From: Peter Schaefer Date: Sat, 11 May 2013 10:52:12 +0000 (+0200) Subject: [doc] rechtschreibung 1 X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=8de54879518df81e2b4333cc76efca3439e0cfea;p=bacc.git [doc] rechtschreibung 1 [src] test_sol zum komplett durchlauf aktiviert --- diff --git a/doc/code.pdf b/doc/code.pdf index 611322c..d076296 100644 Binary files a/doc/code.pdf and b/doc/code.pdf differ diff --git a/doc/doc.pdf b/doc/doc.pdf index 3d20aad..f54e32a 100644 Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ diff --git a/doc/doc.tex b/doc/doc.tex index 4f4f112..a52101a 100644 --- a/doc/doc.tex +++ b/doc/doc.tex @@ -16,7 +16,8 @@ \usepackage{color} %Farben benutzen und Definieren \usepackage{subfig} %mehrere Figuren in einer -\usepackage{bibgerm} %Zitate und Referenzen Style +%\usepackage{bibgerm} %Zitate und Referenzen Style +\usepackage{babelbib} \usepackage{lstings} %Code Einbinden (Private) \usepackage{ifthen} @@ -199,7 +200,7 @@ % } % \noindent -In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Randelementmethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen +In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Randelementemethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen \begin{align} \begin{aligned} - \varDelta u &= 0 \quad\text{ in } \Omega \subset \R^3,\\ @@ -207,18 +208,18 @@ u &= g \quad \text{ auf }\Gamma := \partial \Omega, \end{aligned} \end{align} wobei $\varDelta u := \partial_x^2u+\partial_y^2u+\partial_z^2u$ den Laplace-Operator bezeichnet und $\Omega \subset \R^3$ eine beschränkte Teilmenge von $\R^3$ mit Lipschitz-Rand $\Gamma$ ist.\\ -In Abschnitt \ref{sec:bem} stellen wir die Randelementmethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen vor. Dabei verwenden wir den indirekten Ansatz, um anschließend mithilfe des Galerkin-Verfahrens die Gleichung zu lösen. An dieser Stelle werden wir auch kurz die Parametrisierung des Randes vorstellen. Wir werden im Folgenden den Rand in affine achsenorientierte Rechtecke $T$ zerlegen, das heißt die Punkte in einem Rechteck liegen in einer zu den Achsen des Koordinatensystem parallelen Ebene.\\ +In Abschnitt \ref{sec:bem} stellen wir die Randelementemethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen vor. Dabei verwenden wir den indirekten Ansatz, um anschließend mithilfe des Galerkin-Verfahrens die Gleichung zu lösen. An dieser Stelle werden wir auch kurz die Parametrisierung des Randes vorstellen. Wir werden im Folgenden den Rand in affine achsenorientierte Rechtecke $T$ zerlegen, das heißt die Punkte in einem Rechteck liegen in einer zu den Achsen des Koordinatensystems parallelen Ebene.