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@@ -144,12 +144,33 @@ So ergeben sich die Lösungen:
  x &= 0 \cdot 40 + 2 \cdot -24 + 6 \cdot -15 & x &= -138 \mod 120 & x &= 102 \mod 120
 \end{align}
 \subsection*{10. Aufgabe}
+{\texttt{Man zeige, dass für jedes $n \in \N^{*}$ gilt
+    \begin{equation}
+      \sum \limits_{d \mid n} \varphi(d)=n
+    \end{equation}
+(Hinweis: Klasseneinteilung) }} \\
 Angenommen, man erhält eine Klasseneinteilung $\implies$ dann sind alle Klassen nichtleer und paarweise disjunkt.  Kann man nun für jede Klasse zeigen, dass $\vert C_{d} \vert = \varphi(d)$, so ist man fertig.  \\
-Nun gilt aber die Äquivalenz
+Auf der Menge $N := \lbrace 1,2,3,\ldots, n \rbrace$ definiere eine binäre Relation $\sim$ folgendermaßen:
+\begin{equation}
+  a,b \in N: a \sim b :\Leftrightarrow \gcd(a,n)=\gcd(b,n)
+\end{equation}
+\begin{enumerate}
+\item [Behauptung 1] ``$\sim$ ist Äquivalenzrelation'': Reflexiv und symmetrisch klar, transitiv auch.  
+\item [Behauptung 2] ``$f: A_{d} \rightarrow C_{d}: a \mapsto d \cdot a$ is Bijektion'': die Mengen sind folgendermaßen definiert für $d \mid n$:
+  \begin{subequations}
+    \begin{align}
+      C_{d} := \lbrace x \mid 1 \leq x \leq n \land \gcd(x,n)=d \rbrace \\
+      A_{d} := \lbrace y \mid 1 \leq y \leq \frac{n}{d} \land \gcd(y,\frac{n}{d})=1 \rbrace
+    \end{align}
+  \end{subequations}
+@injektiv: seien $a_{1},a_{2} \in A_{d}$ mit $f(a_{2})=da_{1}=da_{2}=f(a_{2})$ gegeben, dann erhält man aus der Kürzungsregel der natürlichen Zahlen $a_{1}=a_{2}$.  \\
+@surjektiv: sei $c \in C_{d}$ gegeben.  Dann gilt $\frac{c}{d} \in A_{d}$ (wegen $d \mid c$) und $f(\frac{c}{d})=c \implies$ bijektiv.  \\
+\end{enumerate}
+Die Anzahl der Elemente von $A_{d}$ ist aber $\varphi(\frac{n}{d})$, daher gilt auch $\vert C_{d} \vert = \varphi(\frac{n}{d})$.  Da Komplementärteiler sich hier eindeutig entsprechen, erhält man 
 \begin{equation}
-  1 \leq x \leq n \land \gcd(x,n)=d \Leftrightarrow 1 \leq x/d \leq n \land \gcd(x/d,n/d)=1
+  \lbrace d : d \mid n \rbrace = \lbrace \frac{n}{d} : d \mid n \rbrace,
 \end{equation}
-Die Anzahl der Elemente auf der rechten Seite ist aber durch die phi-Funktion gegeben.  Mit $\varphi(n/d)$ durchläuft aber auch alle Teiler, da diese sich eindeutig entsprechen, da $n \neq 0$.  
+womit die Summe über die gleichen Indizes gebildet wird.  
 \subsection*{11. Aufgabe}
 {\texttt{Sei $p$ eine Primzahl und für jeden positiven Teiler $d$ von $p-1$ sei $A_{d}$ die Menge derjenigen Elemente in $\lbrace 1,2,\ldots, p-1 \rbrace$ mit der Ordnung $d$.  Wieviele Elemente hat ein $A_{d}$ unter der Voraussetzung, dass es nichtleer ist?  Warum folgt daraus mit Hilfe von Aufgabe $10$, dass keine der Mengen $A_{d}$ leer sein kann, insbesondere also $A_{p-1}$ nicht, d.h. es gibt eine Primitivwurzel mod $p$?}} \\
 Es gilt folgende Eigenschaft der Ordnung eines Elements $x$: