From: Peter Schaefer Date: Wed, 14 Nov 2012 14:13:02 +0000 (+0100) Subject: [doc] Interpolation überarbeitet (+Chebychev X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=bfabde2e9078bf25533f4f4ebdd24dcf5a91acb2;p=bacc.git [doc] Interpolation überarbeitet (+Chebychev --- diff --git a/doc/doc.pdf b/doc/doc.pdf index c6ccf9a..0f6a2a4 100644 Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ diff --git a/doc/doc.tex b/doc/doc.tex index ba654e1..0b21354 100644 --- a/doc/doc.tex +++ b/doc/doc.tex @@ -381,7 +381,7 @@ A_{jk} &=\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y unter bestimmten Voraussetzungen an die affinen Randstücke $T_j,T_k$ und den asymptotisch glatten Integranden $\kappa : \R^3 \times \R^3 \to \R$. \subsection{Interpolation} -An dieser stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. +An dieser stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. Ferner wollen wir mithilfe von Chebyshev-Knoten einen Fehlerschätzer für die Chebyshev'sche Interpolation auf Intervallen $[0,1]^d$ mit $d \in \N$ definieren. Im Folgenden bezeichnet $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$. \begin{defi} Für einen festen Grad $p \in \N$ und paarweise verschiedene Knoten $x_j \in [0,1]$ lautet das Lagrange'sche Interpolations Problem: @@ -394,7 +394,7 @@ Für die Lagrange-Polynome \begin{align*} L_j(x) &= \prod_{i=1,i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-xi}. \end{align*} -wissen wir aus \todo{cite}, dass das Lagrange'sche Interpolations Problem eine eindeutige Lösung hat, gegeben durch +wissen wir aus \todo{cite}, dass für das Lagrange'sche Interpolations Problem eine eindeutige Lösung gegeben ist, durch \begin{align*} q&=\sum_{j=0}^py_jL_j. \end{align*} @@ -406,17 +406,35 @@ Mit diesem Wissen definieren wir uns nun den Interpolationsoperator $\I_p u : \C % \begin{align} % \Lambda_p &:= \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}. % \end{align} -Eine einfache Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator ist +Wie an der einfachen Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator \begin{align} -\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq \frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!} \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^n \abs{x-x_j} -\quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1]). +\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq 2\frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!} \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^n \abs{x-x_j} +\quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1]) \end{align} -\todo{ -Chebyshev-Polynome: + zu sehen ist, hängt diese noch von der Wahl der Knoten ab. Um den Fehler weiter zu verbessen, werden wir das Produkt +\begin{align*} + \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^n \abs{x-x_j} +\end{align*} +durch benutzen von Chebyshev-Knoten minimieren. Diese sind für das Intervall $[-1,1]$ gegeben durch +\begin{align*} + x_j &= \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{ für } j=1,\ldots,p. +\end{align*} +Durch affine Transformation der Chebyshev-Knoten, ergibt sich der Fehlerschätzer +\begin{align} + \norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} + &\leq 4^{-p+1} \frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!} + \quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1]) +\end{align} +für Chebyshev-Polynome auf .\\ +Ferner wollen wir nun die Interpolation auf Intervallen der Gestalt $[0,1]^d$ mit $d\in\N$ einführen. +\begin{sat} \begin{align} - x_j &= \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac12 \right) \quad \text{ für } j=1,\ldots,p. + \norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]^d} + &\leq \frac{ 4^{-p+1}}{p!}\lambda_p^{d-1}\sum_{j=1}^d \norm{\partial_j^d u^{(p)}}_{\infty,[0,1]^d} + \quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1]) \end{align} -Multi-Interpol} +\end{sat} + \subsection{Gauss-Quadratur} Im Folgenden wollen wir die klassische Gauss-Quadratur definieren.\\ @@ -606,109 +624,127 @@ Mithilfe von Lemma \ref{thm:sem:pol:V} erhalten wir die Behauptung \end{bem} \subsection{Approximierende Matrix} - -\subsection{Quadratur über eine Achse} -\subsubsection{Quadratur} -\begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_A > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-zulässig, genau dann wenn - \begin{align}\label{math:sem:zetaQ} - \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_A \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)). - \end{align} - Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-unzulässig. +\begin{defi} + Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke und $A \in \R^{n \times n}$ gegeben durch \eqref{math:gal:kap}. Dann ist die $A$ approximierende Matrix $A_p$ folgendermaßen definiert. + \begin{itemize} + \item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta$-unzulässig, so ist + \begin{align*} + (A_p)_{jk} := A_{jk}. + \end{align*} + \item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta$-zulässig und $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$, so ist + \begin{align*} + (A_p)_{jk} := (A_{\zeta})_{jk}. + \end{align*} + \item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta$-zulässig und $\diam(T_j) > \diam(T_k)$, so ist + \begin{align*} + (A_p)_{jk} := (A_{\zeta})_{kj}. + \end{align*} + \end{itemize} \end{defi} -\begin{sat} Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit - \begin{align*} - C_{\zeta_A,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_A}{c_2} \right) - \end{align*} -die Abschätzung - \begin{align*} - \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k} - &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}. - \end{align*} -\end{sat} -\beweis Zunächst definieren wir die Konstanten -\begin{align*} - C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{\zeta_A}{c_2} -\end{align*} -und können dann die Konstante $C_{\zeta_A,j,k}$ kurz -\begin{align*} - C_{\zeta_A,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\rho_{\kappa}) -\end{align*} -schreiben.\\ -Sei $x_b,y_b \in [0,1]$ fest gewählt. Bezeichnet $\gamma$ die Parametrisierung von $T$, so gilt aufgrund der Kettenregel -\begin{align*} - \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa} - &=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\ - &=\diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} - \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}. -\end{align*} -Ferner gilt mit \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung -\begin{align*} - \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha}& \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\ - \leq& \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(x,x_b)-\gamma_k(y,y_b))})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\ - \leq & \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))^{\alpha+\beta} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(\alpha+\beta+s)}(\alpha+\beta)!\\ - = & \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{\alpha+\beta}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\ - \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!. -\end{align*} -Laut Voraussetzung sind $T_j,T_k$ $\zeta_A$-zulässig, weshalb $\kappa$ auf $T_j,T_k$ definitionsgemäß glatt ist. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt die Abschätzung mithilfe von \eqref{math:sem:zetaQ} -\begin{align*} - \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))&-\I_p^{[0,1]^2}\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))}_{\infty,[0,1]^2}\\ - &\leq C_{\kappa} 8e(1+\rho_{\kappa})\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\ -% &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\ - &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}. -\end{align*} -Weiterhin folgt für $T_j \times T_k$ -\begin{align*} - \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k} - &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}, -\end{align*} -womit der Beweis abgeschlossen ist. -\hfill$\square$ - -\subsubsection{Matrix} -\begin{sat} -Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei -\begin{align} - \tilde C_{\zeta,j,\kappa} -\end{align} -und -\begin{align} - D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k). -\end{align} -Dann gilt für das Integral -\begin{align} - A_{jk} - &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ - &= D_{j,k} - \int_{[0,1]^2} \int_{[0,1]^2} \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x} -\end{align} -und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Term -\begin{align*} - (A_p)_{jk}&=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) -\end{align*} -die Abschätzung -\begin{align} -. -\end{align} -\end{sat} -\beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt: -\begin{align*} - (A_p)_{jk} - &=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\ - &=D_{j,k} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d, -\end{align*} -wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\bs a}$ bezeichnet. Wegen der Additivität des Integrals und durch Hineinziehen des Betrags erhält man -\begin{align*} - \abs{A_{jk} &- (A_p)_{jk}}\\ - &=D_{j,k} \Abs{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 - \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) - \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d}\\ - &\leq D_{j,k} \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} - \abs{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)- \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)} ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}\\ - &=\why{\sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]}} -\end{align*} - -\todo{\hfill$\square$\\} +% \subsection{Quadratur über eine Achse} +% \subsubsection{Quadratur} +% \begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_A > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-zulässig, genau dann wenn +% \begin{align}\label{math:sem:zetaQ} +% \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_A \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)). +% \end{align} +% Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-unzulässig. +% \end{defi} +% +% \begin{sat} Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit +% \begin{align*} +% C_{\zeta_A,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_A}{c_2} \right) +% \end{align*} +% die Abschätzung +% \begin{align*} +% \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k} +% &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}. +% \end{align*} +% \end{sat} +% \beweis Zunächst definieren wir die Konstanten +% \begin{align*} +% C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{\zeta_A}{c_2} +% \end{align*} +% und können dann die Konstante $C_{\zeta_A,j,k}$ kurz +% \begin{align*} +% C_{\zeta_A,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\rho_{\kappa}) +% \end{align*} +% schreiben.\\ +% Sei $x_b,y_b \in [0,1]$ fest gewählt. Bezeichnet $\gamma$ die Parametrisierung von $T$, so gilt aufgrund der Kettenregel +% \begin{align*} +% \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa} +% &=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\ +% &=\diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} +% \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}. +% \end{align*} +% Ferner gilt mit \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung +% \begin{align*} +% \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha}& \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\ +% \leq& \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(x,x_b)-\gamma_k(y,y_b))})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\ +% \leq & \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))^{\alpha+\beta} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(\alpha+\beta+s)}(\alpha+\beta)!\\ +% = & \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{\alpha+\beta}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\ +% \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!. +% \end{align*} +% Laut Voraussetzung sind $T_j,T_k$ $\zeta_A$-zulässig, weshalb $\kappa$ auf $T_j,T_k$ definitionsgemäß glatt ist. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt die Abschätzung mithilfe von \eqref{math:sem:zetaQ} +% \begin{align*} +% \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))&-\I_p^{[0,1]^2}\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))}_{\infty,[0,1]^2}\\ +% &\leq C_{\kappa} 8e(1+\rho_{\kappa})\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\ +% % &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\ +% &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}. +% \end{align*} +% Weiterhin folgt für $T_j \times T_k$ +% \begin{align*} +% \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k} +% &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}, +% \end{align*} +% womit der Beweis abgeschlossen ist. +% \hfill$\square$ +% +% \subsubsection{Matrix} +% \begin{sat} +% Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei +% \begin{align} +% \tilde C_{\zeta,j,\kappa} +% \end{align} +% und +% \begin{align} +% D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k). +% \end{align} +% Dann gilt für das Integral +% \begin{align} +% A_{jk} +% &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ +% &= D_{j,k} +% \int_{[0,1]^2} \int_{[0,1]^2} \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x} +% \end{align} +% und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Term +% \begin{align*} +% (A_p)_{jk}&=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) +% \end{align*} +% die Abschätzung +% \begin{align} +% . +% \end{align} +% \end{sat} +% \beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt: +% \begin{align*} +% (A_p)_{jk} +% &=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\ +% &=D_{j,k} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d, +% \end{align*} +% wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\bs a}$ bezeichnet. Wegen der Additivität des Integrals und durch Hineinziehen des Betrags erhält man +% \begin{align*} +% \abs{A_{jk} &- (A_p)_{jk}}\\ +% &=D_{j,k} \Abs{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 +% \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) - \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d}\\ +% &\leq D_{j,k} \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} +% \abs{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)- \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)} ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}\\ +% &=\why{\sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]}} +% \end{align*} +% +% \todo{\hfill$\square$\\} +% \clearpage