From: Peter Schaefer Date: Wed, 21 Nov 2012 09:39:44 +0000 (+0100) Subject: [doc] Kapitel 3... X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=d45700653f329df8756d25067f1683722c0c705b;p=bacc.git [doc] Kapitel 3... --- diff --git a/doc/doc.pdf b/doc/doc.pdf index 0f6a2a4..924d372 100644 Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ diff --git a/doc/doc.tex b/doc/doc.tex index 0b21354..dc3cce8 100644 --- a/doc/doc.tex +++ b/doc/doc.tex @@ -277,7 +277,7 @@ Weiterhin werden wir die vier Ecken des Rechtecks als Menge der Knoten des Rechtecks $T$ bezeichnen und als Kanten von $T$ nennen wir die Menge \begin{align*} \E_T&:= \{[k_T, \tilde k_T] ~|~ k_T,\tilde k_T\in \K_T, k_T\neq\tilde k_T\}. -\end{align*} +\end{align*}\todo{Diagonalen sind dabei!!!} \end{bem} \begin{defi}Sei $a,b\in\R$ für $T$ definiert wie in Def. \ref{math:def:T}, dann heißt \begin{align*} @@ -296,9 +296,6 @@ die Seitenlänge des Rechtecks $T$ in Richtung $\bs a$. Die Seitenlänge in Rich \end{defi} \todo{Unterscheiden zwischen parallel und orthogonal und dafür $\dist$ definieren} \begin{defi} -Ist $c \in T_j \cap T_k$ ein Eckpunkt von $T_j$ aber nicht von $T_k$, so nennen wir $c$ einen hängenden Knoten. -\end{defi} -\begin{defi} Sei $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine endliche Menge von achsenorientierten Rechtecken. Es bezeichne $\K_{\ell}:=\bigcup_{T\in\T} k_T$ die Menge der Knoten von $\T_{\ell}$ und $\E_{\ell}:=\bigcup_{T\in\T} e_T$ die Menge der Kanten. Wir nennen $\T_{\ell}$ eine Partition von $\Gamma$, falls \begin{itemize} \item $\overline{\Gamma} = \bigcup_{j=1}^NT_j$ @@ -343,13 +340,11 @@ Für eine Partition $\T_{\ell}$ bezeichnen wir mit $\widehat \T_{\ell}$ jene Par \begin{enumerate} \renewcommand{\theenumi}{(\roman{enumi})} \item \label{alg:refine:first} - $\sqcap_{\ell}^{(i+1)} := \sqcap_{\ell}^{(i)} \cup \{ e_{T'}' \in \S_{\ell}\backslash\sqcap_{\ell}^{(i)} ~|~ \exists e_T \in \sqcap_{\ell}^{(i)} e' \supseteq e \} \cup \{\tilde e_T \in \S_{\ell} ~|~ \exists e\in\E_T : e\cap\tilde e=\emptyset\}$ + $\sqcap_{\ell}^{(i+1)} := \sqcap_{\ell}^{(i)} \cup \{ e_{T'}' \in \S_{\ell}\backslash\sqcap_{\ell}^{(i)} ~|~ \exists e_T \in \sqcap_{\ell}^{(i)}: e' \supsetneq e \} \cup \{\tilde e_{T'} \in \S_{\ell} ~|~ \todo{ \exists \tilde e\in\E_{T'} :} e'\cap\tilde e=\emptyset\}$ \item Falls $\sqcap_{\ell}^{(i)} \subsetneq \sqcap_{\ell}^{(i+1)}$, $i = i+1$ und gehe zu Schritt \ref{alg:refine:first} \item Teile alle Elemente aus $\T_{\ell}$ bezüglich der markierten Kanten $\sqcap_{\ell}^{(i)}$, wie in der lokalen Verfeinerung vorgegeben \end{enumerate} - -$\{\tilde e_T ~|~ \exists e \in \E_T : e \cap \tilde e =\emptyset \}$ \end{alg} \clearpage @@ -408,12 +403,12 @@ Mit diesem Wissen definieren wir uns nun den Interpolationsoperator $\I_p u : \C % \end{align} Wie an der einfachen Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator \begin{align} -\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq 2\frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!} \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^n \abs{x-x_j} +\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq 2\frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!} \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=1}^n \abs{x-x_j} \quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1]) \end{align} zu sehen ist, hängt diese noch von der Wahl der Knoten ab. Um den Fehler weiter zu verbessen, werden wir das Produkt \begin{align*} - \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^n \abs{x-x_j} + \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=1}^n \abs{x-x_j} \end{align*} durch benutzen von Chebyshev-Knoten minimieren. Diese sind für das Intervall $[-1,1]$ gegeben durch \begin{align*} @@ -422,20 +417,20 @@ durch benutzen von Chebyshev-Knoten minimieren. Diese sind für das Intervall $[ Durch affine Transformation der Chebyshev-Knoten, ergibt sich der Fehlerschätzer \begin{align} \norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} - &\leq 4^{-p+1} \frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!