From: Peter Schaefer <peter.schaefer@tuwien.ac.at>
Date: Tue, 4 Sep 2012 15:49:01 +0000 (+0200)
Subject: [doc] para Ele
X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=735b5f31d7eb5b2e5db1969a97be1b7b54d1ad5c;p=bacc.git

[doc] para Ele
---

diff --git a/doc/doc.pdf b/doc/doc.pdf
index d8ed65c..a537cb6 100644
Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ
diff --git a/doc/doc.tex b/doc/doc.tex
index 39359e6..f684b39 100644
--- a/doc/doc.tex
+++ b/doc/doc.tex
@@ -393,37 +393,44 @@ Für alle weiteren relevante Fälle $p = -3/2 +k : k \in \N\backslash0$ lässt s
 Bei der Berechnung von \ref{math:V} haben wir geometrisch zwischen zwei Fällen zu unterschei den. Entweder die beiden Elemente liegen in parallelen Ebenen oder in orthogonalen Ebenen.
 
 \subsubsection{Parallele Elemente}
-Liegen die beiden Elemente parallel zueinander lassen sie sich Folgendermaßen darstellen:
-Sei: \Ta = $ \v + [(0,l_1) \times (0,l_2) \times \{0\}]$ und \Tb = $ \tilde \v + [(0,\tilde l_1) \times (0,\tilde l_2) \times \{0\}]$, wobei $\v,\tilde \v \in \R^3$ ist. Weiterhin sei $\boldsymbol{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$ definiert.\\
-Damit können wir zeigen, dass
+Liegen die beiden Elemente parallel zueinander können wir sie darstellen als: 
 \begin{eqnarray*}
-&&\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T}
+ T_j &=& \v + [(0,l_1) \times (0,l_2) \times \{0\}]\\
+ T_k &=& \tilde \v + [(0,\tilde l_1) \times (0,\tilde l_2) \times \{0\}], \text{ mit } \v,\tilde \v \in \R^3
+\end{eqnarray*}
+Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$.
+Daher gilt:
+\begin{eqnarray*}
+&&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+&=&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k}
   \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_y ds_x\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_0^{l_1}\int_0^{l_2}\int_0^{\tilde l_1}\int_0^{\tilde l_2}
+&=&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k}
   \left ( ((x_1 + v_1)-(y_1 +\tilde v_1))^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- \tilde v_3)^2 \right)^{-1/2}
-  dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\
+  ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
 &=&\frac{1}{4\pi} \int_0^{l_1}\int_0^{l_2}\int_0^{\tilde l_1}\int_0^{\tilde l_2}
   \left ( (x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2 \right)^{-1/2}
   dy_2 dy_1 dx_2 dx_1
 \end{eqnarray*}
-die Stammfunktion $F_{par}$ das Integral über zwei parallele Elemente löst.
+die Stammfunktion $F_{par}$, welche das Integral über zwei parallele Elemente löst.
 \begin{eqnarray*}
 F_{par}(x_1,x_2,y_1,y_2,\delta_1,\delta_2,\delta_3) &:=& \int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2 dy_1 dx_2 dx_1
 \end{eqnarray*}
 
 \subsubsection{Orthogonale Elemente}
-\Ta = $ \v + [(0,l_1) \times (0,l_2) \times \{0\}]$\\
-\Tb = $ \tilde \v + [ \{0\} \times (0,\tilde l_2) \times (0,\tilde l_3)]$\\
-$\v,\tilde \v \in \R^3$\\
-$\boldsymbol{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$\\
+Liegen die beiden Elemente orthogonal zueinander können wir sie darstellen als: 
 \begin{eqnarray*}
-&&\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T}
-  \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_y ds_x\\
-&=&\frac{1}{4\pi} \int_0^{l_1}\int_0^{l_2}\int_0^{\tilde l_2}\int_0^{\tilde l_3}
+ T_j &=& \v + [(0,l_1) \times (0,l_2) \times \{0\}]\\
+ T_k &=& \tilde \v + [ \{0\} \times (0,\tilde l_2) \times (0,\tilde l_3)], \text{ mit } \v,\tilde \v \in \R^3
+\end{eqnarray*}
+Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$.
+Daher gilt:
+\begin{eqnarray*}
+&&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+&=&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k}
+  \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+&=&\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k}
   \left ( ((x_1 + v_1)-\tilde v_1)^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- (y_3 +\tilde v_3))^2 \right)^{-1/2}
-  dy_3 dy_2 dx_2 dx_1\\
+  ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
 &=&\frac{1}{4\pi} \int_0^{l_1}\int_0^{l_2}\int_0^{\tilde l_2}\int_0^{\tilde l_3}
   \left ( (x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3-\delta_3)^2 \right)^{-1/2}
   dy_3 dy_2 dx_2 dx_1