From: Peter Schaefer Date: Fri, 11 Jan 2013 16:33:40 +0000 (+0100) Subject: [doc] kettenregel fin X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=785ab48e8330723fb8e4a6582102d3deeda112f5;p=bacc.git [doc] kettenregel fin --- diff --git a/doc/doc.pdf b/doc/doc.pdf index 690e826..019d261 100644 Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ diff --git a/doc/doc.tex b/doc/doc.tex index 585f089..046c66a 100644 --- a/doc/doc.tex +++ b/doc/doc.tex @@ -26,6 +26,18 @@ \definecolor{dgreen}{rgb}{0,.8,.4} \definecolor{dblue}{rgb}{0,.4,.4} +\usepackage{fancyhdr} + +\pagestyle{fancy} +\fancyhf{} +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} + +% \lhead{\bf \large Aufgabe \thesubsection} +% \chead{\thesection. Übung ZtuA} +\rhead{\todo{ \scriptsize \today}} +\cfoot{\thepage} +% \setlength{\headheight}{4\baselineskip} + \def\q{\Q} @@ -510,7 +522,7 @@ Dann gilt für alle $p\in \N_0$ \begin{align} g(\lambda) = (\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4)), \end{align} - wobei $\gamma_j$ die Parametrisierung des achsenorientierten Rechtecks $T_j$ aus Definition \ref{math:def:T} ist. + wobei $\gamma_j,\gamma_k$ die Parametrisierungen aus Definition \ref{math:def:T} seien. Mit der Hilfsfunktion $t_{jk} : \N^4 \rightarrow \N^6$ \begin{align} t_{jk}(\alpha) = @@ -519,12 +531,12 @@ Dann gilt für alle $p\in \N_0$ \alpha_3 \cdot {\bs a_k} + \alpha_4 \cdot {\bs b_k} \end{pmatrix}, \end{align} - wobei $\bs a_j,\bs b_j \in \R^3$ die paarweise verschiedenen Einheitsvektoren zur Parametrisierung $\gamma_j$ sind, gilt dann für die Verknüpfung $\kappa \circ g$ die Kettenregel + wobei $\bs a_j,\bs b_j \in \R^3$ die paarweise verschiedenen Einheitsvektoren zur Parametrisierung $\gamma_j$ sind und für den Index $k$ analog, gilt dann für die Verknüpfung $\kappa \circ g$ die Kettenregel \begin{align*} \abs{\partial^{\alpha}(\kappa \circ g)(\lambda)} &= \diam(T_j)_{\bs a}^{\alpha_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{\alpha_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{\alpha_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{\alpha_4} \abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}(\kappa)(g(\lambda))} \end{align*} - mit dem Multiindizes $\alpha \in \N_0^4$, wobei $\abs{\alpha} \geq 1$ gilt. + mit dem Multiindex $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$, wobei $\abs{\alpha} \geq 1$ gilt. \end{lem} \begin{beweis} Die Ableitung der Funktion $\kappa \circ g : \R^4 \to \R^6 \to \R$ ist \begin{align*} @@ -551,7 +563,7 @@ wodurch sich die folgenden Ableitungen ergeben. \partial_2 g_{1,2,3}(\lambda) &= b {\bs b} & \partial_{3,4} g_{1,2,3}(\lambda) &= 0 \end{align*} -Für die letzten drei Komponenten +Für die letzten drei Komponenten, wobei $\tilde{ \bs a}, \tilde{\bs b}$ analog definiert seien, \begin{align*} g_{4,5,6}(\lambda) &= \gamma_k(\lambda_3,\lambda_4) = \tilde {\bs v} + \lambda_3 \tilde a \tilde{ \bs a} + \lambda_4 \tilde b \tilde{ \bs b} \end{align*} @@ -562,9 +574,7 @@ können wir die Ableitungen analog anschreiben. Hierbei müssen wir nur beachten \partial_4 g_{\ell}(\lambda) &= \tilde b \tilde{ \bs b}_{\ell -3} \end{align*} für $\ell \in \{4,5,6\}$ erhalten.