\\ In Abschnitt \ref{sec:semi} werden wir uns mit der approximativen Berechnung des Doppelintegrals \begin{align}\label{math:intro:int} \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x, \bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x} \end{align} -beschäftigen. $\kappa(\bs x, \bs y)$ sei hierbei eine asymptotisch glatte Kernfunktion. Speziell interessieren wir uns hierbei für die asymptotisch glatte Funktion $\kappa(\bs x, \bs y) = \abs{\bs x - \bs y}^{-1}$. Ziel wird es sein, das äußere Integral durch eine Gauss-Quadratur zu ersetzen. Unter bestimmten Zulässigkeits\-beding\-ungen werden wir zeigen, dass der Quadraturfehler exponentiell schnell gegen 0 konvergiert. Weiterhin betrachten wir die in Abschnitt \ref{sec:bem} auftretende Matrix $A \in \R^{n\times n}$, deren Einträge $A_{jk}$ durch \eqref{math:intro:int} bestimmt werden. Denn wir werden eine approximative Matrix $A_p$ aufstellen, welche das durch Quadratur approximierte Integral für die zulässigen Einträge und für alle anderen das exakte Integral verwendet. Hiermit können wir dann zeigen, dass die approximative Matrix $A_p$ in der Frobeninusnorm exponentiell schnell gegen $A$ konvergiert.\\ +beschäftigen. $\kappa(\bs x, \bs y)$ sei hierbei eine asymptotisch glatte Kernfunktion. Speziell interessieren wir uns hierbei für die asymptotisch glatte Funktion $\kappa(\bs x, \bs y) = \abs{\bs x - \bs y}^{-1}$. Ziel wird es sein, das äußere Integral durch eine Gauss-Quadratur zu ersetzen. Unter bestimmten Zulässigkeits\-beding\-ungen werden wir zeigen, dass der Quadraturfehler exponentiell schnell gegen 0 konvergiert. Weiterhin betrachten wir die in Abschnitt \ref{sec:bem} auftretende Matrix $A \in \R^{n\times n}$, deren Einträge $A_{jk}$ durch \eqref{math:intro:int} bestimmt werden. Wir werden eine approximative Matrix $A_p$ aufstellen, welche das durch Quadratur approximierte Integral für die zulässigen Einträge und für alle anderen das exakte Integral verwendet. Hiermit können wir dann zeigen, dass die approximative Matrix $A_p$ in der Frobenius-Norm exponentiell schnell gegen $A$ konvergiert.\\ In Abschnitt \ref{sec:analyt} fassen wir kurz zusammen, wie wir das Doppelintegral in einfache Integrale zerlegen und anschließend voll analytisch berechnen können. Hierzu werden wir uns weitgehend an \cite{mai:3dbem} orientieren.\\ -Abschließend werden wir kurz die numerische Umsetzung der Techniken vorstellen und anhand von numerischen Beispielen vergleichen. Hierbei wird uns die voll analytische und approximative Berechnung, sowie die adaptive und uniforme Netzverfeinerung besonders interessieren. +Abschließend werden wir kurz die numerische Umsetzung der Techniken vorstellen und anhand von numerischen Beispielen vergleichen. Hierbei wird uns die voll analytische und approximative Berechnung sowie die adaptive und uniforme Netzverfeinerung besonders interessieren. \clearpage -\section{Randelementmethode}\label{sec:bem} +\section{Randelementemethode}\label{sec:bem} % \todo{ \scriptsize % \begin{itemize} % \item kuerzer als in Ferraz-DA \cite{fer:errbem} @@ -264,11 +265,11 @@ Die Fundamentallösung des Laplaceoperators \cite[Kapitel 5.1]{stb:fem} ist für \begin{align*} % \label{math:slp:fundamental} G(\bs z) := \frac 1 {4 \pi \abs{\bs z}}. \end{align*} -Weiterhin sei das Einfachschicht Potential $\tilde V$ gegeben durch +Weiterhin sei das Einfachschichtpotential $\tilde V$ gegeben durch \begin{align*} % \label{math:slp:tildeV} \tilde