From: Peter Schaefer Date: Fri, 12 Apr 2013 15:49:11 +0000 (+0200) Subject: [doc] Vergleich Verfeinerung angefangen X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=bdb86353daffb4ae03e8e2db21f7a15830571871;p=bacc.git [doc] Vergleich Verfeinerung angefangen --- diff --git a/doc/code.pdf b/doc/code.pdf index d874c16..875c900 100644 Binary files a/doc/code.pdf and b/doc/code.pdf differ diff --git a/doc/doc.pdf b/doc/doc.pdf index 31b36d4..d515cd4 100644 Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ diff --git a/doc/doc.tex b/doc/doc.tex index 30ef6a5..fa38984 100644 --- a/doc/doc.tex +++ b/doc/doc.tex @@ -1954,8 +1954,7 @@ implementiert die Definitionen zum Bestimmen der Markierung. \subsection{Adaptivität} Mithilfe der oben Definierten Funktionen ist es uns nun möglich den Ablauf der Berechnungen zusammen zu fassen. - -\begin{alg}[Adaptives Verfahren] Sei $\theta,\nu \in (0,1)$ fest gewählt und das Netz $\T_{\ell}$ gegeben. +\begin{alg}[Adaptives Verfahren]\label{alg:adapt} Sei $\theta,\nu \in (0,1)$ fest gewählt und das Netz $\T_{\ell}$ gegeben. \begin{enumerate} \renewcommand{\theenumi}{(\roman{enumi})} \item Verfeinere $T_{\ell}$ um $\hat T_{\ell}$ zu erhalten \label{alg:adapt:begin} @@ -1976,6 +1975,63 @@ Mithilfe der oben Definierten Funktionen ist es uns nun möglich den Ablauf der \end{figure} + +\subsection{Vergleich} +Im Folgenden werden wir die Laplace-Gleichung +\begin{align}\label{math:bsp:gls} +\begin{aligned} +- \varDelta u &= 0 \quad\text{ in } \Omega \subset \R^3, \\ +u &= g \quad \text{ auf }\Gamma, +\end{aligned} +\end{align} +mit dem Startnetz aus Abbildung \ref{fig:mesh:2DQuad}, einem Quadrat in der $z=0$ Ebene genauer betrachten. + +\noindent +Zunächst wollen wir drei Verfeinerungs-Strategien genauer untersuchen. Hierzu betrachten wir zum einen die Strategie "`uniform"' ($\theta=1,\nu=0$) bei der das verfeinerte Netz $\T_{\ell+1}$ durch isotrope Verfeinerung aller Elemente entsteht, also jedes Element wird in vier gleich Große Elemente geteilt. In der zweiten Strategie "`isotrop"' ($\theta=0.5,\nu=0$) werden wir zulassen, dass nicht alle Elemente verfeinert werden, also nur eine Teilmenge wird jeweils in vier gleich große Elemente geteilt. Und in der letzten Strategie "`anisotrop"' ($\theta=0.5,\nu=0.5$) werden wir außerdem anisotrope Teilungen zulassen, also ein Teil der Elemente wird geeignet in zwei oder vier gleich Große Elemente geteilt. Für alle drei Strategien werden wir den Algorithmus \ref{alg:adapt} mit entsprechenden Parametern $\theta,\nu$ verwenden. + +\noindent +In Abbildung \ref{fig:2DQuad:verfeinern:err} betrachten wir den Fehler gegenüber der tatsächlichen Lösung in Abhängigkeit der Elementanzahl des $\T_{\ell}$ Netzes. + +\begin{figure}[ht] + +\psfrag{tmu 1t1n0 A}{\tiny $\tilde \mu$ (uniform)} +\psfrag{eta 1t1n0 A}{\tiny $\eta$ (uniform)} +\psfrag{fehler 1t1n0 A}{\tiny Fehler (uniform)} +\psfrag{Zeit 1t1n0 A}{\tiny Zeit (uniform)} +\psfrag{cond 1t1n0 A}{\tiny Kondition (uniform)} +\psfrag{min hmin/max hmax 1t1n0 A}{\tiny $(\min h_{min})/(\max h_{max})$ (uniform)} +\psfrag{min hmax/max hmax 1t1n0 A}{\tiny $(\min h_{max})/(\max h_{max})$ (uniform)} +\psfrag{min hmin/hmax 1t1n0 A}{\tiny $(\min h_{min})/h_{max}$ (uniform)} + +\psfrag{tmu 1t05n0 A}{\tiny $\tilde \mu$ (isotrop)} +\psfrag{eta 1t05n0 A}{\tiny $\eta$ (isotrop)} +\psfrag{fehler 1t05n0 A}{\tiny Fehler (isotrop)} +\psfrag{Zeit 1t05n0 A}{\tiny Zeit (isotrop)} +\psfrag{cond 1t05n0 A}{\tiny Kondition (isotrop)} +\psfrag{min hmin/max hmax 1t05n0 A}{\tiny $(\min h_{min})/(\max h_{max})$ (isotrop)} +\psfrag{min hmax/max hmax 1t05n0 A}{\tiny $(\min h_{max})/(\max h_{max})$ (isotrop)} +\psfrag{min hmin/hmax 1t05n0 A}{\tiny $(\min h_{min})/h_{max}$ (isotrop)} + +\psfrag{tmu 1t05n05 A}{\tiny $\tilde \mu$ (anisotrop)} +\psfrag{eta 1t05n05 A}{\tiny $\eta$ (anisotrop)} +\psfrag{fehler 1t05n05 A}{\tiny Fehler (anisotrop)} +\psfrag{Zeit 1t05n05 A}{\tiny Zeit (anisotrop)} +\psfrag{cond 1t05n05 A}{\tiny Kondition (anisotrop)} +\psfrag{min hmin/max hmax 1t05n05 A}{\tiny $(\min h_{min})/(\max h_{max})$ (anisotrop)} +\psfrag{min hmax/max hmax 1t05n05 A}{\tiny $(\min h_{max})/(\max h_{max})$ (anisotrop)} +\psfrag{min hmin/hmax 1t05n05 A}{\tiny $(\min h_{min})/h_{max}$ (anisotrop)} + +\caption{2D Quad im Vergleich vollanalytisch $V\phi = 1$} +\centering +\label{fig:exmpl_2DQuad_tn_A} +\subfloat[Fehler \label{fig:2DQuad:verfeinern:err}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/1tn_2DQuad_error}} +\subfloat[Seitenverhältnis]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/1tn_2DQuad_hminmax}}\\ +\subfloat[Kondition]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/1tn_2DQuad_cond}} +\subfloat[Zeit]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/1tn_2DQuad_time}} +\end{figure} + + + % Zum Plotten (Abb.\ref{fig:exmplAA_2DQuad})werden noch folgende Schritte ausgeführt % \begin{itemize} % \item Berechne Galerkinlösung $\phi_{\ell} \in P^0(\T_{\ell})$ @@ -2019,10 +2075,10 @@ Mithilfe der oben Definierten Funktionen ist es uns nun möglich den Ablauf der \caption{Objekt Beispiele} \centering \label{fig:objects} -\subfloat[2D L Shape]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_2DLShape_ref}} -\subfloat[2D Quad]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_2DQuad_ref}}\\ -\subfloat[3D Cube]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_3DCube_ref}} -\subfloat[3D FichCube]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_3DFichCube_ref}} +\subfloat[2D L Shape\label{fig:mesh:2DLShape}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_2DLShape_ref}} +\subfloat[2D Quad\label{fig:mesh:2DQuad}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_2DQuad_ref}}\\ +\subfloat[3D Cube\label{fig:mesh:3DCube}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_3DCube_ref}} +\subfloat[3D FichCube\label{fig:mesh:3DFichCube}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_3DFichCube_ref}} \end{figure} \clearpage