From: Peter Schaefer <schaeferpm@gmail.com>
Date: Tue, 24 Apr 2012 10:54:27 +0000 (+0200)
Subject: UE2-9,10,11
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UE2-9,10,11
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+++ b/UE/ue2.tex
@@ -64,9 +64,60 @@ Lösen durch einsetzen:
 \end{align}
 
 \subsection*{9. Aufgabe}
+{\texttt{Man bestimme alle Lösungen der Kongruenz $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+5x+6 \equiv 0 \mod 120$ durch Zurückführen auf die entsprechenden Lösungen mod 8, mod 3 und mod 5 und Anwendung des Chinesischen Restsatzes.  }} \\
+
 \begin{align}
  f(x) &= 2x^3-3x^2+5x+6 \equiv 0 \mod 120
 \end{align}
-
+Durch ausprobieren der möglichen Lösungen für$\mod 3,5,8$ erhält man
+\begin{align}
+ f(x) &= 2x^3-0x^2+2x+0 \equiv 0 \mod 3 && \Rightarrow x = 0\\
+ f(x) &= 2x^3-3x^2+5x+1 \equiv 0 \mod 5 && \Rightarrow x = 1,2\\
+ f(x) &= 2x^3-3x^2+5x+6 \equiv 0 \mod 8 && \Rightarrow x = 3,6
+\end{align}
+Mithilfe des Chinesischen Restsatzes Lösen wir also:
+\begin{align}
+ x &\equiv 0 \mod 3\\
+ x &\equiv 1,2 \mod 5\\
+ x &\equiv 3,6 \mod 8
+\end{align}
+Bestimmen wir also $r_i$ und $s_i$
+\begin{align}
+-13 \cdot 3 + 1 \cdot 40 &= 1\\
+5 \cdot 5 -1 \cdot 24 &= 1\\
+2 \cdot 8 -1 \cdot 15 &= 1
+\end{align}
+\begin{align}
+ x &= \sum_i a_i \cdot s_i \cdot M_i\\
+ x &= 40 \cdot 0 \cdot -24 + 1 \cdot 21 + 3 \cdot 15 & x &= -69 \mod 120 & x &= 51 \mod 120\\
+ x &= 40 \cdot 0 \cdot -24 + 1 \cdot 21 + 6 \cdot 15 & x &= -114 \mod 120 & x &= 6 \mod 120\\
+ x &= 40 \cdot 0 \cdot -24 + 2 \cdot 21 + 3 \cdot 15 & x &= -93 \mod 120 & x &= 27 \mod 120\\
+ x &= 40 \cdot 0 \cdot -24 + 2 \cdot 21 + 6 \cdot 15 & x &= -138 \mod 120 & x &= 102 \mod 120\\
+\end{align}
+\subsection*{10. Aufgabe}
+Angenommen, man erhält eine Klasseneinteilung --> dann sind alle Klassen nichtleer und paarweise disjunkt.  Kann man nun für jede Klasse zeigen, dass $\vert C_{d} \vert = \varphi(d)$, so ist man fertig.  \\
+Nun gilt aber die Äquivalenz
+\begin{equation}
+  1 \leq x \leq n \land ggt(x,n)=d \Leftrightarrow 1 \leq x/d \leq n \land ggt(x/d,n/d)=1
+\end{equation}
+Die Anzahl der Elemente auf der rechten Seite ist aber durch die phi-Funktion gegeben.  Mit $\varphi(n/d)$ durchläuft aber auch alle Teiler, da diese sich eindeutig entsprechen, da $n \neq 0$.  
+\subsection*{11. Aufgabe}
+{\texttt{Sei $p$ eine Primzahl und für jeden positiven Teiler $d$ von $p-1$ sei $A_{d}$ die Menge derjenigen Elemente in $\lbrace 1,2,\ldots, p-1 \rbrace$ mit der Ordnung $d$.  Wieviele Elemente hat ein $A_{d}$ unter der Voraussetzung, dass es nichtleer ist?  Warum folgt daraus mit Hilfe von Aufgabe $10$, dass keine der Mengen $A_{d}$ leer sein kann, insbesondere also $A_{p-1}$ nicht, d.h. es gibt eine Primitivwurzel mod $p$?}} \\
+Es gilt folgende Eigenschaft der Ordnung eines Elements $x$:
+\begin{equation}\label{ord}
+  ord(x)=m \implies ord(x^{k})=\frac{m}{ggT(k,m)}
+\end{equation}
+Ist $A_{d}$ nichtleer, so wähle man ein Element $x_{0} \in A_{d}$ aus, nach obiger Formel \eqref{ord} folgt unter Berücksichtigung von 
+\begin{equation}
+  Z_{n}^{*} = \lbrace z \mid 1 \leq z \leq n \land ggT(z,n)=1 \rbrace, \quad \vert Z_{n}^{*} \vert = \varphi(n),
+\end{equation}
+dass,
+\begin{equation}
+  \lbrace x_{0}^{j} \mid j \in \Z_{d}^{*} \rbrace \subseteq A_{d},
+\end{equation}
+insbesondere erhält man daraus für die Mächtigkeiten
+\begin{equation}
+  \varphi(d) \leq \vert A_{d} \vert
+\end{equation}
 
 \end{document}