a/UE/ue2.tex
+++ b/UE/ue2.tex
@@ -26,7 +26,7 @@
 \def\sgn{\text{sgn}}
 %opening
 \title{}
-\author{Peter Schaefer}
+\author{Peter Schaefer, Bernhard Garn}
 
 \begin{document}
 \maketitle
@@ -36,7 +36,7 @@
     \begin{equation}\label{darst641}
       641=2^{7} \cdot 5 + 1= 5^{4} + 2^{4}
     \end{equation}
-von $641$, dass $641$ ein Teiler der Fermatzahl $F_{5}=2^{2^{5}}+1$ ist.  }}
+von $641$, dass $641$ ein Teiler der Fermatzahl $F_{5}=2^{2^{5}}+1$ ist.  }}\\
 Aus der Gleichung \eqref{darst641} erhält man durch Umformen sofort
 \begin{subequations}
   \begin{align}
@@ -65,12 +65,12 @@ erhält man nun durch Einsetzen der linken Seite von \eqref{gl0} in \eqref{gl1}
 \end{align}
 \end{subequations}
 \subsection*{8. Aufgabe}
-\texttt{Man löse das folgende System von linearen Kongruenzen
+{\texttt{Man löse das folgende System von linearen Kongruenzen
 \begin{align}
  x \equiv 2 \mod 3, x \equiv 3 \mod 5, x \equiv 4 \mod 7
 \end{align}
 einmal mit Hilfe der Formel aus dem Chinesischen-Restsatz und einmal, indem man die allgemeine Lösung der ersten Konrguenz in die zweite einsetzt, und dann die allgemeine Lösung der ersten zwei Konrguenzen in die dritte.
-}\\
+}}\\
 System von Gleichungen mit Teilerfremden $m_i$
 \begin{align}
  x & \equiv a_i\mod m_i\\
diff --git a/Vorlesung.pdf b/Vorlesung.pdf
index e1b1c96..7e8127b 100644
Binary files a/Vorlesung.pdf and b/Vorlesung.pdf differ
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index 74a2cb8..aa0d3f2 100644
--- a/Vorlesung.tex
+++ b/Vorlesung.tex
@@ -213,7 +213,7 @@ $\phi(p^e) = pe - \# \{ kp | k = 1,2,\dots,p^{e-1} \} = p^e-p^{e-1} = p^e(1- \fr
 \subsection*{Beweis 2.13}
 Sei $\Z_m^* = \{ \bar a_1, \bar a_2, \dots, \bar a_{\phi(m)} \} $ die prime Restklassengurppe $\mod m$. Dann gilt für ein bel. $\bar a \in \Z_m^*$, dass
 \begin{align}
- \bar a \Z_m^* = \{\bar a \bar a_1,\dots,\bar a \bar a_{\phi(m)}\} = \{ \bar{aa_1},\dots,\bar{aa_{\phi(m)}\} = \{ \bar a_1, \dots, \bar a_{\phi(m)} \}
+% \bar a \Z_m^* = \{\bar a \bar a_1,\dots,\bar a \bar a_{\phi(m)}\} = \{ \bar{aa_1},\dots,\bar{aa_{\phi(m)}\} = \{ \bar a_1, \dots, \bar a_{\phi(m)} \}
 \end{align}
 (denn wäre $\bar a \bar a_i = \bar a \bar a_j$, für $i\neq j$, so wäre daruas durch Mult mit $\bar a^{-1}$ sofort $\bar a_i = \bar a_j,$ \blitza)
 
@@ -231,8 +231,50 @@ Setzen $e:= \ord_m(a)$
   \item
 \end{enumerate}
 
-$\Rightarrow \ord_(a^k) = \frac e {\ggT(k,e)}
+$\Rightarrow \ord_(a^k) = \frac e {\ggT(k,e)}$
 
+\section*{Vorlesung 25.4.12}
+\subsection*{Erweiterung 3.1}
 
+\begin{align}
+ &ax^2 +bx +c \equiv 0 \mod m, \ggT(a,m) = 1, m \text{ungerade}\\
+ &x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
+\end{align}
+Anzahl der Lösungen $x^2 \equiv a \mod p$ ist $ 1+(a/p)$
+
+\subsection*{Beweis 3.2}
+\begin{enumerate}
+\item Folgt unmittelbar aus der Definition des Legendresymbols, wegen $a \equiv b \mod p\Rightarrow (x^2 \equiv a \mod p $ Lösbar $\Leftrightarrow x^2 \equiv b \mod p$ Lösbar
+\item Ist $g$ eine Primwurzel $\mod p$, so ist dann $\{ g, g^2 , \dots g^{p-1}\}$ ein primes Restsystem $\mod p$ und daher sind 
+\begin{align}
+ g^2,g^4,\dots,(g^{\frac{p-1}2})^2,(g^{\frac{p+1}2})^2,\dots,g^{2(p-1)}
+\end{align}
+\item 
+\begin{enumerate}
+ \item Fall: $a$ ist quadratischer Rest, das heißt, $a \equiv g^{2k} \mod p$ für ein $k\in \N$, woraus folgt
+ \begin{align}
+ a^{\frac{p-1}{a}}
+\end{align}
+ \item Fall: $a $ ist quadritscher $\mod p $, das heißt $a \equiv g^{2k+1} \mod p$ für ein $k \in \N$. Dann gilt
+ \begin{align}
+  a^{\frac{p-1}2} = (g^{2k+1})^{\frac{p-1}2}
+ \end{align}
+\end{enumerate}
+\item Fallunterscheidung
+\begin{enumerate}
+ \item $(a/p) = (b/p) = 1$
+ \item o.b.d.A. $(a/p) = 1, (b/p) = -1$
+ \item $(a/p) = (b/p) = -1$
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+zu (a) $\exists k,\ell \in \N : a\equiv g^{2k} \mod p, b \equiv g^{2\ell} \mod p$
+Dann gilt:
+\begin{align}
+ (\frac{ab}{p}) = (\frac{g^{2k}g^{2\ell}}{p}) = (\frac{g^{2(k+\ell)}}{p})= 1 = \underbrace{(\frac{a}{p})}_{=1}\underbrace{(\frac{b}{p})}_{=1}
+\end{align}
+zu (b),(c) -> Analog
+
+\subsection*{Ergänzung 3.7}
+$(\frac{a}{b} := \underbrace{(\frac{a}{p_1})(\frac{a}{p_2}\cdots(\frac{a}{p_r})}_{\text{Legendresymbole}}$
 
 \end{document}