From: Peter Schaefer <schaeferpm@gmail.com>
Date: Tue, 24 Apr 2012 10:16:20 +0000 (+0200)
Subject: UE2-8
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UE2-8
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 \begin{document}
 \maketitle
 \section*{2.Übung}
-\subsection*{7. Aufgabe}
+\subsection*{8. Aufgabe}
+System von Gleichungen mit Teilerfremden $m_i$
+\begin{align}
+ x & \equiv a_i\mod m_i\\
+ x & \equiv 2 \mod 3\\
+ x & \equiv 3 \mod 5\\
+ x & \equiv 4 \mod 7
+\end{align}
+Sei $M = \prod_i m_i$
+\begin{align}
+ x & \equiv u \mod M \\
+ x & \equiv u \mod 105
+\end{align}
+Sei nun weiterhin $M_i = M / m_i$, dann können $s_i$ und $r_i$ mittels erweitertem Euklid bestimmt werden
+\begin{align}
+r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i &= 1\\
+-12 \cdot 3 + 2 \cdot 35 &= 1\\
+-4 \cdot 5 + 1 \cdot 21 &= 1\\
+-2 \cdot 7 + 1 \cdot 15 &= 1
+\end{align}
+Eine Lösung ist also
+\begin{align}
+ x &= \sum_i a_i \cdot s_i \cdot M_i\\
+ x &= 2 \cdot 2 \cdot 35 + 3 \cdot 21 + 4 \cdot 15\\
+ x &= 263
+\end{align}
+Alle Lösungen sind also:
+\begin{align}
+ x &\equiv u \mod M\\
+ 263 &\equiv u \mod 105\\
+ x &\equiv 53 \mod 105
+\end{align}
+
+Lösen durch einsetzen:
+\begin{align}
+ x & \equiv 2 \mod 3 &&\Rightarrow x = 3k +2\\
+ 3k +2 & \equiv 3 \mod 5 \\
+ 3k &\equiv 1 \mod 5&&\Rightarrow k = 5i +2 &&\Rightarrow x = 15i +8\\
+ 15i +8 & \equiv 4 \mod 7 \\
+ 15i & \equiv 3 \mod 7 &&\Rightarrow i = 7j+3 &&\Rightarrow x = 105j +53
+\end{align}
+
+\subsection*{9. Aufgabe}
+\begin{align}
+ f(x) &= 2x^3-3x^2+5x+6 \equiv 0 \mod 120
+\end{align}
+
 
 \end{document}