\maketitle
\end{titlepage}
-\setcounter{secnumdepth}{-1}
+% \setcounter{secnumdepth}{-1}
+\section{Übersicht}
+
+\href{https://tiss.tuwien.ac.at/course/educationDetails.xhtml?windowId=cb1&courseNr=104345&semester=2013W}{104.345 Analyse von Algorithmen}\\
+2013W, VO, 3.0h, 4.5EC\\
+
+\subsection*{Merkmale}
+\begin{itemize}
+ \item Semesterwochenstunden: 3.0
+ \item ECTS: 4.5
+ \item Typ: VO Vorlesung
+\end{itemize}
+
+
+\subsection*{Ziele der Lehrveranstaltung}
+
+Vermittlung von Werkzeugen zur Analyse konkreter Algorithmen.
+
+\subsection*{Inhalt der Lehrveranstaltung}
+
+Methoden und konkrete Beispiele für die Analyse von Algorithmen und Datenstrukturen.
+
-\section{Kurzzusammenfassung}
-Das ist die "ge {\TeX} te" Mitschrift zur Vorlesung...
\newpage
-\begin{bew}
-
-\end{bew}
+\section{day 2}
\begin{align*}
\sum_{i=1}^k a_i c_5 (x b_i)^\alpha (1+\int_1^{xb_i} \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}}du) + g(x)\\
$\E[X^2] = F_x''(1) + F_x'(1)$
++<<<<<<< HEAD
+Varianz $\V[X] = \E(X-\E X)^2 = F_x''+F_x'-F_x'^2$
++=======
+ Varianz $\mathbb{V}[X] = \E(X-\E X)^2 = F_x''+F_x'-F_x'^2$
++>>>>>>> 85c4b486aeff80d8f2afbde025b22b8db2abbaf8
Unabhängigkeit
$ X,Y, \E[f(x),g(y)] = \E[f(x)]\E[g(y)]$
Mergesort $NlogN + O(N)$
-
+
+\newpage
+\section{day 3}
+
+Quicksort $X_N = \# $ Vergleichsoperationen bei $N$ Datensätzen
+
+$F_N(z) = \E[z^{X_N}] = \frac{z^{N-1}}{N} \sum_{k=1}^N F_{k-1}(z)f_{N-k}(z)$
+
+$F_0 = F_1= 1$
+
+$C_N = \E[X_N] = N-1 + \frac{z}{N} \sum^{N-1} C_k$
+
+$C_0 = C_1 = 1$
+
+$ NC_N = N(N-1) + Z \sum C_k$
+
+$(N-1) C_{N-1} = (N-1)(N-1) + z sum c_k$
+
+$NC_N - (N-1) C_{N-1} = ...$
+
+$H_N = 1 + 1/2 + 1/3 ...$ Harmonische Zahl
+
+$= logN + \gamma + O(1/N)$ $\gamma$ Eulersche Konstante
+
+$C_N/(N+1) = sum_{k=1}^N \frac{2(k-1)}{k(k+1)}$
+Mit Partialbruchzerlegung abschätzen $-z/k + 4/(k+1)$
+
+$= H_N - 4 + 4/(N+1)$
+
+$C_N = 2(N+1)H_N -4N$
+
+$C_N = 2NlogN + O(N)$
+
+Mergesort $Nlog_2N + O(N)$ = $ Nlg N/log + O(N)$
+
+$QS/MS \approx 2N lg N / (N log_2 N) ) 2 lg2 = 1,386$
+Wert sehr gut, im mittel ist Mergesort besser aber durch verteilung ist Quicksort sehr gut.
+
+Satz. $\E[X_N] = 2N lg N + O(N)$ und $\V[X_N] = 7-2/3 \pi^2)N$
+
+Beweisidee, 2x ableiten und dann mit Formel Varianz ausrechnen, durch auslöschungen, fällt sehr viel weg und man muss sehr genau arbeiten um ein gutes ergebniss zu bekommen
+
+Wurzel Varianz ist bereich in dem Die Masse sich abspielt, und gibt mehr aussage als das Mittel.
+
+Tschebyscheffsche Ungleichung
+
+$\P[X_N -\E X_N]> t] \leq \V[X_N] / t^2$ greift für $t\geq \sqrt{\V X_N}$
+
+Ab der Wurzelvarianz grenze klingt die sehr schnell Verteilung ab.
+
+Beweis der Tsch Ungl.
