From: Peter Schaefer Date: Tue, 29 May 2012 12:48:25 +0000 (+0200) Subject: UE4 + Lösungen X-Git-Url: https://git.leopard-lacewing.eu/?a=commitdiff_plain;h=2b8e27e7021f4f8ad4cfb55734e1a342bc7414b7;p=zahlenTA.git UE4 + Lösungen --- diff --git a/UE/ue4.tex b/UE/ue4.tex index 3f054b3..05ee7fc 100644 --- a/UE/ue4.tex +++ b/UE/ue4.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{article} - \usepackage{template} +\usepackage{boxedminipage} \begin{document} @@ -12,18 +12,108 @@ \aufgabe{19} {Man zeige, dass für ein beliebiges $a \in Z$ und eine beliebiges $n \in N^*$ gilt $n | \varphi(a n − 1)$ . } +Es gilt +\begin{subequations}\label{eq:0} +\begin{align} + \gcd(a,a^{n}-1)=1 \Rightarrow \gcd(a^{n},a^{n}-1)=1 \\ + \Rightarrow a \in \Z_{(a^{n}-1)}^{*} \Rightarrow a^{\varphi(a^{n}-1)} \equiv 1 \mod (a^{n}-1) \\ + \Rightarrow ord(a)_{\Z_{(a^{n}-1)}} \mid \varphi(a^{n}-1) +\end{align} +\end{subequations} +Sei $a \neq 0 \land a \neq 1$, dann gilt, dass die Funktion $a \mapsto a^{\alpha}, \alpha \in \N$, streng monoton wachsend ist. Daraus erhält man das Folgende: +\begin{equation} + \label{eq:1} + a < a^{2} < a^{3} < \cdots < a^{n-1} \stackrel{*}\leq a^{n}-1 < a^{n} +\end{equation} +Die Behauptung ist nun, dass in \eqref{eq:1} in $*$ ein $<$ gilt, angenommen nicht: +\begin{equation} + \label{eq:2} + a^{n-1}=a^{n}-1 \Rightarrow 1=a^{n}(a-1), +\end{equation} +was in $\Z$ nicht möglich ist, da nur die Elemente $\pm 1$ invertierbar sind. Daraus folgt nun unmittelbar, dass $ord(a)_{\Z_{a^{n}-1}}=n$ gilt. Aus I, \S $2$, Satz $2.16$, $(2)$ folgt nun +\begin{equation} + \label{eq:3} + n \mid \varphi(a^{n}-1) +\end{equation} + \aufgabe{20} {Welche Form haben die Bedingungen 1.-5. aus I, 4.7 für eine ungerade Primzahl $r$ für die Lucasfolgen $U_n$ bzw. $V_n$ speziell mit $P = 1$ und $Q = -1$? Man überprüfe ferner ihre Gültigkeit für $r = 41$. } +Aus den gewählten Werten von $P,Q$ ergibt sich, dass die Folge $U_{n}$ gleich der Fibonacci-Folge ist. \\ +\begin{enumerate} +\item[(1)] + \begin{equation}\label{eq:4} + \left( \frac{D}{r} \right) = \left( \frac{5}{41} \right) = \left( \frac{41}{5} \right) = \left( \frac{1}{5} \right) = 1 + \end{equation} +Mit $\alpha:=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\beta:=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ erhält man nun für $U_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\alpha-\beta}$: +\begin{subequations} + \begin{align} + &U_{40}=1.02334155b8 \quad \textsl{maxima:} (\alpha^{40}-\beta^{40})/(\alpha-\beta) \\ + &U_{40}=102334155 \quad \textsl{maxima: fib(40)} \\ + &\mod(1.02334155b8,41)=40.99999999962741 \mod 41 \quad \textsl{maxima}\\ + &\mod(fib(40),41)=0 \quad \textsl{maxima} + \end{align} +\end{subequations} +\item[(2)] Aus $r=s2^{t}+\left( \frac{D}{r} \right)$, $s$ ungerade, erhält man nun $s=5,t=3$. Man muss daher die folgenden Elemente betrachten (es gilt $V_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}$): + \begin{equation} + \label{eq:5} + U_{5}=5,V_{5}=11,V_{10}=123 \equiv 0 \mod 41, V_{20}=15127 \equiv 39 \mod 41 + \end{equation} +\item[(3)] Es sollte gelten: $U_{r} \equiv \left( \frac{D}{r} \right) \mod r$. Man erhält direkt in maxima: + \begin{subequations} + \begin{align} + U_{41}=fib(41)=165580141 \\ + mod(fib(41),41)=1 + \end{align} + \end{subequations} +\item[(4)] Es sollte gelten: $V_{r} \equiv P \mod r$. + \begin{equation} + \label{eq:6} + V_{41}=370248451 \equiv 1 \mod 41 + \end{equation} +\item[(5)] Es sollte gelten: $V_{\left( r - \left( \frac{D}{r} \right) \right)} \equiv 2Q^{\left( \frac{1-\left( \frac{D}{r} \right)}{2} \right)} \mod r$. Mittels maxima erhält man: + \begin{equation} + \label{eq:7} + V_{40} = 228826127 \equiv 2 \mod 41 + \end{equation} +\end{enumerate} + \aufgabe{21} {Man überprüfe jeweils für die Basis $a=2$, ob $n=341$ den Fermattest, den Solovay- Strassen-Test oder Miller-Rabin-Test besteht. Was wären ferner die Parameter $P$ und $Q$ in Hinblick auf den Baillie-Wagstaff-Test? } +Es gilt $341=11 \cdot 31$. +\begin{enumerate} +\item[Fermat]es gilt + \begin{equation} + \label{eq:8} + 2^{340} \equiv 1 \mod 341 + \end{equation} +Daher wird der Fermat-Test bestanden. +\item[Sol-Str] Unter Beachtung des $2.$ Ergänzungssatzes ($341 \equiv 5 \mod 8 \Rightarrow (2/n)=-1$) beachte man + \begin{equation} + \label{eq:9} + 2^{170} \equiv 1 \mod 341 + \end{equation} +Daher wird der Solovay-Strassen-Test nicht bestanden, d.h. $2$ ist Zeuge für die Zusammengesetztheit von $341$. +\item[M-R] Aus $n-1=s \cdot 2^{t} \Rightarrow s=85,t=2$, daher: + \begin{equation} + \label{eq:10} + a^{85} \equiv 32 \mod 341, a^{2\cdot 85} \equiv 1 \mod 341 + \end{equation} +Daher wird der Miller-Rabin-Test bestanden. +\item[B-W] Suche $D \equiv 1 \mod 4$ mit $\left( \frac{D}{n} \right)=-1$, erstmals bei $D=37 \Rightarrow P=7$. Daraus erhält man + \begin{equation} + \label{eq:11} + Q = \frac{P^{2}-D}{4}=\frac{49-37}{4}=\frac{12}{4}=3 + \end{equation} +\end{enumerate} + \aufgabe{22} {Ist n das Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen $p$ und $q$, so hat für jedes u die @@ -32,6 +122,83 @@ $\pm v mod n$ als Lösung. Wie erhält man dieses speziell für $n= 437$ und $u= Löse obige Kongruenz zunächst mod p bzw. q und „kombiniere“ dann diese Lösungen mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes zu Lösungen $\mod n$.) } +Es gilt $n=437=19 \cdot 23$. Daher +\begin{equation} + \label{eq:12} + \begin{cases} + x^{2} \equiv 49 \mod 19 \\ x^{2} \mod 23 + \end{cases} +\Leftrightarrow + \begin{cases} + x^{2} \equiv 11 \mod 19 \\ x^{2} \equiv 3 \mod 23 + \end{cases} +\end{equation} +Da $p \equiv q \equiv 3 \mod 4$ kann man ``leicht'' Wurzeln ziehen: +\begin{equation} + \label{eq:13} + x^{2} \equiv a \mod w \Rightarrow x:=\pm a^{\frac{p+1}{4}} \mod w \textsl{ sind Lösungen.} +\end{equation} +Daher +\begin{subequations} + \begin{align} + \frac{19+1}{4}=\frac{20}{4}=5 \Rightarrow \pm 11^{5} \equiv \pm 7 \mod 19 \\ + \frac{23+1}{4}=\frac{24}{4}=6 \Rightarrow \pm 3^{6} \equiv \pm 16 \mod 23 + \end{align} +\end{subequations} +Der Chinesische Restsatz besagt nun: \newline +\begin{boxedminipage}{11,86cm}{ +\centering +\textsf{Seien $m_{1}, \ldots, m_{k}$ pw teilerfremd, sei $m$ ihr kgV, seien $c_{\kappa} \in \Z_{m_{\kappa}}$. Sei $n_{\kappa}:=\frac{m}{m_{\kappa}}$, sei $n_{\kappa}^{\prime}$das Inverse von $n_{\kappa} \mod m_{\kappa}$. Dann ist + \begin{equation} + \label{eq:14} + x:= \sum \limits_{\kappa=1}^{k} c_{\kappa} \cdot n_{\kappa} \cdot n_{\kappa}^{\prime} + \end{equation} +eine Lösung.