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+ \author{}
+ \title{Mitschrift zur Vorlesung \\ AKDIS: Zahlentheorie und Anwendungen,\\ gehalten von Prof. J. Wiesenbauer, Sommersemester 2012}
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+
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+ \renewcommand{\proofname}{Beweis}
+ \renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis}
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+ \newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}}
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+ \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm}
+ \def \N {\mathbb{N}}
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- %opening
- \title{}
- \author{Peter Schaefer}
+ \swapnumbers
+ \newtheorem{defn}{Definition}[section]
+ \newtheorem{lemma}[defn]{Lemma}
+ \newtheorem{satz}[defn]{Satz}
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+ \newtheorem{kor}[defn]{Korollar}
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+ \newtheorem{bsp}[defn]{Beispiel}
+ \newtheorem{bem}[defn]{Bemerkung}
++
++ \makeindex
+ \begin{document}
+
+ \begin{titlepage}
+ \maketitle
+ \end{titlepage}
+
+ \setcounter{secnumdepth}{-1}
+
+
+ \section{Kurzzusammenfassung}
+ Das ist die "getechte" Mitschrift zur Vorlesung $118 \dot 186$ \emph{AKDIS Zahlentheorie und Anwendungen} vom Sommersemester 2012, gehalten von Prof. J. Wiesenbauer.
+ \newpage
+
- \begin{document}
- \maketitle
- \section*{Vorlesung 21.3.12}
- \subsection*{Bew. 1.16}
+ \tableofcontents
+ \newpage
+ \setcounter{secnumdepth}{2}
+ \section{Einleitung}
+ \chapter{Teil 1}
+ \begin{bem}
+ Prf: $4$ Bsp: 2 Beweise, 2 Überblicksfragen + schreiben
+ \end{bem}
+
+ \begin{bem}
+ Die natürlichen Zahlen sind in dieser Vorlesungen inklusive $0$ zu verstehen, d.h. $\N = \lbrace 0,1,2,\ldots \rbrace$.
+ \end{bem}
+
+ \begin{bem}[Bemerkung zu Definition $1.1$]
+ Sei $a \neq 0 \land a \mid b \Rightarrow$ Komplementärteiler ist eindeutig: \\
+ Sei
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ a u_{1} =b \land a u_{2} =b \\
+ a \left( u_{1} - u_{2} \right) = 0 \\
+ \stackrel{\textsl{Nullteilerfreiheit + VS}} \Rightarrow u_{1} - u_{2} = 0 \\
+ \implies u_{1} = u_{2}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ \end{bem}
+
+ \begin{bem}[Bemerkung zu Satz $1.3$]
+ Das Wichtige bei diesem Satz ist diese Tatsache: $0 \leq r < \vert b \vert$, siehe auch Euklidische Ringe in Algebra.
+ \end{bem}
+
+ \begin{proof}[Beweis von Satz $1.3$]
\begin{enumerate}
- \item Sei $p\in\P$ und es gelte $p|av \und p \nmid a$ , d.h. $\ggT(p,a)=1$. nach dem Lemma von Euklid (Satz 1.11) folgt daher $p|b$.
- \item Ist umgekehrt die Bedingung des Satzes erfüllt und gilt $p = a\cdot b$ mit $(a,b \in \N *$, so gilt einerseits $a|p \und b|p$, aber auch $p|a \oder p|b$ nach VS. Daraus folgt aber sofort $p = a \oder p= b,Q$
+ \item
+ \item[Existenz]
+ Sei zunächst $b > 0$: \\
+ Wähle $q \in \Z$ so, dass: $qb \leq a \land \left( q+1 \right) > a$ (ist in endlich vielen Schritten möglich) (--> Skizze Zahlengerade)\\
+ Dann gilt für $r := a - qb$, dass $0 \leq r < b \land a = qb+r$. \\
+ Ist aber $b<0$, so gilt nach Obigem:
+ \begin{equation}
+ \exists \bar{q},\bar{r} \in \Z: a = \vert b \vert \cdot \bar{q} + \bar{r} \land 0 \leq \bar{r} < \vert b \vert
+ \end{equation}
+ Setze $q:=-\bar{q}, r:=\bar{r}$ folgt dann wieder $a = bq +r \land 0 \leq r < b$. Daher ist die Existenz gesichert.