V\phi(\bs x) := \int_{\Gamma} G(\bs x -\bs y)\phi(\bs y) ds_{\bs y} \quad \text{für } \bs x \in \Omega. \end{align*} -Das Integral ist hier als Oberflächenintegral zu verstehen. Mit $\gamma_0$, bezeichnen wir den Spuroperator, der für $C^{\infty}(\bar\Omega)$ Funktionen über +Das Integral ist hier als Oberflächenintegral zu verstehen. Mit $\gamma_0$ bezeichnen wir den Spuroperator, der für $C^{\infty}(\bar\Omega)$ Funktionen über \begin{align*} % \label{math:slp:spurOp} \gamma_0 u = u|_{\Gamma} \end{align*} @@ -287,7 +288,7 @@ Insbesondere ist auch die Spur \gamma_0 \tilde V \in L(H^{-1/2}(\Gamma),H^{1/2}(\Gamma)) \end{align*} wohldefiniert. -Wir machen nun den sogenannten indirekten Ansatz $u = \tilde V\phi$, wodurch +Wir machen nun einen indirekten Ansatz $u = \tilde V\phi$, wodurch \begin{align}\label{math:slp:gls} V \phi = g \end{align} @@ -295,7 +296,7 @@ mit $V := \gamma_0\tilde V$ gilt. Ziel ist es nun, aus \eqref{math:slp:gls} eine Dann ist $\tilde V\phi$ die Lösung des Problems \eqref{math:slp:lapGLS}. \noindent -Da wir das Problem \eqref{math:slp:gls} im allgemeinen nicht Lösen können, werden wir es mithilfe des Galerkin-Verfahrens näherungsweise lösen. Die Idee dabei ist $H^{-1/2}(\Gamma)$ durch einen endlich dimensionalen Unterraum zu ersetzen. +Da wir das Problem \eqref{math:slp:gls} im allgemeinen nicht lösen können, werden wir es mithilfe des Galerkin-Verfahrens näherungsweise lösen. Die Idee dabei ist $H^{-1/2}(\Gamma)$ durch einen endlich dimensionalen Unterraum zu ersetzen. \noindent Bezeichne nun $\langle \cdot, \cdot \rangle$ das erweiterte $L^2$-Skalarprodukt, so existiert, da das Einfachschichtpotential $V$ ein symmetrischer, und mit geeigneter Skalierung elliptischer Isomorphismus ist, auf $\widetilde H^{-1/2}$ ein äquivalentes Skalarprodukt $\llangle \cdot, \cdot \rrangle$ mit $\llangle \phi, \psi \rrangle := \langle V\phi,\psi\rangle$ und der induzierten Norm $\enorm{\cdot}$. @@ -1162,7 +1163,7 @@ Durch ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung. \end{beweis} \begin{bem} - Bei der Randelementmethode mit Galerkin-Verfahren tritt die Stetigkeitsmatrix auf,deren Einträge $A_{jk}$ bis auf einen konstanten Faktor gegeben sind durch + Bei der Randelementemethode mit Galerkin-Verfahren tritt die Stetigkeitsmatrix auf,deren Einträge $A_{jk}$ bis auf einen konstanten Faktor gegeben sind durch \begin{align}\label{math:sem:approx} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac 1 {\abs{\bs x -\bs y}} ds_{\bs y} ds_{\bs y}. \end{align} diff --git a/doc/fig/2222t05n05_2DQuad_cond.eps b/doc/fig/2222t05n05_2DQuad_cond.eps index fd4bd28..9d6a428 100644 --- a/doc/fig/2222t05n05_2DQuad_cond.eps +++ b/doc/fig/2222t05n05_2DQuad_cond.eps @@ -1,7 +1,7 @@ %!PS-Adobe-2.0 EPSF-1.2 %%Creator: MATLAB, The MathWorks, Inc. Version 8.1.0.604 (R2013a). Operating System: Linux 3.7.0-7-generic #15-Ubuntu SMP Sat Dec 15 16:34:25 UTC 2012 x86_64. %%Title: ../doc/fig/2222t05n05_2DQuad_cond.eps -%%CreationDate: 04/24/2013 13:46:41 +%%CreationDate: 04/25/2013 08:51:29 %%DocumentNeededFonts: Helvetica %%DocumentProcessColors: Cyan Magenta Yellow Black %%Extensions: CMYK @@ -597,11 +597,11 @@ SO gs 624 270 3721 2936 MR c np /c8 { 0.000000 0.300000 0.300000 sr} bdef c8 -122 -166 107 -177 99 32 97 -133 94 4 87 -182 72 -149 55 -17 -84 -159 54 0 64 2 60 -180 61 94 61 -189 45 0 62 -190 -48 0 52 0 70 -189 51 0 90 -189 71 0 103 2 123 -185 -190 -168 254 -167 560 -70 1183 2994 28 MP stroke -gs 1132 567 2939 2479 MR c np +120 26 122 -166 107 -177 99 32 97 -133 94 4 87 -182 72 -149 +55 -17 84 -159 54 0 64 2 60 -180 61 94 61 -189 45 0 +62 -190 48 0 52 0 70 -189 51 0 90 -189 71 0 103 2 +123 -185 190 -168 254 -167 560 -70 1183 2994 29 MP stroke +gs 1132 567 3059 2479 MR c np 25 25 1183 2994 FO 25 25 1743 2924 FO 25 25 1997 2757 FO @@ -630,15 +630,16 @@ gs 1132 567 2939 2479 MR c np 25 25 3790 961 FO 25 25 3897 784 FO 25 25 4019 618 FO + 25 25 4139 644 FO gr /c9 { 0.000000 0.600000 0.600000 sr} bdef c9 -122 -166 107 -177 99 32 97 -133 94 4 87 -181 72 -150 55 -17 -84 -159 54 0 64 2 60 -180 61 94 61 -189 45 0 62 -190 -48 0 52 0 70 -189 51 0 90 -189 71 0 103 2 123 -185 -190 -168 254 -166 560 -71 1183 2994 28 MP stroke -gs 1132 567 2939 2479 MR c np +120 26 122 -166 107 -177 99 32 97 -133 94 4 87 -181 72 -150 +55 -17 84 -159 54 0 64 2 60 -180 61 94 61 -189 45 0 +62 -190 48 0 52 0 70 -189 51 0 90 -189 71 0 103 2 +123 -185 190 -168 254 -166 560 -71 1183 2994 29 MP stroke +gs 1132 567 3059 2479 MR c np 0 j 29 50 -58 0 29 -50 1183 3027 4 MP DP @@ -696,15 +697,17 @@ DP DP 29 50 -58 0 29 -50 4019 651 4 MP DP +29 50 -58 0 29 -50 4139 677 4 MP +DP gr /c10 { 0.600000 0.000000 0.600000 sr} bdef c10 -122 -166 107 -177 99 32 97 -133 94 4 87 -181 72 -150 55 -17 -84 -159 54 0 64 2 60 -180 61 94 61 -189 45 0 62 -190 -48 0 52 0 70 -189 51 0 90 -189 71 0 103 2 123 -185 -190 -168 254 -166 560 -71 1183 2994 28 MP stroke -gs 1132 567 2939 2479 MR c np +120 26 122 -166 107 -177 99 32 97 -133 94 4 87 -181 72 -150 +55 -17 84 -159 54 0 64 2 60 -180 61 94 61 -189 45 0 +62 -190 48 0 52 0 70 -189 51 0 90 -189 71 0 103 2 +123 -185 190 -168 254 -166 560 -71 1183 2994 29 MP stroke +gs 1132 567 3059 2479 MR c np 1166 2977 mt 1200 3011 L 1200 2977 mt 1166 3011 L 1726 2906 mt 1760 2940 L @@ -761,15 +764,17 @@ gs 1132 567 2939 2479 MR c np 3914 767 mt 3880 801 L 4002 601 mt 4036 635 L 4036 601 mt 4002 635 L +4122 627 mt 4156 661 L +4156 627 mt 4122 661 L gr /c11 { 0.000000 0.000000 0.900000 sr} bdef c11 -122 -166 107 -177 99 32 97 -133 94 4 87 -181 72 -150 55 -17 -84 -159 54 0 64 2 60 -180 61 94 61 -189 45 0 62 -190 -48 0 52 0 70 -189 51 0 90 -189 71 0 103 2 123 -185 -190 -168 254 -166 560 -71 1183 2994 28 MP stroke -gs 1132 567 2939 2479 MR c np +120 26 122 -166 107 -177 99 32 97 -133 94 4 87 -181 72 -150 +55 -17 84 -159 54 0 64 2 60 -180 61 94 61 -189 45 0 +62 -190 48 0 52 0 70 -189 51 0 90 -189 71 0 103 2 +123 -185 190 -168 254 -166 560 -71 1183 2994 29 MP stroke +gs 1132 567 3059 2479 MR c np 16 W 1183 2994 PD 16 W @@ -826,6 +831,8 @@ gs 1132 567 2939 2479 MR c np 3897 784 PD 16 W 4019 618 PD +16 W +4139 644 PD gr gr diff --git a/doc/fig/2222t05n05_2DQuad_error.eps b/doc/fig/2222t05n05_2DQuad_error.eps index 86441c6..3829467 100644 --- a/doc/fig/2222t05n05_2DQuad_error.eps +++ b/doc/fig/2222t05n05_2DQuad_error.eps @@ -1,7 +1,7 @@ %!PS-Adobe-2.0 EPSF-1.2 %%Creator: MATLAB, The MathWorks, Inc. 