From: Peter Schaefer Date: Thu, 1 Nov 2012 12:03:19 +0000 (+0100) Subject: [doc] Kapitel 4 almost fixed X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=2e20f6ac78188c51d71901e48070a292d88ffb6e;p=bacc.git [doc] Kapitel 4 almost fixed --- diff --git a/doc/doc.pdf b/doc/doc.pdf index b2a3ecf..4096a31 100644 Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ diff --git a/doc/doc.tex b/doc/doc.tex index e98b957..e72d84b 100644 --- a/doc/doc.tex +++ b/doc/doc.tex @@ -604,11 +604,11 @@ In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der analytischen Berechnung der Galerkin- \begin{align}\label{math:analy:int} \frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x} \in \R^3. \end{align} -mit zwei beschränkte, achsenorientierte Rechtecke $T_j,T_k \subseteq\R^3$ beschäftigen. -Dazu wollen wir angelehnt an \cite{mai:3dbem} zwei Integrale anschauen, welche durch das Aufspalten des Integrals \eqref{math:analy:int} auftreten. +mit zwei beschränkten, achsenorientierten Rechtecken $T_j,T_k \subseteq\R^3$ beschäftigen. Die im Folgenden auftretenden Stammfunktionen $\int f(x) dx$ werden wir der Einfachheit halber jeweils mit additiver Verschiebung $0$ schreiben. +Dazu wollen wir \cite{mai:3dbem} folgend, zwei Stammfunktionen zitieren, welche durch das Aufspalten des Integrals \eqref{math:analy:int} auftreten werden. \\\noindent \begin{lem} -Für das Integral +Für Die Stammfunktion \begin{align*} g(p;y;x;\lambda) &:= \int \{(x-y)^2 + \lambda^2 \}^p dy \end{align*} @@ -616,220 +616,216 @@ mit $\lambda = 0$ gilt die Formel mit beliebigen Skalaren $x,y,p \in \R$ \begin{align*} (2p+1)g(p;y;x;0) = \begin{cases} \sgn(y-x) \log \abs{y-x}^{2p} & p=-1/2 \\(y-x) \abs{y-x}^{2p} & sonst \end{cases} \end{align*} -falls für $p\leq-/2$ $x$ außerhalb des betrachteten Integrationsbereichs liegt. -Für beliebige $x,p,y, \lambda \in \R$ mit $\lambda \neq 0$ gilt die Rekursionsformel: +falls $x$ für $p\leq-1/2$ außerhalb des betrachteten Integrationsbereichs liegt. +Für beliebige $x,p,y, \lambda \in \R$ mit $\lambda \neq 0$ gilt die Rekursionsformel \begin{align*} -(2p+1)g(p;y;x;\lambda) &= (y-x) \{(y-x)^2+\lambda^2\}^p + 2p\lambda g(p-1;y;x;\lambda) +(2p+1)g(p;y;x;\lambda) &= (y-x) \{(y-x)^2+\lambda^2\}^p + 2p\lambda g(p-1;y;x;\lambda). \end{align*} Im weiteren werden wir noch die Formeln für $p \in \{1/2 , 0 , -1/2 , -1, -3/2\}$ \begin{align*} -g(1/2;y;x;\lambda) &= \frac{y-x}{2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{1/2} + \frac{\lambda^2}{2} \arsinh \frac{y-x}{|\lambda|}\\ -g(0;y;x;\lambda) &= y-x\\ -g(-1/2;y;x;\lambda) &= \arsinh \frac{y-x}{|\lambda|}\\ -g(-1;y;x;\lambda) &= \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan \frac{y-x}{|\lambda|}\\ +g(1/2;y;x;\lambda) &= \frac{y-x}{2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{1/2} + \frac{\lambda^2}{2} \arsinh \frac{y-x}{|\lambda|},\\ +g(0;y;x;\lambda) &= y-x,\\ +g(-1/2;y;x;\lambda) &= \arsinh \frac{y-x}{|\lambda|},\\ +g(-1;y;x;\lambda) &= \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan \frac{y-x}{|\lambda|},\\ g(-3/2;y;x;\lambda) &= \frac{y-x}{\lambda^2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{-1/2} \end{align*} benötigen, welche alle in \cite[Seite 