From: treecity Date: Wed, 28 Mar 2012 10:14:41 +0000 (+0200) Subject: VO3 X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=63fe164ffb1979bb4dc3313ac5ad1f6968e41a00;p=zahlenTA.git VO3 --- diff --git a/Vorlesung.pdf b/Vorlesung.pdf index 75a3725..6d8444f 100644 Binary files a/Vorlesung.pdf and b/Vorlesung.pdf differ diff --git a/Vorlesung.tex b/Vorlesung.tex index 2067e58..d2a0c4e 100644 --- a/Vorlesung.tex +++ b/Vorlesung.tex @@ -1,14 +1,21 @@ \documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{article} \usepackage[utf8x]{inputenc} -\usepackage{amsmath,amssymb} +\usepackage{amsmath,amssymb,ulsy} \usepackage{fullpage} \def\P{\mathbb{P}} \def\N{\mathbb{N}} \def\R{\mathbb{R}} +\def\Z{\mathbb{Z}} +\def\C{\mathbb{C}} \def\oder{\vee} \def\und{\wedge} +\def\kgV{\text{kgV}} +\def\ggT{\text{ggT}} +\def\sgn{\text{sgn}} +\def\mod{\text{~mod~}} + %opening \title{} \author{Peter Schaefer} @@ -19,16 +26,16 @@ \subsection*{Bew. 1.16} \begin{enumerate} - \item Sei $p\in\P$ und es gelte $p|av \und p \nmid a$ , d.h. $ggT(p,a)=1$. nach dem Lemma von Euklid (Satz 1.11) folgt daher $p|b$. + \item Sei $p\in\P$ und es gelte $p|av \und p \nmid a$ , d.h. $\ggT(p,a)=1$. nach dem Lemma von Euklid (Satz 1.11) folgt daher $p|b$. \item Ist umgekehrt die Bedingung des Satzes erfüllt und gilt $p = a\cdot b$ mit $(a,b \in \N *$, so gilt einerseits $a|p \und b|p$, aber auch $p|a \oder p|b$ nach VS. Daraus folgt aber sofort $p = a \oder p= b,Q$ \end{enumerate} \hfill$\blacksquare$ \subsection*{Bew. 1.20} \begin{eqnarray*} - ggT(a,b) = ggT(a,c) = 1 &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : xa+yb = ua +vc = 1\\ + \ggT(a,b) = \ggT(a,c) = 1 &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : xa+yb = ua +vc = 1\\ &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : (xa +yb)(ua +vc) = (xau +xvc +ybu) a +(yv)(bc) = 1\\ - &\Rightarrow& \text{Jeder gem. Teiler von} a \text{ und }c \text{ teilt auch }1 \Rightarrow ggT(a,c) =1 + &\Rightarrow& \text{Jeder gem. Teiler von} a \text{ und }c \text{ teilt auch }1 \Rightarrow \ggT(a,c) =1 \end{eqnarray*} \hfill$\blacksquare$ @@ -43,7 +50,7 @@ Zahl dann $> 1$ und daher durch eine Primzahl $p$ teilbar, wobei man \end{displaymath} Wenn $p| n \und p| n-1 = p_1p_2 \cdots p_r$ folgt daraus \begin{displaymath} - p|1 = N-1(N-1) \text{Wiederspruch!} + p|1 = N-1(N-1) \Rightarrow $\blitza$ \end{displaymath} Also ist $| \P | = \infty$, \hfill$\blacksquare$ \subsection*{Anmerkung 1.21} @@ -59,20 +66,98 @@ Primzahldichte in der Nähe von $x \approx \frac 1 {ln(x)}$\\ in der Gegend von $10^{100}$ : jede $\approx 230.$ Zahl ist eine Primzahl \subsection*{Riemansche Vermutung} -\begin{displaymath} - \zeta(s)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^s} \hfill (re(s) >1) -\end{displaymath} +\begin{align} + \zeta(s)&= \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^s} \hfill (re(s) >1) +\end{align} Analytisch fortzetzen: -\begin{eqnarray*} - \zeta(s) & = & 1 + \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} + \frac 1{4^s} + \frac 1{5^s} + \cdots\\ -\frac 2 {2^s}\zeta(s) & = & \frac 2{2^s} + \frac 2{4^s} + \frac 2{6^s} + \cdots\\ -(1-2^{1-s})\zeta(s) & = & 1 - \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} - \frac 1{4^s} + \frac 1{5^s} - \cdots = \eta(s)\\ -\zeta(s) & = & \frac{\eta(s)}{(1-2^{1-s})} -\end{eqnarray*} +\begin{align} + \zeta(s) & = 1 + \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} + \frac 1{4^s} + \frac 1{5^s} + \cdots\\ +\frac 2 {2^s}\zeta(s) & = \frac 2{2^s} + \frac 2{4^s} + \frac 2{6^s} + \cdots\\ +(1-2^{1-s})\zeta(s) & = 1 - \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} - \frac 1{4^s} + \frac 1{5^s} - \cdots = \eta(s)\\ +\zeta(s) & = \frac{\eta(s)}{(1-2^{1-s})} +\end{align} Riemann-Siegel-Formel? +\begin{align} + L_x(s) &s= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} (Re(s) \geq 1) +\end{align} + +$\chi : \Z \to \C$ ist ein Charakter $\mod m$, d.h. +\begin{enumerate} + \item $\chi(ab) = \chi(a)\chi(b) \forall a,b\in\Z$ + \item $ a \equiv b$ und $m \Rightarrow \chi (a) = \chi(b)$ + \item $\chi(a) = 0 \Leftrightarrow \ggT(a,m) \neq 1$ +\end{enumerate} +Für die analytische Fortsetzung von $L_{\lambda}(s)$ auf krit. Streifen gilt Nullstellen die gleiche Aussage. +% +\begin{align} + \zeta(s) &= \prod_{p \in \mathbb{P}} \underbrace{\frac 1 {1 - \frac 1 {p^3}}} (Re(s) > 1)\\ + & \sum_{k=0}^{\infty} \frac 1 {p^{ks}} \to \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {n^s} +\end{align} +$\pi(x) = li(x) + O\left(\sqrt x \ln x\right) \Leftrightarrow $ Riemansche Vermutung (R. Koch) + + +\subsection*{Beweis 2.2} +$a \equiv b \mod m \und c \equiv\mod m \Rightarrow m| a-b \und m| c-d$ +\begin{align} + &\Rightarrow + \begin{cases} + m|(a-b)\pm(c-d) = (a\pm x) - (b\pm d)\\ + m| a(b)c+b(c-d) = ac -bd + \end{cases}\\ + &\Rightarrow + \begin{cases} + a\pm c \equiv b \pm d \mod m\\ + ac \equiv bd \mod m + \end{cases} +\end{align} +\begin{align} + \forall a \in \Z : m|a-a &\Rightarrow a \equiv a\mod m\\ + \forall a,b \in \Z : a \equiv b \mod m &\Rightarrow m|a-b\\ + &\Rightarrow m|b-a\\ + &\Rightarrow b\equiv a \mod m\\ + \forall a,b,c\in \Z:a\equiv b \mod m \und b \equiv c \mod m &\Rightarrow m|a-b \und m|b-c \\ + &\Rightarrow m|(a-b)+(b-c) = a-c\\ + &\Rightarrow a\equiv c\mod m +\end{align} + +\subsection*{Beispiel 2.2} +$(\Z_m,f m=z,3,4)$ +\begin{align} +m=2:&& +\begin{matrix} + +& 0& 1\\ + 0& 0& 1\\ + 1& 1& 0 +\end{matrix} & +\begin{matrix} + \cdot& 0& 1\\ + 0& 0& 0\\ + 1& 0& 1 +\end{matrix}\\ +\end{align} + +\subsection*{Beweis 2.5} +Die Bedingung $d:= \ggT(a,m) | b$ ist notwendig für Lösbarkeit wegen +\begin{align} + a\tilde x \equiv b \mod m \Rightarrow \exists k\in \Z : a\tilde x *km = b \Rightarrow d| b ( \text{wegen} d|a ,d|m \text{also auch} d|ax+km) +\end{align} +Ist umgekehrt die Bedingung $d|m$ efüllt und $d=ra+sm $ mit $r,s\in \Z$ eine Darstellung von $d$ als Linearkombination von $a\ \mod m$. Dann gilt +\begin{align} + ra+sm&=d \\ + r\frac bd a +s \frac b d m &= b\\ + (r \frac b d)a &\equiv b \mod m +\end{align} +Also ist dann $x = r \frac b d $ eine Lösung von $a x \equiv b \mod m$ +Sind ferner $u \und v$ zwei Lösungen von $ax \equiv b\mod m$ , so gilt +\begin{align} + au \equiv av \equiv b \mod m &\Rightarrow m | a(u-v)\\ + &\Rightarrow \frac m d | \frac a d (u-v) \und (\ggT(\frac m d,\frac a d) = 1\\ + &\Rightarrow \frac m d | u-v \Rightarrow u\equiv v \mod \frac md +\end{align} +Alle $\mod m$ in kongruenten Lösungen sind daher gege. durch $u, u+ \frac m d, u + \frac{2m}d,\dots, u+(d-1)\frac m d$ \hfill $blacksquare$ \end{document} diff --git a/ue1.pdf b/ue1.pdf index c5a363f..1552c27 100644 Binary files a/ue1.pdf and b/ue1.pdf differ diff --git a/ue1.tex b/ue1.tex index 7899f32..af2d84f 100644 --- a/ue1.tex +++ b/ue1.tex @@ -1,10 +1,16 @@ \documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{article} \usepackage[utf8x]{inputenc} -\usepackage{amsmath,amssymb} +\usepackage{amsmath,amssymb,ulsy} \usepackage{fullpage} +\def\P{\mathbb{P}} +\def\N{\mathbb{N}} +\def\R{\mathbb{R}} \def\Z{\mathbb{Z}} +\def\oder{\vee} +\def\und{\wedge} + \def\kgV{\text{kgV}} \def\ggT{\text{ggT}} \def\sgn{\text{sgn}} @@ -35,7 +41,7 @@ S_n &= \frac{\frac a 1 + \frac a 2+ \cdots \frac a n} a\\ &= 11 & 10 & 1 & -6 & 19 & 7 & - 22\\ 10 & 1 & & 19 & -25 & -22 & 29\\ \end{array}\\ -\ggT(312,269) & = & 1\\ +\ggT(312,269) & = 1\\ 1 & = -25*312+29*269\\ 5 & = -125*312+145*269\\ x & = 5\cdot\binom{-25}{29}+\cdot