+ \item[Eindeutigkeit] Angenommen wir haben zwei Darstellungen der folgenden Form:
+ \begin{equation}
+ a = q_{1}b+r_{1}=q_{2}+r_{2} \land 0 \leq r_{1} < \vert b \vert \land 0 \leq r_{2} < \vert b \vert
+ \end{equation}
+ Daraus erhält man
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ \left( q_{1} - q_{2} \right) b = r_{2} - r_{1} \\
+ \stackrel{\vert \cdot \vert} \implies \vert q_{1} - q_{2} \vert \cdot \vert b \vert = \underbrace{\vert r_{2} - r_{1} \vert}_{\in [0,\vert b \vert), \textsl{ zumindest } < \vert b \vert} \\
+ \Rightarrow \vert q_{1} - q_{2} \vert = 0 \\
+ \Rightarrow q_{1} = q_{2} \\
+ \Rightarrow r_{1} = r_{2}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
\end{enumerate}
- \hfill$\blacksquare$
+ \end{proof}
+
+ \begin{bem}[@Def 1.4 ggT]
+ \begin{equation}
+ a=b=0 \Rightarrow ggT(a,b)=ggT(0,0)=0
+ \end{equation}
+ \end{bem}
+
+ \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.6$]
+ Teilbarkeitsrelation ist invariant unter $\pm$, daher gilt $ggT(a,b)=ggT(\vert a \vert, \vert b \vert)$, insbesondere erhält man dadurch $ggT(a,0)=\vert a \vert$ und $ggT(a,b)=ggT(b,a)$. \\
+ oBdA: $a \geq b > 0$. Wende Euklidischen Algorithmus an, $r_{(-1)}:=a, r_{0}:=b$, dann gilt:
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ a = q_{1} b+ r_{1}, \quad 0 \leq r_{1} < b \\
+ b = q_{2} r_{1} + r_{2}, \quad 0 \leq r_{2} < r_{1} \\
+ r_{1} = q_{3} r_{2} + r_{3}, \quad 0 \leq r_{3} < r_{2} \\
+ r_{(i-2)} = q_{i} r_{(i-1)} + r_{i}, \quad 0 \leq r_{i} < r_{(i-1)}\\
+ \textsl{Folge der Reste ist streng monoton fallend} \rightarrow \textsl{ bricht ab} \\
+ r_{(n-1)} = q_{n} r_{n} \label{letzterestgleichung}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ Insbesondere folgt aus \eqref{letzterestgleichung}, dass $ggT(r_{(n-1)},r_{n})=r_{n}$.
+ \begin{equation}
+ ggT(a,b)=ggT(b,r_{1}) = ggT(r_{(n-1)},r_{n})= r_{n}
+ \end{equation}
+ Man kann daraus die folgende Behauptung formulieren:
+ \begin{equation}
+ \forall k \in \lbrace -1 \rbrace \cup \N: \exists x_{k},y_{k} \in \Z: r_{k} = x_{k}a + y_{k}b
+ \end{equation}
+ Beweis mit Induktion nach $k$: \\
+ I-Anfang $-1,0$:
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ r_{(-1)} = a = 1 \cdot a + 0 \cdot b, \qquad \surd \\
+ r_{0} = b = 0 \cdot a + 1 \cdot b, \qquad \surd \\
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ I-Schritt: $k \rightarrow k+1$:
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ r_{k} = r_{(k-2)} - q_{k} r_{(k-1)} = \\
+ \stackrel{\textsl{I-VS}} = \left( x_{(k-2)} a + y_{(k-2)} b \right) - q_{k} \left( x_{(k-1)} a + y_{k-1} b \right) = \\
+ = \underbrace{(x_{(k-2)} - q_{k}x_{(k-1)})}_{x_{k}} a + \underbrace{(y_{(k-2)} - q_{k}y_{(k-1)})}_{y_{k}}b
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ Man beachte, dass für $r_{()}, x_{()},y_{()}$ drei mal die gleiche Rekursionsgleichung mit verschiedenen Startwerten genügt! Diese Methode ist besser um ggT auszurechnen, als im Eukl. Alg. einfach ``hinaufzurechnen''. Es gilt
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ r_{-1}=a,r_{0}=b, r_{i} = r_{i-2} - q_{i} r_{i-1}\\
+ x_{-1}=1, x_{0}=0, x_{i} = x_{i-2} - q_{i} x_{i-1} \\
+ y_{-1}=0, y_{0}=0, y_{i} = y_{i-2} - q_{i} y_{i-1}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ \end{proof}
+
+ \begin{bsp}
+ Berechne $ggT(2124, 1764)$ mit Hilfe von Euklidischem Algorithmus, Schema:
+
+ \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
+ $r_{i-2}$ & $r_{i-1}$ & $q_{i}$ & $x_{i-2}$ & $x_{i-1}$ & $y_{i-2}$ & $y_{i-1}$ & $i$ \\
+ \hline
+ $2124$ & $1764$ & $1$ & $1$ & $0$ & $0$ & $1$ & $0$\\
+ $1764$ & $360$ & $4$ & $0$ & $1$ & $1$ & $-1$ & $1$ \\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ $\Rightarrow ggT(2124,1764)=26=5 \cdot 2124 + (-6) \cdot 1764$.