}}\end{boxedminipage} \newline +Es folgt: +\begin{equation} + \label{eq:15} + m_{1}=19, n_{1}=23, n_{1}^{\prime}=5, m_{2}=23, n_{2}=19, n_{2}^{\prime}=17 +\end{equation} +Daher erhält man die folgenden Lösungen: +\begin{enumerate} +\item + \begin{equation} + \label{eq:16} + \begin{cases} + x \equiv 7 \mod 19 \\ x \equiv 16 \mod 23 + \end{cases} \Rightarrow x = 5973 \equiv 292 \mod 437 + \end{equation} +\item + \begin{equation} + \label{eq:17} + \begin{cases} + x \equiv - 7 \mod 19 \\ x \equiv 16 \mod 23 + \end{cases} \Rightarrow + \begin{cases} + x \equiv 12 \mod 19 \\ x \equiv 16 \mod 23 + \end{cases} \Rightarrow x=430 + \end{equation} +\item + \begin{equation} + \label{eq:19} + \begin{cases} + x \equiv 7 \mod 19 \\ x \equiv -16 \mod 23 + \end{cases} \Rightarrow + \begin{cases} + x \equiv 7 \mod 19 \\ x \equiv 7 \mod 23 + \end{cases} \Rightarrow x=7 + \end{equation} + +\item + \begin{equation} + \label{eq:18} + \begin{cases} + x \equiv 12 \mod 19 \\ x \equiv 7 \mod 23 + \end{cases} \Rightarrow x = 145 + \end{equation} +\end{enumerate} +Insgesamt erhält man daher die Lösungspaare $\pm 7, \pm 145 \mod 431$. + \aufgabe{23} {Man zeige, dass eine Zahl $n$ der Form $n = pqr$, wobei $p,q,r$ Primzahlen der Form @@ -41,12 +208,52 @@ mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes zu Lösungen $\mod n$.) sind, stets eine Carmichaelzahl ist, d.h. die Bedingung $a^{n −1} \equiv 1 \mod n$ für alle zu $n$ teilerfremden Basen $a \in Z$ erfüllt, obwohl sie zusammengesetzt ist. } +Unter Verwendung des folgenden Satzes von Korselt: +\begin{equation} + \label{eq:21} + \textsl{ungerade Zahl n ist CM-Zahl } \Leftrightarrow \left[ n \textsl{ ist quadratfrei } \land \forall p \in \P: p \mid n \Rightarrow p-1 \mid n-1 \right] +\end{equation} +$n$ ist nach Konstruktion als Produkt von drei ungeraden Zahlen selbst ungerade, daher wende das Kriterium von Korselt an: insbesondere sind $p,q,r$ drei verschiedene Primzahlen, daher ist $n$ quadratfrei. \\ +Für die Primteiler von $n$ gilt nun: \\ +einfaches Einsetzen liefert: +\begin{subequations} + \begin{align} + n=pqr=(6m+1)(12m+1)(18m+1)=\ldots=1296m^{3}+396m^{2}+36m+1 \\ +\implies n-1=1296m^{3}+396m^{2}+36m + \end{align} +\end{subequations} +Man erhält nun direkt: +\begin{subequations} + \begin{align} + 18 \mid 36, 18 \mid 396 (22 \cdot 18=396), 18 \mid 1296 (=18\cdot 72) \implies r-1 \mid n-1 \\ +12\mid 36, 12 \mid 396 (=12 \cdot 33), 12 \mid 1296 (=12 \cdot 108) \implies q-1 \mid n-1 \\ +p-1 \mid n-1 \textsl{ ist klar.} + \end{align} +\end{subequations} + \aufgabe{24} {Man zeige: Besteht eine ungerade natürliche Zahl $n>1$ den Fermattest für die Basis $2$, so besteht dann $2^n − 1$ sogar den Miller-Rabin Test für die Basis $2$. } - -\end{document} +Aus dem Fermattest erhält man: +\begin{equation} + \label{eq:22} + 2^{n-1} \equiv 1 \mod n \Rightarrow 2^{n-1}-1=\kappa n +\end{equation} +Aus $n>1$ folgt $\kappa \geq 1$. \\ +%Nach Bsp$19$ gilt: $\eta \mid \varphi(2^{\eta}-1)$. \\ +Für $\tilde{n}:=2^{n}-1$ erhält man nun aus $\tilde{n}-1=2^{t}s$, dass $s=2^{n-1}-1,t=1$. \\ +Behauptung: $2^{s} \equiv 1 \mod \tilde{n}$ \\ +% Aus +% \begin{equation} +% \gcd(2,\tilde{n})=1 \implies 2 \in \Z_{\tilde{n}}^{*} \implies 2^{\varphi(\tilde{n})} \equiv 1 \mod \tilde{n} +% \end{equation} +Aus $2^{n-1}<2^{n}-1$ (bei ``='' hätte man $n=1$ WS zu Voraussetzung), folgt $ord(2)_{\Z_{\tilde{n}}}=n$. Daher gilt +\begin{equation} + \label{eq:23} + 2^{\kappa n} = (2^{n})^{\kappa} \equiv 1 \mod (2^{n}-1) +\end{equation} +\end{document}