2-3]{mai:3dbem} bewiesen wurden. \end{lem} -Hierbei wollen wir darauf hinweisen, dass wir für $p=-1$ nicht die in \cite[Seite 3]{mai:3dbem} vorgeschlagene Formel verwenden, sondern die selbst hergeleitete: +Hierbei wollen wir darauf hinweisen, dass wir für $p=-1$ nicht die in \cite[Seite 3]{mai:3dbem} vorgeschlagene Formel verwenden, sondern die mit Hilfe von Substitution durch $z = \frac{y-x}{\abs{\lambda}}$, beziehungsweise $dz = \frac 1 {\abs{\lambda}} dy$ selbst hergeleitete \begin{align*} \int \frac 1 {(x-y)^2 +\lambda^2} dy &= \int \frac 1 {\lambda^2((\frac{y-x}{\abs{\lambda}})^2 +1)} dy -= \left| -\begin{array}{c} -z = \frac{y-x}{\abs{\lambda}}\\ -dz = \frac 1 {\abs{\lambda}} dy -\end{array} -\right| = \frac 1 {\abs{\lambda}} \int \frac 1 {z^2+1} dz\\ -&= \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan (z) +c = \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan (\frac{y-x}{\abs{\lambda}}) +c +&= \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan (z) = \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan (\frac{y-x}{\abs{\lambda}}). \end{align*} \begin{lem} -Des Weiteren werden wir das Integral +Des Weiteren werden wir die Stammfunktion \begin{align*} -G(p;y_1;y_2;x_1;x_2;\lambda) &:= \int \int \{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \lambda^2\}^p dy_2 dy_1 + G(p;y_1;y_2;x_1;x_2;\lambda) &:= \int \int \{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \lambda^2\}^p dy_2 dy_1 \end{align*} -benötigen, welches sich für den den Fall $p = -3/2$ und $\lambda = 0 \wedge \lambda \neq 0$ schreiben lässt als: +benötigen, welches sich für den den Fall $p = -3/2$ lässt als \begin{align*} -G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,0) &= - \frac{\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}}{(y_1-x_1)(y_2-x_2)}\\ -G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &=- \frac{\sgn\{(y_1-x_1)(y_2-x_2)\}}{2|\lambda|}\\ -&\cdot \arccos\left( \frac{-2(y_1-x_1)^2(y_2-x_2)^2}{\{(y_1-x_1)^2+\lambda^2\}\{(y_2-x_2)^2+\lambda^2\}} +1 \right). + G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,0) &= - \frac{\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}}{(y_1-x_1)(y_2-x_2)} \quad \text{ für } \lambda = 0,\\ + G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &=- \frac{\sgn\{(y_1-x_1)(y_2-x_2)\}}{2|\lambda|} \quad \text{ für } \lambda \neq 0\\ + &\cdot \arccos\left( \frac{-2(y_1-x_1)^2(y_2-x_2)^2}{\{(y_1-x_1)^2+\lambda^2\}\{(y_2-x_2)^2+\lambda^2\}} +1 \right). \end{align*} -Für alle weiteren relevante Fälle $p = -3/2 +k : k \in \N\backslash0$ können wir folgende Rekursionsformel aufstellen: +Für alle weiteren relevanten Fälle $p = -3/2 +k mit k \in \N$ können wir folgende Rekursionsformel aufstellen \begin{align*} -(2p+2)G(p;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &= 2p\lambda^2 G(p-1;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda)\\ -&+ (y_1-x_1)g(p;y_2;x_2;\sqrt{(y_1-x_1)^2+\lambda^2})\\ -&+ (y_2-x_2)g(p;y_1;x_1;\sqrt{(y_2-x_2)^2+\lambda^2}), + (2p+2)G(p;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &= 2p\lambda^2 G(p-1;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda)\\ + &+ (y_1-x_1)g(p;y_2;x_2;\sqrt{(y_1-x_1)^2+\lambda^2})\\ + &+ (y_2-x_2)g(p;y_1;x_1;\sqrt{(y_2-x_2)^2+\lambda^2}), \end{align*} welche ebenfalls in \cite[Seite 5-7]{mai:3dbem} bewiesen wurden. \end{lem} \subsection{Integral über zwei Elemente} -Bei der Berechnung von \eqref{math:analy:int} werden wir geometrisch zwischen zwei Fällen zu unterscheiden. Entweder die beiden Elemente liegen in parallelen Ebenen oder in orthogonalen Ebenen. +Bei der Berechnung von \eqref{math:analy:int} werden wir Aufgrund der speziellen Form des Kerns geometrisch zwischen zwei Fällen zu unterscheiden. Entweder die beiden Elemente liegen geometrisch in parallelen Ebenen oder in orthogonalen Ebenen. - -\subsubsection{Parallele Elemente} -Liegen die beiden Elemente parallel zueinander, können wir sie wie in \cite[Seite 13]{mai:3dbem} gezeigt, darstellen als: -\begin{align*} -T_j &= \v + [(0,s_1) \times (0,s_2) \times \{0\}]\\ -T_k &= \tilde \v + [(0,\tilde s_1) \times (0,\tilde s_2) \times \{0\}], \text{ mit } \v,\tilde \v \in \R^3. -\end{align*} -Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$, dann können wir das gesuchte Integral -\begin{align*} -\int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x} -\end{align*} -umformen zu: +% \subsubsection{Parallele Elemente} +\noindent +Das heißt für parallele Elemente $T_j,T_k$ können wir o.B.d.A annehmen, dass mit Definition \ref{math:def:T} \begin{align*} -&= \int_{T_j} \int_{T_k} - \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ -&= \int_{T_j} \int_{T_k} - \left ( ((x_1 + v_1)-(y_1 +\tilde v_1))^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- \tilde v_3)^2 \right)^{-1/2} - ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ -&= \int_0^{s_1}\int_0^{s_2}\int_0^{\tilde s_1}\int_0^{\tilde s_2} - \left ( (x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2 \right)^{-1/2} - dy_2 dy_1 dx_2 dx_1. + T_j &= \{\bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b} ~|~ \lambda_1,\lambda_2 \in[0,1]\}\\ + T_k &= \{\tilde {\bs v} + \tilde \lambda_1 \tilde a \tilde {\bs a} + \tilde \lambda_2 \tilde b \tilde {\bs b} ~|~ \tilde \lambda_1,\tilde \lambda_2 \in[0,1]\} \end{align*} -Dies können wir als Stammfunktion +${\bs a} = \tilde {\bs a}$ und ${\bs b} = \tilde{\bs b}$ gilt. Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$. Dann gilt für das gesuchte Integral \cite[Seite 13]{mai:3dbem} folgend \begin{align*} -F_{par}&(x_1,x_2,y_1,y_2,\bs \delta) :=\\ &\int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2dy_1 dx_2 dx_1 + &\int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ + &= \int_{T_j} \int_{T_k} + \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ + &= \int_{T_j} \int_{T_k} + \left ( ((x_1 + v_1)-(y_1 +\tilde v_1))^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- \tilde v_3)^2 \right)^{-1/2} + ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ + &= \int_0^{a}\int_0^{b}\int_0^{\tilde a}\int_0^{\tilde b} + \left ( (x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2 \right)^{-1/2} + dy_2 dy_1 dx_2 dx_1. \end{align*} -schreiben, welche das Integral über zwei parallele Elemente löst: -\begin{align} -F_{par}(x_1&,x_2,y_1,y_2,\bs \delta)\\ -=& (x_1-y_1-\delta_1)(x_2-y_2-\delta_2)G(-1/2;x_1,x_2;y_1+\delta_1,y_2+\delta_2,\delta_3)\\ -&-(x_1-y_1-\delta_1) g(1/2;x_1;y_1+\delta_1;\{(x_2-y_2-\delta_2)^2 + \delta_3^2\}^{1/2})\\ -&-(x_2-y_2-\delta_2) g(1/2;x_2;y_2+\delta_2;\{(x_1-y_1-\delta_1)^2 + \delta_3^2\}^{1/2})\\ -&+\frac 1 3 \{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\}^{3/2} -\end{align} - +\begin{lem} + Für die Stammfunktion auf parallelen Elementen + \begin{align*} + F_{p}&(x1,x_2,y_1,y_2,\bs \delta) :=\\ &\int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2dy_1 dx_2 dx_1 + \end{align*} + gilt nach \cite[Seite 13]{mai:3dbem} + \begin{align} + \begin{split} + F_{p}(x_1&,x_2,y_1,y_2,\bs \delta)\\ + =& (x_1-y_1-\delta_1)(x_2-y_2-\delta_2)G(-1/2;x_1,x_2;y_1+\delta_1,y_2+\delta_2,\delta_3)\\ + &-(x_1-y_1-\delta_1) g(1/2;x_1;y_1+\delta_1;\{(x_2-y_2-\delta_2)^2 + \delta_3^2\}^{1/2})\\ + &-(x_2-y_2-\delta_2) g(1/2;x_2;y_2+\delta_2;\{(x_1-y_1-\delta_1)^2 + \delta_3^2\}^{1/2})\\ + &+\frac 1 3 \{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\}^{3/2}. + \end{split} + \end{align} +\end{lem} -\subsubsection{Orthogonale Elemente} -Analog können wir orthogonal liegende Elemente wie in \cite[Seite 14]{mai:3dbem} gezeigt, schreiben als: -\begin{align*} -T_j &= \v + [(0,s_1) \times (0,s_2) \times \{0\}]\\ -T_k &= \tilde \v + [ \{0\} \times (0,\tilde s_2) \times (0,\tilde s_3)], \text{ mit } \v,\tilde \v \in \R^3 -\end{align*} und setzen wir $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$. -Dann können wir -\begin{align*} -\int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x} -\end{align*} -umformen zu: -\begin{align*} -&= \int_{T_j} \int_{T_k} - \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ -&= \int_{T_j} \int_{T_k} - \left ( ((x_1 + v_1)-\tilde v_1)^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- (y_3 +\tilde v_3))^2 \right)^{-1/2} - ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ -&= \int_0^{s_1}\int_0^{s_2}\int_0^{\tilde s_2}\int_0^{\tilde s_3} - \left ( (x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3-\delta_3)^2 \right)^{-1/2} - dy_3 dy_2 dx_2 dx_1 -\end{align*} -Dies können wir ebenfalls als Stammfunktion +% \subsubsection{Orthogonale Elemente} +\noindent +Analog können wir orthogonal liegende Elemente mit Definition \ref{math:def:T} schreiben als \begin{align*} -F_{ort}&(x_1,x_2,y_2,y_3,\bs \delta) :=\\ &\int \int \int \int \left\{(x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(-y_3-\delta_3)^2\right\}^{-1/2} -dy_3 dy_2 dx_2 dx_1 -\end{align*} -für orthogonal liegende Elemente schreiben: + T_j &= \{\bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b} ~|~ \lambda_1,\lambda_2 \in[0,1]\}\\ + T_k &= \{\tilde {\bs v} + \tilde \lambda_2 \tilde b \tilde {\bs b} + \tilde \lambda_1 \tilde a \tilde {\bs a} ~|~ \tilde \lambda_1,\tilde \lambda_2 \in[0,1]\} +\end{align*} wobei wir hier ${\bs b} = \tilde {\bs a}$ und ${\bs b} \neq \tilde{\bs a}$ annehmen. Wir setzen $\bs{\delta} = \tilde \v - \v \in \R^3$. +Dann gilt nach \cite{mai:3dbem} \begin{align*} -2F_{ort}(x_1&,x_2,y_2,y_3,\bs \delta)\\ -=&-G(1/2;y_3,x_1;-\delta_3,\delta_1,x_2-y_2-\delta_2)\\ -&-(x_1-\delta_1)(x_2-y_2-\delta_2)G(-1/2;x_2,y_3;y_2+\delta_2,-\delta_3,x_1-\delta_1)\\ -&+(x_1-\delta_1)g(1/2);y_3;-\delta_3,\{(x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2\}^{1/2})\\ -&-(x_3-\delta_3)(x_2-y_2-\delta_2)G(-1/2;x_1,x_2;\delta_1,y_2+\delta_2,-y_3-\delta_3)\\ -&+(x_3-\delta_3)g(1/2);x_1;\delta_1,\{(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3+\delta_3)^2\}^{1/2}) + &\int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ + &= \int_{T_j} \int_{T_k} + \left ( (x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2 \right)^{-1/2} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ + &= \int_{T_j} \int_{T_k} + \left ( ((x_1 + v_1)-\tilde v_1)^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- (y_3 +\tilde v_3))^2 \right)^{-1/2} + ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\ + &= \int_0^{s_1}\int_0^{s_2}\int_0^{\tilde s_2}\int_0^{\tilde s_3} + \left ( (x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3-\delta_3)^2 \right)^{-1/2} + dy_3 dy_2 dx_2 dx_1 \end{align*} +\begin{lem} + Für die Stammfunktion auf orthogonalen Elementen + \begin{align*} + F_{o}&(x_1,x_2,y_2,y_3,\bs \delta) :=\\ &\int \int \int \int \left\{(x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(-y_3-\delta_3)^2\right\}^{-1/2} + dy_3 dy_2 dx_2 dx_1 + \end{align*} + gilt nach \cite{mai:3dbem} + \begin{align} + \begin{split} + 2F_{o}(x_1&,x_2,y_2,y_3,\bs \delta)\\ + =&-G(1/2;y_3,x_1;-\delta_3,\delta_1,x_2-y_2-\delta_2)\\ + &-(x_1-\delta_1)(x_2-y_2-\delta_2)G(-1/2;x_2,y_3;y_2+\delta_2,-\delta_3,x_1-\delta_1)\\ + &+(x_1-\delta_1)g(1/2);y_3;-\delta_3,\{(x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2\}^{1/2})\\ + &-(x_3-\delta_3)(x_2-y_2-\delta_2)G(-1/2;x_1,x_2;\delta_1,y_2+\delta_2,-y_3-\delta_3)\\ + &+(x_3-\delta_3)g(1/2);x_1;\delta_1,\{(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3+\delta_3)^2\}^{1/2}). + \end{split} + \end{align} +\end{lem} - +\todo{ \subsection{Bestimmtes Integral} -% \begin{align*} -% &\frac{1}{4\pi} \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\ -% &\approx \frac{1}{4\pi} \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}\int_0^{\tilde k_2} -% \dif{}{y_2} \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,x_2,y_1,y_2) -% dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\ -% % -% &= \frac{1}{4\pi}\big( \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1} -% \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,x_2,y_1,\tilde k_2) -% - -% \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,x_2,y_1,0) \big) -% dy_1 dx_2 dx_1\\ -% % -% &= \frac{1}{4\pi}\big( \int_0^{k_1}\int_0^{k_2} -% \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,x_2,\tilde k_1,\tilde k_2) -% - -% \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,x_2,\tilde k_1,0) \\ -% &- -% \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,x_2,0,\tilde k_2) -% + -% \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,x_2,0,0)\big) -% dx_2 dx_1\\ -% % -% &= \frac{1}{4\pi}\big( \int_0^{k_1} -% \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2) -% - -% \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,k_2,\tilde k_1,0) \\ -% &- -% \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,k_2,0,\tilde k_2) -% + -% \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,k_2,0,0)\\ -% &- %% -% \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,0,\tilde