+ \end{bsp}
+
+ \begin{bem}
+ $\sim 40 \%$ der Fälle gilt $q=1$, bzw Einstellig in $90\%$. Statt Divisionen verwendet man interierte Subtraktionen, mit vielleicht Ausnahme einer ersten Division.
+ \end{bem}
+
+ \begin{bem}
+ Die Stellenanzahl im dekadischen System einer dekadischen Zahl $n$: $\lfloor \log_{10} n \rfloor +1 \approx \log_{10}$.
+ \end{bem}
+
+ \begin{bem}
+ ``Normale Multiplikation'' mit ``Schulmathematik'' hat quadratischen Aufwand.
+ \end{bem}
+
+ \begin{bem}[Umrechnung für $\lambda$]
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ \lambda^{\log_{\lambda}(a)} = a \\
+ \Rightarrow \log_{10}(\cdot) \\
+ \log_{\lambda}(a) \cdot \log_{10}(\lambda)=\log_{10}(a) \\
+ \implies \log_{\lambda}(a)=\frac{\log_{10}(a)}{\log_{10}(\lambda)}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ \end{bem}
+
+ \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.8$, Seite $4$]
+ Betrachte die Fibonacci-Folge
+ \begin{equation}
+ 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \ldots
+ \end{equation}
+ welche definiert ist durch $F(0)=0,F(1)=1, F(n)=F(n-2)+F(n-1)$ für $n\geq 2$. \\
+ Ist $F_{n}$ die nächst kleinere Fibonacci-Zahl zu $a$, so kann der Rechenaufwand zur Berechnung von $ggT(a,b)$ durch den Rechenaufwand von $ggT(F_{n},F_{(n-1)})$ nach oben abgeschätzt werden, z.B. $a=50,b=37 \rightsquigarrow ggT(34,21)$, sind $F_{9}=34, F_{8}=21$ die nächst kleineren Fibonacci-Zahlen und es gilt:
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ 34 = 1 \cdot 21 + 13 \\
+ 21 = 1 \cdot 13 + 8 \\
+ 13 = 1 \cdot 8 + 5 \\
+ 8 = 1 \cdot 5 + 3 \\
+ 5 = 1 \cdot 3 + 2 \\
+ 3 = 1 \cdot 2 + 1 \\
+ 2 = 1 \cdot 2
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ Man benötigt hier $7$, allgemein $n-2$ Divisionen, was eine obere Schranke darstellt. \\
+ Es gilt für die $F_{n}$ die folgende explizite Formel:
+ \begin{equation}
+ F_{n} = \frac{\lambda_{1}^{n} - \lambda_{2}^{n}}{\sqrt{t}} \textsl{ mit } \lambda_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
+ \end{equation}
+ Diese Formel zeigt man leicht mit Induktion. \\
+ Wenn es eine geometrische Folge gibt, welche die Fibonacci-Folge liefert, so muss diese Folge zwingend erfüllen:
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ q^{n} = q^{n-1} + q^{n-2} \\
+ \implies q^{2} = q + 1 \\
+ \textsl{woraus man die folgenden Lösungen erhält} \\
+ F_{n} = \frac{\lambda_{1}^{n} - \lambda_{2}^{2}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_{1}^{n} + \underbrace{\left( \frac{-1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_{2}^{n} \right)}_{\stackrel{n \rightarrow \infty}\rightarrow 0}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ $\lambda_{2}$-Term geht sehr schnell gegen Null. Lässt man den zweiten Teil weg, d.h. man rechnet ``nur'' mit dem Wert $\frac{\lambda_{1}^{n}}{\sqrt{t}}$ und rundet immer auf die nächste ganze Zahl, so erhält man auch wieder die Fibonacci-Folge (Beweis per Derive). \\
+ Setzt man $\lambda := \lambda_{1}$, so folgt daraus
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ n-2 = \log_{\lambda}(\lambda^{n-2})=\log_{\lambda} \left( \frac{\lambda^{n}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\lambda^{2}} \right) = \\
+ = \log_{\lambda} \left( \frac{\lambda^{n}}{\sqrt{5}} \right) + \log_{\lambda}\left( \frac{\sqrt{5}}{\lambda^{2}} \right) = \\
+ = \log_{\lambda}(F_{n}) + \underbrace{ \left( \log_{\lambda}\left( \frac{\lambda^{n}}{\sqrt{5}} - \log_{\lambda}(F_{n}) \right) \right) }_{\approx 0} + \underbrace{\log_{\lambda}\left( \frac{\sqrt{5}}{\lambda^{2}} \right)}_{\approx -0,33} = \\
+ = \lfloor \log_{\lambda}(F_{n}) \rfloor, \quad n \geq 2
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ Wegen $F_{n} \leq a$ folgt insgesamt $n-2 \leq \lfloor \log_{\lambda}(a) \rfloor$.
