From: Peter Schaefer Date: Fri, 28 Jun 2013 08:52:10 +0000 (+0200) Subject: [doc] Abschätzung angepasst X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=a2462d69f660c391685cc31700bec0a152b06f3e;p=bacc.git [doc] Abschätzung angepasst --- diff --git a/doc/doc.pdf b/doc/doc.pdf index 65be601..6350511 100644 Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ diff --git a/doc/doc.tex b/doc/doc.tex index db41a91..463bf67 100644 --- a/doc/doc.tex +++ b/doc/doc.tex @@ -775,8 +775,9 @@ die Abschätzung \end{align} Weiterhin gilt für die Konstante $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ \begin{align*} - \tilde C_{\zeta_Q,j,k} & \leq 8 e \frac{c_1}{(c_2 \zeta_Q)^s} \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}}. + \tilde C_{\zeta_Q,j,k} & \leq 8 e \frac{c_1}{(c_2 \zeta_Q)^s} \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}}, \end{align*} + das heißt für $s\leq2$ steigt die Konstante $\tilde C_{\zeta_Q,\j,k}$ gleichmäßig geschwächt. \end{sat} @@ -802,16 +803,15 @@ Mithilfe von Satz \ref{thm:sem:pol:V} für den Grad $2p+1$ erhalten wir die Beha \noindent Da die Konstante $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ durch die Netzverfeinerung, aufgrund der Distanz sehr groß werden könnte, untersuchen wir sie an dieser Stelle noch einmal etwas genauer. - Mithilfe der folgenden Abschätzung für $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke $T_j,T_k$ + Es gilt \begin{align*} \tilde C_{\zeta_Q,j,k} & = 8 e \frac{c_1 \abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s}\left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\\ & \leq 8 e \frac{c_1 \abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2 \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right) \\ & \leq 8 e \frac{c_1 \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^2}{(c_2 \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}}\\ & = 8 e \frac{c_1}{(c_2 \zeta_Q)^s} \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}} - , + . \end{align*} - welche unabhängig von der im Netz auftretenden Distanzen ist, können wir also eine gute Aussage über die Stabilität der Zulässigkeitsbedingung im Zuge der Netzverfeinerung treffen, sofern $s\leq2$. Für das Modellproblem \eqref{math:gal:kap+} gilt beispielsweise $s=1$. \end{beweis} @@ -853,7 +853,7 @@ Wir wollen nun zeigen, dass die approximierende Matrix bezüglich der Frobenius- \end{align*} und sei $A_p$ die $A$ approximierende Matrix gemäß Definition \ref{thm:sem:quad:AV}. Dann gilt \begin{align*} - \norm{A-A_p}_F &\leq 8 e\frac{c_1(c_2\zeta_Q+2)}{(c_2\zeta_Q)^{s+1}}\Lambda_{2p+1}^4 \frac{2(p+1)}{\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{2(p+1)}} \abs{\Omega} \max_{j,k=1,\ldots,n} {\max\{\diam(T_j),\diam(T_k)\}^{2-s}}. + \norm{A-A_p}_F &\leq 8 e\frac{c_1(c_2\zeta_Q+2)}{(c_2\zeta_Q)^{s+1}}\Lambda_{2p+1}^4 \frac{2(p+1)}{\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{2(p+1)}} \abs{\Omega} \max_{\ell=1,\ldots,n} {\diam(T_\ell)^{2-s}}. \end{align*} \end{sat} @@ -935,7 +935,7 @@ wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzunge \begin{sat}\label{thm:sem:quad:E} Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_E$-zulässige Rechtecke, wobei $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ sei , mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei \begin{align}\label{math:sem:zetaE:c} - \tilde C_{\zeta_E,j,k}&:=8e\frac{c_1\abs{T_j}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\sqrt 2}{c_2\zeta_E} \right) = \abs{T_j} C_{\zeta_E,j,k}. + \tilde C_{\zeta_E,j,k}&:=8e\frac{c_1\abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\sqrt 2}{c_2\zeta_E} \right) = \abs{T_j} \abs{T_k} C_{\zeta_E,j,k}. \end{align} Dann gilt für das Integral \begin{align} @@ -954,8 +954,9 @@ die