From: Peter Schaefer Date: Mon, 12 Nov 2012 09:01:11 +0000 (+0100) Subject: [doc] Kapitel 3 Struktur + Matrix schätzer X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=aaf7c528857012a90463028b74fc6b7751aa395d;p=bacc.git [doc] Kapitel 3 Struktur + Matrix schätzer --- diff --git a/doc/doc.pdf b/doc/doc.pdf index f2c0489..0070e07 100644 Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ diff --git a/doc/doc.tex b/doc/doc.tex index 94d4036..1dff091 100644 --- a/doc/doc.tex +++ b/doc/doc.tex @@ -35,7 +35,8 @@ \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\arsinh}{arsinh} -\DeclareMathOperator{\diam}{diam} +% \DeclareMathOperator{\diam}{diam} +\newcommand{\diam}{\mathcal{D}} \DeclareMathOperator{\dist}{dist} \DeclareMathOperator{\len}{len} @@ -284,7 +285,7 @@ als Menge der Knoten des Rechtecks $T$ bezeichnen und als Kanten von $T$ nennen \end{align*} Durchmesser von T. Weiterhin nennen wir \begin{align*} - \diam_{|\bs a} (T) = a + \diam_{\bs a} (T) = a \end{align*} die Seitenlänge des Rechtecks $T$ in Richtung $\bs a$. Die Seitenlänge in Richtung $\bs b$ definieren wir analog. \end{defi} @@ -452,7 +453,7 @@ gilt, wobei $p$ das Interpolationspolynom von $f$ vom Grad $n$ zu den Knoten $x_ % Das Integral über $T_j$ kann durch die analytische Doppelintegral Funktion ersetzt werden. Die Quadratur über $T_k$ wird nun mittels einer doppelten Gauss-Quadratur berechnet. \begin{defi} - Die Kern-Funktion $\kappa(\bs x,\bs y)$ heißt asymptotisch glatt, falls sie glatt ist für $\bs x \neq \bs y$ und Konstanten $c_1,c_2>0$ und eine Ordnung der Singularität $s \in \R$ existieren, sodass + Die Kern-Funktion $\kappa(\bs x,\bs y)$ heißt asymptotisch glatt , falls sie glatt ist für $\bs x \neq \bs y$ und Konstanten $c_1,c_2>0$ und eine Ordnung der Singularität $s \in \R$ existieren, sodass \begin{align}\label{math:sem:glatt} % Glatter KERN \abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\partial_{\bs y}^{\beta}\kappa(\bs x, \bs y)} &\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha} + \abs{\beta})! @@ -483,7 +484,7 @@ Dann gilt für alle $k\in \N_0$ \end{align} \end{lem} \hfill$\square$ -\subsubsection{volle Quadratur} +\subsubsection{Quadratur} \begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_Q > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_Q$-zulässig, genau dann wenn \begin{align}\label{math:sem:zetaQ} \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}. @@ -512,8 +513,10 @@ und können dann die Konstante $C_{\zeta_Q,j,k}$ kurz schreiben.\\ Bezeichnet $\gamma$ die Parametrisierung von $T$, so gilt aufgrund der Kettenregel \begin{align*} - \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa}&=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\ - &=\diam(T_j)^{\alpha} \diam(T_k)^{\beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}. + \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa} + &=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\ + &=\diam(T_j)^{\alpha} \diam(T_k)^{\beta} + \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}. \end{align*} Ferner gilt mit \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung \begin{align*} @@ -538,79 +541,27 @@ Weiterhin folgt für $T_j \times T_k$ womit der Beweis abgeschlossen ist. \hfill$\square$ -% \subsection{1D Integral} -% \begin{lem} -% Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_1$-zulässige, affine Randstücke mit $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$. Weiterhin sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit den Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. -% Dann gilt mit -% \begin{align} -% C_{\zeta,j,\kappa} &:= 4 e\frac{c_1}{(c_2 \todo{\dist(T_j,T_k)})^s}\left(1+\frac{\zeta}{c_2}\right) -% \end{align} -% die Abschätzung -% \begin{align*} -% \sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\cdot,\bs y)-\I_p\kappa(\cdot,\bs y)}_{\infty,T_{j| x_{\bs b}}} -% &\leq C_{\zeta,j,\kappa}(1+\Lambda_p)(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)}. -% \end{align*} -% \end{lem} -% \beweis Wir definieren die Konstanten -% \begin{align} -% C_{\kappa} &:= \frac{c_1}{(c_2 \todo{\dist(T_j,T_k)})^s}\geq 0 \quad \text{und} \quad -% \rho_{\kappa} := \frac{\zeta}{c_2}\geq 0 -% \end{align} -% und können die Konstante $C_{\zeta,j,\kappa}$ dann schreiben als: -% \begin{align} -% C_{\zeta,j,\kappa} &= C_{\kappa} 4 e(1+\rho_{\kappa}). -% \end{align} -% Sei $\bs y \in T_k$ fest gewählt. Ist $\gamma_{j | x_{\bs b}}$ die Parametrisierung von $T_{j| x_{\bs b}}$, so gilt aufgrund $\abs{\gamma_{j|x_{\bs b}}'}=\abs{a_j\bs a_j}=\diam_{|\bs a}(T_j)$ und der Kettenregel -% \begin{align*} -% \abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\kappa} -% &= \abs{\partial_{x_{\bs a}}^n(\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y))} -% = (\diam_{|\bs a}(T_j))^n\abs{(\partial_{x_{\bs a}}^n\kappa)(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)}. -% \end{align*} -% Mithilfe von \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_k$ gilt die Abschätzung\\ -% \todo{Ist $\abs{\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a})-\bs y}$ wirklich $\abs{\bs x -\bs y} \Rightarrow \dist(T_j,T_k)$} -% \begin{align*} -% (\diam_{|\bs a}(T_j))^n&\abs{(\partial_{x_{\bs a}}^n\kappa)(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)}\\ -% &\leq \diam_{|\bs a}(T_j))^n c_1(c_2 \abs{\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a})-\bs y})^{-n-s}n!