+ \end{proof}
+
+ \begin{bem}[Bemerkung zu Satz $1.10$]
+ $ggT(72,108)=36 \cdot ggT(2,3)=36$, ``Distributivgesetz'' gilt.
+ \end{bem}
+
+ \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.10$, Seite $4$]
+ Zeige zwei Eigenschaften von ggT:
+ \begin{equation}
+ ggT(a,b)\mid a \land ggT(a,b)\mid b \Rightarrow \frac{ggT(a,b)}{t} \mid \frac{a}{t} \land \frac{ggT(a,b)}{t} \mid \frac{b}{t}
+ \end{equation}
+ Daher ist $\frac{ggT(a,b)}{t}$ ist ein gemeinsamer Teiler von $\frac{a}{t}$ und $\frac{b}{t}$. \\
+ Es gilt: $\exists x,y \in \Z: ggT(a,b)=xa+yb$.
+ \begin{equation}
+ \implies \frac{ggT(a,b)}{t} = x \frac{a}{t} + y \frac{b}{t}
+ \end{equation}
+ Jeder gemeinsame Teiler von $\frac{a}{b}$ und $\frac{b}{t}$ teilt auch rechte Linearkombination, insbesondere daher auch die linke Seite nach Rechenregeln der Teilbarkeitsrelation.
+ \end{proof}
+
+ \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.11$, Seite $4$]
+ % ein one-liner-beweis
+ $ggT(a,b)=1 \Rightarrow x,y\in \Z: xa+yb=1$, ``mal c'' liefert
+ \begin{equation}
+ xac + ybc = c
+ \end{equation}
+ Nun gilt $a \mid xac, a \mid ybc$ nach Voraussetzung, daher teilt $a$ auch Summe, daher $a \mid c$.
+ \end{proof}
+
+ \begin{proof}[Beweis zu Folgerung $1.14$, Seite $4$]
+ Unter gegebenen Voraussetzungen gilt: $kgV(a,b)=\frac{\vert ab\vert}{ggT(a,b)} = \vert a b \vert$, weiters gilt $kgV(a,b) \mid c$ weil $c$ ist gemeinsames Vielfaches, daher $ab \mid c$.
+ \end{proof}
+
+
+ \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.16$, Seite $5$]
+ \begin{enumerate}
+ \item[``$\Rightarrow$''] Sei $p\in\P$ und es gelte $p \mid ab \und p \nmid a$ , d.h. $ggT(p,a)=1$ (da $p$ eine Primzahl ist), und nach dem Lemma von Euklid (Satz $1.11$) folgt daher $p \mid b$.
+ \item[``$\Leftarrow$''] Ist umgekehrt die Bedingung des Satzes erfüllt und gilt $p = a\cdot b$ mit $a,b \in \N^{*}$, so gilt einerseits $a \mid p \und b \mid p$, aber auch $p \mid a \oder p \mid b$ nach VS. Daraus folgt aber sofort $p = a \oder p= b$, da alle auftretenden Zahlen nichtnegativ sind.
+ \end{enumerate}
+ \end{proof}
+
+ \begin{bem}
+ Kein (!) Beweis zum Fundamentalsatz der Zahlentheorie, Satz $1.17$.