} + &\leq 4 \frac{4^{-p}}{p!}\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]} \quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1]) \end{align} -für Chebyshev-Polynome auf .\\ -Ferner wollen wir nun die Interpolation auf Intervallen der Gestalt $[0,1]^d$ mit $d\in\N$ einführen. +für Chebyshev-Polynome.\\ +Ferner wollen wir nun die Interpolation auf Intervallen der Gestalt $[0,1]^d$ mit $d\in\N$ einführen. \begin{sat} +\todo{Multi InterPol} \begin{align} \norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]^d} - &\leq \frac{ 4^{-p+1}}{p!}\lambda_p^{d-1}\sum_{j=1}^d \norm{\partial_j^d u^{(p)}}_{\infty,[0,1]^d} - \quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1]) + &\leq 4\frac{ 4^{-p}}{p!}\lambda_p^{d-1}\sum_{j=1}^d \norm{\partial_j^d u^{(p)}}_{\infty,[0,1]^d} + \quad \text{ für alle }u \in \C^{p+1}([0,1]^d) \end{align} \end{sat} - \subsection{Gauss-Quadratur} Im Folgenden wollen wir die klassische Gauss-Quadratur definieren.\\ Unter einer Quadratur verstehen wir die approximative Berechnung eines Integrals der Form: @@ -565,7 +560,7 @@ Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisi D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k) \end{align} und -\begin{align} +\begin{align} \label{math:sem:zetaQ:c} \tilde C_{\zeta_Q,j,k}&:=2^4e\frac{c_1D_{j,k}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_Q}{c_2} \right) \end{align} Dann gilt für das Integral @@ -622,9 +617,15 @@ Mithilfe von Lemma \ref{thm:sem:pol:V} erhalten wir die Behauptung \begin{bem} Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta$ zulässige Rechtecke. Ist $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ so kann Satz (\ref{thm:sem:quad:V}) angewendet werden um $A_{jk}$ zu approximieren. Im Fall $\diam(T_j) > \diam(T_k)$ können wir $A_{jk}$ approximieren indem wir mithilfe von $A_{jk} = A_{kj}$ und Satz (\ref{thm:sem:quad:V}), $A_{kj}$ berechnen. \end{bem} + +\todo{\begin{bem} + $\Lambda_p$ wächst für Chebyshev-Polynome im wesentlichen logarithmisch in $p$. Daher konvergiert $(A_p)_{jk}$ für wachsenden Quadraturgrad $p$ exponentiell schnell gegen $A_{jk}$ + Zusammenhang von Quadraturgrad und Konvergenz +\end{bem} +} \subsection{Approximierende Matrix} -\begin{defi} +\begin{defi} \label{thm:sem:quad:Ap} Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke und $A \in \R^{n \times n}$ gegeben durch \eqref{math:gal:kap}. Dann ist die $A$ approximierende Matrix $A_p$ folgendermaßen definiert. \begin{itemize} \item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta$-unzulässig, so ist @@ -642,7 +643,35 @@ Mithilfe von Lemma \ref{thm:sem:pol:V} erhalten wir die Behauptung \end{itemize} \end{defi} - +\noindent +Wir wollen nun zeigen, dass die approximierende Matrix bezüglich der Frobenius-Norm für wachsenden Quadraturgrad exponentiell schnell gegen die gegebene Matrix konvergiert. Die Frobenius-Norm ist hierbei gegeben durch +\begin{align*} + \norm{A}_F := \left( \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n A_{ij}^2 \right)^{1/2} \quad \text{für} \quad A \in \R^{n \times n}. +\end{align*} +\todo{Dieser Satz ist wahrscheinlich unnötig +\begin{sat} + Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke. Sei $\kappa : \R^2\times \R^2 \to \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2$ und Singularitätsordung $s \geq 0$. Sei $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ wie in \eqref{math:sem:zetaQ:c}. Seien $A\in \R^{n \times n}$ eine Matrix, deren Einträge gegeben sind durch + \begin{align*} + A_{jk} + &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}. + \end{align*} + und sei $A_p$ die $A$ approximierende Matrix gemäß Definition \ref{thm:sem:quad:Ap}. Dann gilt + \begin{align*} + \norm{A-A_p}_F \leq n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}. + \end{align*} +\end{sat} +\beweis Betrachten wir zunächst die Differenz zwischen $A$ und $A_p$ in einem festen Eintrag $(A-A_p)_{jk}$. Sind $T_j$ und $T_k$ unzulässig ist die Differenz laut Definition $0$. Sind $T_j$ und $T_k$ hingegen zulässig so gilt nach Satz \ref{thm:sem:quad:V} +% \begin{align} +% \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&= \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)} +% \end{align} +\begin{align*} + \norm{A-A_p}_F^2 &= \sum_{j,k=1}^n (A_{jk} - (A_p)_{jk})^2\\ + &\leq \sum_{j,k=1}^n \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2\\ + &\leq \sum_{j,k=1}^n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2\\ + &= n^2 \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2. +\end{align*} +Durch ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung. \hfill$\square$ +} % \subsection{Quadratur über eine Achse} % \subsubsection{Quadratur} % \begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_A > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-zulässig, genau dann wenn @@ -789,7 +818,7 @@ g(-3/2;y;x;\lambda) &= \frac{y-x}{\lambda^2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{-1/2} \end{align*} benötigen, welche alle in \cite[Seite 2-3]{mai:3dbem} bewiesen wurden. \end{lem} -Hierbei wollen wir darauf hinweisen, dass wir für $p=-1$ nicht die in \cite[Seite 3]{mai:3dbem} vorgeschlagene Formel verwenden, sondern die mit Hilfe von Substitution durch $z = \frac{y-x}{\abs{\lambda}}$, beziehungsweise $dz = \frac 1 {\abs{\lambda}} dy$ selbst hergeleitete +Hierbei wollen wir darauf hinweisen, dass wir für $p=-1$ nicht die in \cite[Seite 3]{mai:3dbem} vorgeschlagene Formel verwenden, sondern die selbst hergeleitete. Mithilfe von Substitution durch $z = \frac{y-x}{\abs{\lambda}}$ und $dz = \frac 1 {\abs{\lambda}} dy$ gilt \begin{align*} \int \frac 1 {(x-y)^2 +\lambda^2} dy &= \int \frac 1 {\lambda^2((\frac{y-x}{\abs{\lambda}})^2 +1)} dy = \frac 1 {\abs{\lambda}} \int \frac 1 {z^2+1} dz\\ @@ -808,7 +837,7 @@ benötigen, welches sich für den den Fall $p = -3/2$ lässt als G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &=- \frac{\sgn\{(y_1-x_1)(y_2-x_2)\}}{2|\lambda|} \quad \text{ für } \lambda \neq 0\\ &\cdot \arccos\left( \frac{-2(y_1-x_1)^2(y_2-x_2)^2}{\{(y_1-x_1)^2+\lambda^2\}\{(y_2-x_2)^2+\lambda^2\}} +1 \right). \end{align*} -Für alle weiteren relevanten Fälle $p = -3/2 +k mit k \in \N$ können wir folgende Rekursionsformel aufstellen +Für alle weiteren relevanten Fälle $p = -3/2 +k$ mit $k \in \N$ können wir folgende Rekursionsformel aufstellen \begin{align*} (2p+2)G(p;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &= 2p\lambda^2 G(p-1;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda)\\ &+ (y_1-x_1)g(p;y_2;x_2;\sqrt{(y_1-x_1)^2+\lambda^2})\\ @@ -841,7 +870,7 @@ ${\bs a} = \tilde {\bs a}$ und ${\bs b} = \tilde{\bs b}$ gilt. Wir setzen $\bs{\ \begin{lem} Für die Stammfunktion auf parallelen Elementen \begin{align*} - F_{p}&(x1,x_2,y_1,y_2,\bs \delta) :=\\ &\int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2dy_1 dx_2 dx_1 + F_{p}&(x_1,x_2,y_1,y_2,\bs \delta) :=\\ &\int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2dy_1 dx_2 dx_1 \end{align*} gilt nach \cite[Seite 13]{mai:3dbem} \begin{align}