From: Peter Schaefer Date: Wed, 9 Oct 2013 11:00:17 +0000 (+0200) Subject: mehr inhalt X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=85c4b486aeff80d8f2afbde025b22b8db2abbaf8;p=anaalg.git mehr inhalt --- diff --git a/UE/template.sty b/UE/template.sty index 8014da5..eef8389 100644 --- a/UE/template.sty +++ b/UE/template.sty @@ -42,6 +42,7 @@ \def \R {\mathbb{R}} \def \C {\mathbb{C}} \def \P {\mathbb{P}} +\def \E {\mathbb{E}} \def\oder{\vee} \def\und{\wedge} diff --git a/Vorlesung.pdf b/Vorlesung.pdf index ccd29b0..3848c8f 100644 Binary files a/Vorlesung.pdf and b/Vorlesung.pdf differ diff --git a/Vorlesung.tex b/Vorlesung.tex index f9ef217..d13586a 100644 --- a/Vorlesung.tex +++ b/Vorlesung.tex @@ -20,31 +20,88 @@ \setcounter{secnumdepth}{-1} \section{Kurzzusammenfassung} -Das ist die "ge {\TeX} te" Mitschrift zur Vorlesung $118 \dot 186$ \emph{AKDIS Zahlentheorie und Anwendungen} vom Sommersemester 2012, gehalten von Prof. J. Wiesenbauer.\bigskip - -\noindent -Für weitere Informationen siehe HomePage \emph{www.algebra.ac.at} +Das ist die "ge {\TeX} te" Mitschrift zur Vorlesung... \newpage \begin{bew} \end{bew} -% \begin{align*} -% \geq&\sum_{i=1)^k a_i c_5 (x b_i)^\alpha(1+\int_1^{xb_i} \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}du) + g(x)\\ -% =&c_5 x^\alpha \sum_{i=1)^k a_ib_i^\alpha + c5 x^\alpha \sum_{i=1)^k a_ib_i^\alpha \int_1^x \frac{g(u)}{u^{\alpha+1} du - c_5 \ldots\\ -% =&c_5 (x)^\alpha(1+\int_1^x \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}du) - c_4c__5g(x)\sum_{i=1)^ka_ib_i^\alpha\\ -% \geq& c_5x^\alpha (1+\int_1^x \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}du) -% \end{align*} +\begin{align*} + \sum_{i=1}^k a_i c_5 (x b_i)^\alpha (1+\int_1^{xb_i} \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}}du) + g(x)\\ + =&c_5 x^\alpha \sum_{i=1}^k a_ib_i^\alpha + c5 x^\alpha \sum_{i=1}^k a_ib_i^\alpha \int_1^x \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}}du - c_5 \ldots\\ +% =&c_5 (x)^\alpha(1+\int_1^x \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}}du) - c_4c__5g(x)\sum_{i=1}^ka_ib_i^\alpha\\ +% \geq& c_5x^\alpha (1+\int_1^x \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}}du) +\end{align*} Gilt genau dann wenn -% \begin{align} -% & (-c_4c_5+1)g(x) \geq 0\\ -% & 0 < c_5 \leq \frac{1}{c_4} -% \end{align} +\begin{align} +& (-c_4c_5+1)g(x) \geq 0\\ +& 0 < c_5 \leq \frac{1}{c_4} +\end{align} Wähle $c_5$ geeignet, dass IA gewährleistet ist. +% + +Kurze Zeichnung zum Quicksort. + +Wahrscheinlichkeits erzeugende Funktionen + +X diskrete ZV $X\Omega \rightarrow \N = \{0,1,2,\ldots\}$ + +$\P_0 = P[X=n], \sum_{n\geq0} p_n = 1$ + +$\E[f(x)] = \int_\Omega f(X(\omega))d\P(\omega) = \sum f(n) p_n$ + +$\E[X± = \sum np_n$ + +$\E[z^x] = \sum p_n z^n$ +wahrscheinlichkeis Erzeugende Funktion ist Potenzreihe und Konvergenzradius $geq 1$ und heißt $F_x(z)$ + +$F_x(1) = 1, F_x'(1) = \E X, F_x''(1) \E(X(X-1)) = \E X^2-\E X$ + +$\E[X^2] = F_x''(1) + F_x'(1)$ + +Varianz $\mathbb{V}[X] = \E(X-\E X)^2 = F_x''+F_x'-F_x'^2$ + +Unabhängigkeit +$ X,Y, \E[f(x),g(y)] = \E[f(x)]\E[g(y)]$ + +$ X,Y, F_{X+Y}(z) = \E[z^{X+Y}] = \ldots = F_x(z) F_y(z)$ +Wahrscheinlichkeits erzeugende Funktion ist das Produkt, WISCHTÜSCH. + +Bsp. +Anzahl der Köpf beim Münzwurf. +$F_x(z) = \frac{1+z}{2}$ + +$\E[z^{X_1+X_2...}] = (\frac{1+z}{2})^n = \sum \frac{1}{z^n}\binom{n}{k} z^k$ + +Quicksort +$X_N$ Anzahl der Vergleichsoperationen bei $N$ inputdaten + +$F_N(z) = \E[z^{X_N}], X_N = (N-1) + X_{I_N-1}^{(1)} + X_{N-I_N}^{(2)}$ + +$F_0(z) = F_1(z) = 1$ + +Objekte sind unabhängig von einander für festest $I_N$, also $|I_N$ + +$I_N$ zufälliger Index aus der Menge und gleichverteilt + +$F_N(z) = \E[z^{X_N}] = \E[z^{ (N-1) + X_{I_N-1}^{(1)} + X_{N-I_N}^{(2)}}] = z^{N-1} \E(\E(z^{X_{I_N-1}^{(1)} + X_{N-I_N}^{(2)}}|I_N)) $ + +$= z^{N-1} \sum \frac{1}{N}\E[z^{X_{k-1}+X_{n-k}}] = z^{N-1} 1/N \sum F_{k-1}(z)F_{N-k}(z) $ + +$C_N = \E X_N = F_N(1)$ +$C_N= (N-1) 1/N N + 1/N \sum C_{k-1} + 1/N \sum C_{N-k}$ +$C_N = N-1+ z/N \sum C_{k-1}$ +$C_0 = C_1 = 0$ +$NC_N-(N-1)C_N = 2(N-1)+2C_{N-1}$ +$C_N((N+1) = C_{N-1}/N + 2C_{N-1}/N(N+1)$ +$C_N/N+1 = \sum 2(k-1) / k(k+1) = 2H_N -4 + 4/N+1$ +$H_N = \sum 1/k = logN$ +$C_N = 2(N+1)H_N+4N = 2NlogN + O(N)$ +Mergesort $NlogN + O(N)$ \end{document}