\\ -Mit diesen Vorüberlegungen können wir, da $\kappa$ asymptotisch Glatt ist, $AB \in \R^{1 \times 4}$ anschreiben -{% -\newcommand{\mc}[3]{\multicolumn{#1}{#2}{#3}} +Mit diesen Vorüberlegungen können wir, da $\kappa$ asymptotisch glatt ist, den Gradient $AB \in \R^{1 \times 4}$ anschreiben \begin{align} AB = \begin{pmatrix} @@ -572,11 +582,10 @@ Mit diesen Vorüberlegungen können wir, da $\kappa$ asymptotisch Glatt ist, $AB \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - a {\bs a} & b {\bs b} & \mc{2}{c}{\bs 0}\\ - \mc{2}{c}{\bs 0} & \tilde a \tilde{ \bs a} &\tilde b \tilde{ \bs b} + a {\bs a} & b {\bs b} & \bs 0 & \bs 0\\ + \bs 0 & \bs 0 & \tilde a \tilde{ \bs a} &\tilde b \tilde{ \bs b} \end{pmatrix}. \end{align} -}% Wenn wir die Summen der Einträge $(AB)_{1m}$ genauer betrachten, sehen wir, dass jeweils nur ein Eintrag $\neq 0$ ist, da $\bs a, \bs b, \tilde {\bs a}, \tilde {\bs b} $ Einheitsvektoren sind.\\ Mit der Hilfsfunktion \begin{align*} @@ -595,8 +604,8 @@ für die Einheitsvektoren mit dem Skalarprodukt $\cdot$, können wir den Gradien \end{align*} % \end{equation} genau anschreiben, wobei auch hier wieder auf die richtige Indizierung geachtet werden muss.\\ -Des Weiteren bestehen die ersten Ableitungen nur aus einem Skalar und dem asymptotisch Glatten Kern $\partial_{\ell}\kappa(g(\lambda))$, weshalb wir die Kettenregel beliebig oft anwenden können. -Mithilfe der Funktion $t_{jk} : \N^4 \rightarrow \N^6$ können wir abschließend für Multiindizes $\alpha \in \N_0^4$ die partiellen Ableitungen $\partial^{\alpha} (\kappa \circ g)(\lambda)$ anschreiben +Des Weiteren bestehen die ersten Ableitungen nur aus einem Skalar und dem asymptotisch glatten Kern $\partial_{\ell}\kappa(g(\lambda))$, weshalb wir die Kettenregel beliebig oft anwenden können. +Mithilfe der Funktion $t_{jk} : \N^4 \rightarrow \N^6$ können wir abschließend für Multiindex $\alpha \in \N_0^4$ die partiellen Ableitungen $\partial^{\alpha} (\kappa \circ g)(\lambda)$ anschreiben \begin{align*} \partial^\alpha (\kappa \circ g)(\lambda) &= a^{\alpha_1} b^{\alpha_2} \tilde a^{\alpha_3} \tilde b^{\alpha_4} \cdot \partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g(\lambda)). \end{align*} @@ -630,7 +639,7 @@ schreiben.\\ Bezeichnet $\gamma_j$ die Parametrisierung von $T_j$, so gilt aufgrund der Kettenregel \begin{align*} % \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa} &= - \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))} + \Abs{\partial_\lambda^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_1,\lambda_2))} &= \diam(T_j)_{\bs a}^{\alpha_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{\alpha_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{\alpha_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{\alpha_4} \abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}(\kappa)(g(x))}\\ % &=\diam_{\bs a}(T_j)^{\bs a \alpha}\diam_{\bs b}(T_j)^{\bs b \alpha}\diam_{\bs a}(T_k)^{\bs a \beta}\diam_{\bs b}(T_k)^{\bs b \beta} % \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\