\\ -% &= \diam_{|\bs a}(T_j))^n c_1(c_2 \todo{\abs{\bs x-\bs y}})^{-n-s}n!\\ -% &= \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x-\bs y})^s} \left(\frac{\diam_{|\bs a}(T_j))}{c_2 \abs{\bs x-\bs y}} \right)^nn!\\ -% &\leq C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn! -% \end{align*} -% Da $T_j$ und $T_k$ zulässig sind ist $\kappa$ auf $T_j \times T_k$ glatt. Daher sind die Voraussetzungen für \eqref{math:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt -% \begin{align*} -% \min_{v \in \P^p} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-v}_{\infty,[0,1]} -% &\leq C_{\kappa} 4 e(1+\rho_{\kappa})(p+1)\left( 1+ \frac{2}{\rho_{\kappa}} \right)^{-(p+1)}\\ -% &= C_{\zeta,j,\kappa}(p+1)\left( 1+ \frac{2}{\rho_{\kappa}} \right)^{-(p+1)} -% \end{align*} -% für alle $p \in \N_0$, wobei $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$ ist. Daraus folgt also -% \begin{align*} -% \min_{v \in \P^p} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-v}_{\infty,[0,1]} -% &\leq C_{\zeta,j,\kappa}(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)} -% \end{align*} -% und mithilfe von Satz \ref{math:ipol} gilt -% \begin{align*} -% \norm{\kappa(\cdot,\bs y)-\I_p\kappa(\cdot,\bs y)}_{\infty,T_{j| x_{\bs b}}} -% &\leq C_{\zeta,j,\kappa}(1+\Lambda_p)(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)}. -% \end{align*} -% Da $\bs y$ und $x_{\bs b}$ beliebig war und die rechte Seite unabhängig von $\bs y,x_{\bs b}$ ist, folgt die Behauptung für das Supremum. -% \hfill$\square$ - \subsubsection{Matrix} \begin{sat} -Seien $Tj,Tk$ zwei $\zeta_1$-zulässige affine Randstücke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$ und $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei +Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei \begin{align} - \tilde C_{\zeta,j,\kappa}. + \tilde C_{\zeta,j,\kappa} +\end{align} +und +\begin{align} + D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k). \end{align} Dann gilt für das Integral \begin{align} A_{jk} &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ - &=\diam(T_j) \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y) ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}} + &= D_{j,k} + \int_{[0,1]^2} \int_{[0,1]^2} \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x} \end{align} und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Term -\begin{align} - (A_p)_{jk} - &=\diam(T_j) \sum_{i=0}^p w_i \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a,i}),\bs y) ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}} -\end{align} +\begin{align*} + (A_p)_{jk}&=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) +\end{align*} die Abschätzung \begin{align} . @@ -619,21 +570,21 @@ die Abschätzung \beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt: \begin{align*} (A_p)_{jk} - &=\diam(T_j) \sum_{i=0}^p w_i \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a,i}),\bs y) ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}\\ - &=\diam(T_j) \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y), + &=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\ + &=D_{j,k} \int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \I_{2p+1}^2\I_{2p+1}^2 \kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) dx dy, \end{align*} wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\bs a}$ bezeichnet. Wegen der Additivität des Integrals und durch Hineinziehen des Betrags erhält man \begin{align*} \abs{A_{jk} &- (A_p)_{jk}}\\ - &=\diam(T_j) \Abs{ \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} - \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)- \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}}\\ - &\leq \diam(T_j) \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} - \abs{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)- \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)} ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}\\ + &=D_{j,k} \Abs{\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) - \int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \I_{2p+1}^2\I_{2p+1}^2 \kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) dx dy}\\ + &\leq D_{j,k}\int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \Abs{\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) - \I_{2p+1}^2\I_{2p+1}^2 \kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))} dx dy\\ &=\why{\sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]}} \end{align*} \todo{\hfill$\square$\\} + + \begin{lem} Seien $Tj,T_k$ zwei Randstücke, $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion und \begin{align} @@ -649,6 +600,109 @@ wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\b \end{lem} +\subsection{Quadratur über eine Achse} +\subsubsection{Quadratur} +\begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_A > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-zulässig, genau dann wenn + \begin{align}\label{math:sem:zetaQ} + \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_A \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)). + \end{align} + Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-unzulässig. +\end{defi} + +\begin{sat} Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit + \begin{align*} + C_{\zeta_A,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_A}{c_2} \right) + \end{align*} +die Abschätzung + \begin{align*} + \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k} + &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}. + \end{align*} +\end{sat} +\beweis Zunächst definieren wir die Konstanten +\begin{align*} + C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{\zeta_A}{c_2} +\end{align*} +und können dann die Konstante $C_{\zeta_A,j,k}$ kurz +\begin{align*} + C_{\zeta_A,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\rho_{\kappa}) +\end{align*} +schreiben.\\ +Sei $x_b,y_b \in [0,1]$ fest gewählt. Bezeichnet $\gamma$ die Parametrisierung von $T$, so gilt aufgrund der Kettenregel +\begin{align*} + \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa} + &=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\ + &=\diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} + \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}. +\end{align*} +Ferner gilt mit \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung +\begin{align*} + \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha}& \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\ + \leq& \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(x,x_b)-\gamma_k(y,y_b))})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\ + \leq & \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))^{\alpha+\beta} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(\alpha+\beta+s)}(\alpha+\beta)!\\ + = & \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{\alpha+\beta}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\ + \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!. +\end{align*} +Laut Voraussetzung sind $T_j,T_k$ $\zeta_A$-zulässig, weshalb $\kappa$ auf $T_j,T_k$ definitionsgemäß glatt ist. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt die Abschätzung mithilfe von \eqref{math:sem:zetaQ} +\begin{align*} + \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))&-\I_p^{[0,1]^2}\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))}_{\infty,[0,1]^2}\\ + &\leq C_{\kappa} 8e(1+\rho_{\kappa})\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\ +% &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\ + &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}. +\end{align*} +Weiterhin folgt für $T_j \times T_k$ +\begin{align*} + \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k} + &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}, +\end{align*} +womit der Beweis abgeschlossen ist. +\hfill$\square$ + +\subsubsection{Matrix} +\begin{sat} +Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei +\begin{align} + \tilde C_{\zeta,j,\kappa} +\end{align} +und +\begin{align} + D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k). +\end{align} +Dann gilt für das Integral +\begin{align} + A_{jk} + &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ + &= D_{j,k} + \int_{[0,1]^2} \int_{[0,1]^2} \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x} +\end{align} +und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Term +\begin{align*} + (A_p)_{jk}&=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) +\end{align*} +die Abschätzung +\begin{align} +. +\end{align} +\end{sat} +\beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt: +\begin{align*} + (A_p)_{jk} + &=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\ + &=D_{j,k} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d, +\end{align*} +wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\bs a}$ bezeichnet. Wegen der Additivität des Integrals und durch Hineinziehen des Betrags erhält man +\begin{align*} + \abs{A_{jk} &- (A_p)_{jk}}\\ + &=D_{j,k} \Abs{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 + \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) - \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d}\\ + &\leq D_{j,k} \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} + \abs{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)- \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)} ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}\\ + &=\why{\sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]}} +\end{align*} + +\todo{\hfill$\square$\\} + + \clearpage