Abschätzung \end{align} Weiterhin gilt für die Konstante $\tilde C_{\zeta_E,j,k}$ \begin{align} - \tilde C_{\zeta_E,j,k}&\leq 8 e \frac{c_1 }{(c_2 \zeta_E)^s} \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{1-s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\max\{\abs{T_j},\abs{T_k}\}}. + \tilde C_{\zeta_E,j,k}&\leq 8 e \frac{c_1 }{(c_2 \zeta_E)^s} \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k} }, \end{align} +das heißt für $s\leq2$ steigt die Konstante $\tilde C_{\zeta_E,j,k}$ gleichmäßig geschwächt. \end{sat} @@ -971,28 +972,26 @@ wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ bezeichne \abs{&A_{jk} - (A_p)_{jk}}\\ &=\abs{T_j} \Big|\int_{[0,1]^2}\int_{T_k}\kappa(\gamma_j(\bs \lambda),\bs y) d{\bs y} d{\bs \lambda_j} - \int_{[0,1]^2}\int_{T_k} \I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(\bs \lambda),\bs y) d{\bs y} d{\bs \lambda}\Big|\\ &\leq \abs{T_j}\int_{[0,1]^2}\int_{T_k}\Big|\kappa(\gamma_j(\bs \lambda),\bs y) - \I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(\bs \lambda),\bs y) \Big|d{\bs y} d{\bs \lambda}\\ - &\leq \abs{T_j} \sup_{ \bs y \in T_k} \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_j(\cdot,\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]^2} + &\leq \abs{T_j} \abs{T_k} \sup_{ \bs y \in T_k} \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_j(\cdot,\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]^2} \end{align*} Mithilfe von Satz \ref{thm:sem:pol:E} für den Grad $2p+1$ erhalten wir die Behauptung \begin{align*} \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}} - &\leq \abs{T_j}C_{\zeta_E,j,k}\Lambda^2_{2p+1} 2(p+1)\left(1+ \sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-2(p+1)}\\ + &\leq \abs{T_j} \abs{T_k} C_{\zeta_E,j,k}\Lambda^2_{2p+1} 2(p+1)\left(1+ \sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-2(p+1)}\\ &= \tilde C_{\zeta_E,j,k}\Lambda^2_{2p+1} 2(p+1)\left(1+ \sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-2(p+1)}. \end{align*} \noindent Da die Konstante $\tilde C_{\zeta_E,j,k}$ durch die Netzverfeinerung, aufgrund der Distanz sehr groß werden könnte, untersuchen wir sie an dieser Stelle noch einmal etwas genauer. -Mithilfe der folgenden Abschätzung für $\zeta_E$-zulässige Rechtecke $T_j,T_k$ +Es gilt \begin{align*} - \tilde C_{\zeta_E,j,k} & = 8 e \frac{c_1 \abs{T_j}}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s}\left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\\ - & \leq 8 e \frac{c_1 \diam(T_j)}{(c_2 \zeta_E \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\abs{T_j}} + \tilde C_{\zeta_E,j,k} & = 8 e \frac{c_1 \abs{T_j}\abs{T_k} }{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s}\left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\\ + & \leq 8 e \frac{c_1 \diam(T_j)\diam(T_k)}{(c_2 \zeta_E \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}} \\ - & \leq 8 e \frac{c_1 }{(c_2 \zeta_E)^s} \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{1-s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\max\{\abs{T_j},\abs{T_k}\}}\\ -% & = 8 e \frac{c_1}{(c_2 \zeta_E)^s} \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}} - , + & \leq 8 e \frac{c_1 }{(c_2 \zeta_E)^s} \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k} } + . \end{align*} - welche unabhängig von der im Netz auftretenden Distanzen ist, können wir also eine gute Aussage über die Stabilität der Zulässigkeitsbedingung im Zuge der Netzverfeinerung treffen, sofern $s\leq 1$. Für das Modellproblem \eqref{math:gal:kap+} gilt beispielsweise $s=1$. \end{beweis} @@ -1049,22 +1048,22 @@ weshalb die Behauptung folgt. \end{align*} und sei $A_p$ die $A$ approximierende Matrix gemäß Definition \ref{thm:sem:quad:AE}. Dann gilt \begin{align*} - \norm{A-A_p}_F \leq 8 e \frac{c_1(c_2 \zeta_E+\sqrt{2}) }{(c_2 \zeta_E)^{s+1}} \frac{\Lambda_{2p+1}^2 2(p+1)\sqrt{2 \abs{\Omega}n}}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}} \max_{j,k=1,\ldots,n} {\min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{1-s}}. + \norm{A-A_p}_F \leq 8 e \frac{c_1(c_2 \zeta_E+\sqrt{2}) }{(c_2 \zeta_E)^{s+1}} \Lambda_{2p+1}^2 \frac{ 2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\abs{\Omega} \max_{\ell=1,\ldots,n} {\diam(T_\ell)^{2-s}}. \end{align*} \end{sat} -\begin{beweis} Betrachten wir zunächst die Differenz zwischen $A$ und $A_p$ in einem festen Eintrag $(A-A_p)_{jk}$. Sind $T_j$ und $T_k$ unzulässig, ist die Differenz laut Definition $0$ und die Abschätzung mit $\tilde C_{\zeta_E,j,k} = 0$ erfüllt. Sind $T_j$ und $T_k$ hingegen zulässig, unterscheiden wir zwei Fälle. Ist $\diam(T_j) \leq \diam (T_k)$, können wir Satz \ref{thm:sem:quad:E} anwenden. Andernfalls ist durch Lemma \ref{thm:sem:switch} $A_{jk}=A_{kj}$, worauf wir dann Satz \ref{thm:sem:quad:E} anwenden können und dadurch die selbe Abschätzung erhalten. Daraus folgt +\begin{beweis} Betrachten wir zunächst die Differenz zwischen $A$ und $A_p$ in einem festen Eintrag $(A-A_p)_{jk}$. Sind $T_j$ und $T_k$ unzulässig, ist die Differenz laut Definition $0$ und die Abschätzung mit $\tilde C_{\zeta_E,j,k} = 0$ erfüllt. Sind $T_j$ und $T_k$ hingegen zulässig, unterscheiden wir zwei Fälle. Ist $\diam(T_j) \leq \diam (T_k)$, können wir Satz \ref{thm:sem:quad:E} anwenden. Andernfalls ist $A_{jk}=A_{kj}$ durch Lemma \ref{thm:sem:switch}, worauf wir dann Satz \ref{thm:sem:quad:E} anwenden können und dadurch dieselbe Abschätzung erhalten. Daraus folgt \begin{align*} &\norm{A-A_p}_F^2 = \sum_{j,k=1}^n (A_{jk} - (A_p)_{jk})^2 \\ &\leq \sum_{j,k=1}^n \left(\tilde C_{\zeta_E,j,k}\Lambda_{2p+1}^2 2(p+1)\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-2(p+1)}\right)^2 \\ - &\leq \sum_{j,k=1}^n \left( 8 e \frac{c_1 \sqrt{\max\{\abs{T_j},\abs{T_k}\}}}{c_2^s \zeta_E^s \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{s-1}} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right) \Lambda_{2p+1}^2 \frac{2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\right)^2 + &\leq \sum_{j,k=1}^n \left( 8 e \frac{c_1 \sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}}}{c_2^s \zeta_E^s \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{s-2}} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right) \Lambda_{2p+1}^2 \frac{2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\right)^2 \\ - &= \left( 8 e \frac{c_1 }{c_2^s \zeta_E^s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right) \Lambda_{2p+1}^2 \frac{2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\right)^2 \sum_{j,k=1}^n \frac{{\max\{\abs{T_j},\abs{T_k}\}}}{\min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2s-2}} + &= \left( 8 e \frac{c_1 }{c_2^s \zeta_E^s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right) \Lambda_{2p+1}^2 \frac{2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\right)^2 \sum_{j,k=1}^n \frac{{\abs{T_j}\abs{T_k}}}{\max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2s-4}} \\ - &\leq \left( 8 e \frac{c_1(c_2 \zeta_E+\sqrt{2}) }{(c_2 \zeta_E)^{s+1}} \Lambda_{2p+1}^2 \frac{2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\right)^2 2\abs{\Omega}n \max_{j,k=1,\ldots,n} {\min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-2s}}. + &\leq \left( 8 e \frac{c_1(c_2 \zeta_E+\sqrt{2}) }{(c_2 \zeta_E)^{s+1}} \Lambda_{2p+1}^2 \frac{2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\right)^2 \abs{\Omega}^2 \max_{j,k=1,\ldots,n} {\max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{4-2s}}. \end{align*} Durch Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung. \end{beweis}