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The MathWorks, Inc. Version 8.1.0.604 (R2013a). 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Michael Feischl\\ \vspace{1cm} durch \\ Peter Matthias Schaefer \\ -Schopenhauerstr. 48/2 \\ +e0825843@student.tuwien.ac.at\\ +Volkertplatz 6/7 \\ 1180 Wien \end{center} -\end{titlepage} +% \end{titlepage} \clearpage \thispagestyle{empty} diff --git a/src/test_sol.m b/src/test_sol.m index cfc8dfc..2524888 100644 --- a/src/test_sol.m +++ b/src/test_sol.m @@ -10,58 +10,45 @@ mex mex_build_V.cpp slpRectangle.cpp CFLAGS="\$CFLAGS -O2 -fopenmp" CXXFLAGS="\ % Test ausführen %Anzahl der Schritte oder wenn groeßer als 40 der Elemente -steps = 10^4; +% steps = 10^4; %Art der Berechnungen -type = [2 2 2 2]; -zeta = { [0 2 2] [1 2 2] [2 2 2] [3 2 2]}; +% type = [2 2 2 2]; +% zeta = { [0 2 2] [1 2 2] [2 2 2] [3 2 2]}; %% Quad adaptiv anisotrop %Datei % file = 'exmpl_3DFichCube'; % file = 'exmpl_3DCube'; -file = 'exmpl_2DQuad'; +% file = 'exmpl_2DQuad'; % file = 'meshSave/132t05n05_2DQuad_30'; % file = 'meshSave/1432t05n05_3DFichCube_20'; %Adaptiv -theta = 0.5; +% theta = 0.5; %Anisotrop -nu = 0.5; +% nu = 0.5; tic -[a b fileo]=compute(file, steps, zeta, type, theta, nu, 0); - -time = toc -typeN = int2str(type); -steps = size(a,1); +% [a b fileo]=compute(file, steps, zeta, type, theta, nu, 0); +% +% time = toc +% typeN = int2str(type); +% steps = size(a,1); % A_plots({['meshSave/' fileo int2str(steps)]},... % ['plots/' fileo ... % int2str(steps)]); -%% Bla bla -% compute('exmpl_2DQuad', steps, zeta, type, 0.5, 0.5, 1, 'tsAAvcon_') -% %LShape adaptiv isotrop -% compute('exmpl_2DQuad', steps, zeta,type, 0.5, 0, 0, 'tsAI_') -% -% %LShape uniform anisotrop -% % compute('exmpl_2DLShape', steps, zeta, type, 1, 0.5, 0, 'tsUA_') -% -% %LShape uniform isotrop -% % compute('exmpl_2DLShape', steps, zeta, type, 1, 0, 0, 'tsUI_') -% -% -% %Ausgabe: -% % data = AnzElement Typ Schätzer Energienorm^2 +%% Tests für export_example -%meshSave Dateien -% test* - enthält die Ergebnisse (wie Ausgabe) sowie das aktuelle Netz -% fine_test* - enthält zwischenMatrizen und alle Netze & co (siehe A_step) +compute('exmpl_2DQuad', 10^4, {[]}, [1], 1, 0, 0); +compute('exmpl_2DQuad', 10^4, {[]}, [1], .5, 0, 0); +compute('exmpl_2DQuad', 29, {[]}, [1], .5, .5, 0); +compute('exmpl_2DQuad', 10^4, {[2 2 2] [2 2 2] [2 2 2]}, [1 3 2], .5, .5, 0); -%Ergebnis Plotten und Teil der Daten ausgeben sowie abspeichern der figure -% typeN = int2str(type); -% typeN = typeN(typeN ~= ' '); -% A_plots({['meshSave/testAA_' typeN '_' num2str(steps)]},'exmplAA_2DQuad') +compute('exmpl_3DFichCube', 10^4, {[2 2 2] [2 2 2] [2 2 2]}, [1 4 2], .5, .5, 0); + +compute('exmpl_2DQuad', 10^4, {[0 2 2] [1 2 2] [2 2 2] [3 2 2]}, [2 2 2 2], .5, .5, 0);