k_1,\tilde k_2) -% + -% \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,0,\tilde k_1,0) \\ -% &+ -% \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,0,0,\tilde k_2) -% - -% \dif{}{x_1} -% F_{par/ort}(x_1,0,0,0)\big) -% dx_1\\ -% % -% &= \frac{1}{4\pi}\big( -% F_{par/ort}(k_1,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2) -% - -% F_{par/ort}(k_1,k_2,\tilde k_1,0) -% - -% F_{par/ort}(k_1,k_2,0,\tilde k_2) -% + -% F_{par/ort}(k_1,k_2,0,0)\\ -% &- -% F_{par/ort}(k_1,0,\tilde k_1,\tilde k_2) -% + -% F_{par/ort}(k_1,0,\tilde k_1,0) -% + -% F_{par/ort}(k_1,0,0,\tilde k_2) -% - -% F_{par/ort}(k_1,0,0,0)\\ -% &- %% -% F_{par/ort}(0,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2) -% - -% F_{par/ort}(0,k_2,\tilde k_1,0) -% - -% F_{par/ort}(0,k_2,0,\tilde k_2) -% + -% F_{par/ort}(0,k_2,0,0)\\ -% &- -% F_{par/ort}(0,0,\tilde k_1,\tilde k_2) -% + -% F_{par/ort}(0,0,\tilde k_1,0) -% + -% F_{par/ort}(0,0,0,\tilde k_2) -% - -% F_{par/ort}(0,0,0,0)\big) -% \end{align*} - +\begin{align*} +& \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\ +&\approx \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}\int_0^{\tilde k_2} + \dif{}{y_2} \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,y_2) +dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\ +% +&= \big( \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1} +\dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,\tilde k_2) +- +\dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,0) \big) + dy_1 dx_2 dx_1\\ +% +&= \big( \int_0^{k_1}\int_0^{k_2} + \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,x_2,\tilde k_1,\tilde k_2) +- + \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,x_2,\tilde k_1,0) \\ +&- +\dif{}{x_2} \dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,x_2,0,\tilde k_2) ++ + \dif{}{x_2} \dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,x_2,0,0)\big) + dx_2 dx_1\\ +% +&= \big( \int_0^{k_1} +\dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2) +- +\dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,k_2,\tilde k_1,0) \\ +&- +\dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,k_2,0,\tilde k_2) ++ +\dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,k_2,0,0)\\ +&- %% +\dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,0,\tilde k_1,\tilde k_2) ++ +\dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,0,\tilde k_1,0) \\ +&+ +\dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,0,0,\tilde k_2) +- +\dif{}{x_1} + F_{p/o}(x_1,0,0,0)\big) + dx_1\\ +% +&= \big( + F_{p/o}(k_1,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2) +- + F_{p/o}(k_1,k_2,\tilde k_1,0) +- + F_{p/o}(k_1,k_2,0,\tilde k_2) ++ + F_{p/o}(k_1,k_2,0,0)\\ +&- + F_{p/o}(k_1,0,\tilde k_1,\tilde k_2) ++ + F_{p/o}(k_1,0,\tilde k_1,0) ++ + F_{p/o}(k_1,0,0,\tilde k_2) +- + F_{p/o}(k_1,0,0,0)\\ +&- %% + F_{p/o}(0,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2) +- + F_{p/o}(0,k_2,\tilde k_1,0) +- + F_{p/o}(0,k_2,0,\tilde k_2) ++ + F_{p/o}(0,k_2,0,0)\\ +&- + F_{p/o}(0,0,\tilde k_1,\tilde k_2) ++ + F_{p/o}(0,0,\tilde k_1,0) ++ + F_{p/o}(0,0,0,\tilde k_2) +- + F_{p/o}(0,0,0,0)\big) +\end{align*} +} \clearpage