+$\V[X] = \E(X-\E X)^2 = \int_\R (x-\E X)^2 dP(x)$
+Integral in zwei Integrale zerlegen
+
+$= \int_{x: |x-\E X| \leq t} + \int_{x: |x-\E X| > t} \geq \int_{x: |x-\E X| > t} (x- \E X)^2 dP(x) \leq t^2 \int 1 dP(x) = t^2\P[X-\E X \> t$
+
+Abklingintervall ist im Vergleich zum Erwartungswert sehr klein.
+
+Satz. Wenn $\V X_N / (\E X)^2 \rightarrow 0$, dann konvergiert $X_N / (\E X_N) \rightarrow^P 1$ Das heißt $X_N$ beim Erwartungswert konzentriert. Konvergenz in Wahrscheinlichkeiten!
+
+$lim_{N\to\infty} \P [X_N/\E X_N -1 \geq \epsilon] = 0$
+
+Nur dann ist der Erwartungswert aussagekräftig und sagt wirklich was über die Verteilung aus.
+
+$\V X = \E[X^2] - (\E X) ^2$
+
+Ist auch wirklich oftmals konzentriert.
+
+Im folgenden interessieren wir uns hauptsächlich für die Konzentration von Zufallsvariablen, mittels der Varianz.
+
+Im Folgenden wollen wir Quicksort noch verbessern.
+
+Bei einem Pivot kann die Verteilung sehr ungleichmäßig sein. Für Median of three ist die Verteilung besser. Median von drei Pivot elementen.
+
+Median-of-3-Quicksort
+
+Wir ignorieren zunächst den Aufwand zur Medianbestimmung. Interessanter ist die $I_N$ aufteilung.
+
+$X_N = N-1 + X_{I-1}^{(1)} + X_{N-I}^{(2)}$
+$I$ ist diesmal der Median of 3, $\P[I_n = k] = (k-1)(N-k) / \binom{N}{3}$
+
+$F_N(z) = z^{N-1} / \binom{N}{3} \sum (k-1)(N-k) F_{k-1}(z)F_{N-k}(z)$
+
+Durch ableiten bekommen wir wieder:
+
+$C_N = F_N'(1) = N-1+ 2/\binom{}{} \sum (k-1)(N-k) C_k$
+
+Satz. Median ... QS
+
+$\E X_N = 12/7 NlogN + O(N)$ ... $12/7 log2 = 1.118$
+$\V X_N \approx c N $
+
+für größere Median of ... wird die Konstante noch besser und geht gegen 1. Nur konvergiert die Folge ab 3 nur sehr langsam und es lohnt sich nicht größere zu wählen.
+
+Rekursion
+$N(N-1)(N-2)C_N ) $
+Mit Erzeugenden Funktionen, einer Potenzreihe $C(X) = \sum_{N\geq0} C_NX^N$. Ist DGL und man braucht strategien zum Lösen!
+
+\section{day4}
+
+$C_N = N-1 +2 \sum_{k=1} \frac{(k-1)(N-k)}{\binom{N}{3}} C_{k-1}$
+
+$C_N = 12/7 N log N + O(N)$
+
+$\binom{N}{3} = \frac{N(N-1)(n-2)}{6}$
+
+$N(N-1)(N-2) C_N = ...$
+
+ist nicht sehr schön, also erzeugende Funktion
+
+$C(X) = \sum_{N\geq0} C_N X^N$
+
+Konvergenzradius kleiner eins, also $|X| < 1$. Für $N!$ hat keinen endlichen Konvergenzradius.
+
+Durch dreimal differenzieren->
+
+$C'''(X) = \sum N(N-1)(N-2)C_N X^{N-3}$
+
+wir können deshalb einfach mit $X^{N-3}$ multiplizieren.
+
+$C'''(X) = 12 \frac{1+x}{(1-x)^5} + 12* \frac{C'(x)}{(1-x)^2}$
+
+Ableitung multiplizieren mit $C'*1/(1-x)^2$
+
+Produkt bilden und sortieren, und noch eine Indexverschiebung vornehmen.
+
+Damit DG dritter -> zweiter Ordnung.
+
+$D(X) = C'(X) = ...$
+
+Damit neue DG
+
+$D''(X) = 12 \frac{1+x}{(1-x)^5} + 12* \frac{D(x)}{(1-x)^2}$
+
+-> Lösen der DG und substitution $D(X) = f(u) = f(ln(1/(1-x)))$
+
+explizite Lösung $D(X)$, wo das Polynom egal ist.
+
\end{document}
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