+ \end{bem}
- \subsection*{Bew. 1.20}
+ \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.20$, Seite $5$]
\begin{eqnarray*}
- \ggT(a,b) = \ggT(a,c) = 1 &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : xa+yb = ua +vc = 1\\
- &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : (xa +yb)(ua +vc) = (xau +xvc +ybu) a +(yv)(bc) = 1\\
- &\Rightarrow& \text{Jeder gem. Teiler von} a \text{ und }c \text{ teilt auch }1 \Rightarrow \ggT(a,c) =1
+ ggT(a,b) = ggT(a,c) = 1 &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : xa+yb = ua +vc = 1\\
+ &\Rightarrow& (xa +yb)(ua +vc) = (xau +xvc +ybu) a +(yv)(bc) = 1\\
+ &\Rightarrow& \text{Jeder gemeinsame Teiler von} a \text{ und }c \text{ teilt auch }1 \Rightarrow ggT(a,c) =1
\end{eqnarray*}
- \hfill$\blacksquare$
-
- \subsection*{Bew. 1.21}
- Angenommen, $P=\{p_1,P_2,\cdots,p_r\}$, d.h. endlich. Die Zahl
+ \end{proof}
+
+ \begin{proof}[Beweis zu Satz $1.21$, Seite $5$]
+ Angenommen $P=\{p_1,p_2,\cdots,p_r\}$, d.h. von endlicher Mächtigkeit. Definiere
+ \begin{equation}
+ N: = p_1 p_2 \cdots p_r +1
+ \end{equation}
+ Ist die Menge $\P$ nun endlich oder sogar leer, folgt für diese Zahl $N$ dann $N > 1$ und daher ist $N$ durch eine Primzahl $p$ teilbar, wobei man setzt
+ \begin{equation}\label{eqminteiler}
+ p := \min \{ t \in \N^{*} : t \mid n \und t > 1 \}
+ \end{equation}
+ Die Menge in \eqref{eqminteiler}, über die das Minimum gebildet wird, ist nichtleer, denn sie enthält $N$, und da die natürlichen Zahlen wohlgeordnet sind, hat sie ein kleinstes Element. Dieses Minimum $p$ ist nun zwingendermaßen prim, da man sonst einen noch kleineren Teiler hätte, der die beiden Bedingungen in \eqref{eqminteiler} erfüllt. Weiters beachte man, dass hier der Fundamentalsatz der Zahlentheorie nicht verwendet wird!
+ Es gilt
+ \begin{equation}\label{pteiltN}
+ p \mid N
+ \end{equation}
+ nach Konstruktion von $p$. \\
+ $p$ ist prim, und da es nach VS nur endlich viele Primzahlen gibt, folgt, dass $p \in \lbrace p_{1}, \cdots, p_{r} \rbrace$. Daraus erhält man sofort
+ \begin{equation}\label{pteiltp1bispr}
+ p \mid p_{1} p_{2} \cdots p_{r}
+ \end{equation}
+ Aufgrund der Rechenregeln der Teilbarkeit erhält man nun aus \eqref{pteiltN} und \eqref{pteiltp1bispr}, dass $p$ auch ihre Differenz teilt, und man erhält unter Verwendung von $p_1p_2 \cdots p_r = N-1$, dass gilt:
\begin{displaymath}
- N=p_1 p_2\cdots p_r +1
+ p \mid 1 = N-(N-1) \text{Widerspruch!}
\end{displaymath}
- Zahl dann $> 1$ und daher durch eine Primzahl $p$ teilbar, wobei man
- \begin{displaymath}
- p := min\{t \in \N * | t | n \und t > 1 \}
- \end{displaymath}
- Wenn $p| n \und p| n-1 = p_1p_2 \cdots p_r$ folgt daraus
- \begin{displaymath}
- p|1 = N-1(N-1) \Rightarrow $\blitza$
- \end{displaymath}
- Also ist $| \P | = \infty$, \hfill$\blacksquare$
- \subsection*{Anmerkung 1.21}
+ Also ist $\vert \P \vert = \infty$.
+ \end{proof}
+
+ \begin{bem}[Bemerkung zu Anmerkung $1.21$]
\begin{eqnarray*}
\sum_{p\in\P} \frac 1 p && \text{divergent (Euler)}\\
- \sum_{k=1}^{\infty} &=& \frac{\pi^2}{6}
+ \sum_{k=1}^{\infty} &=& \frac{\pi^{2}}{6}
\end{eqnarray*}
- \subsection*{Anmerkung 1.22}
+ \end{bem}
+
+ \begin{bem}[Bemerkung zu Satz $1.22$, Seite $6$]
\begin{displaymath}
\pi(x) = \{ p \in \P | p \leq x\}, x\in \R^+
\end{displaymath}
\item
\end{enumerate}
- $\Rightarrow \ord_(a^k) = \frac e {\ggT(k,e)}$
-
- \section*{Vorlesung 25.4.12}
- \subsection*{Erweiterung 3.1}
-
++% $\Rightarrow \ord_(a^k) = \frac e {\ggT(k,e)}$
++%
++% \section*{Vorlesung 25.4.12}
++% \subsection*{Erweiterung 3.1}
++%
++% \begin{align}
++% &ax^2 +bx +c \equiv 0 \mod m, \ggT(a,m) = 1, m \text{ungerade}\\
++% &x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
++% \end{align}
++% Anzahl der Lösungen $x^2 \equiv a \mod p$ ist $ 1+(a/p)$
++%
++% \subsection*{Beweis 3.2}
++% \begin{enumerate}
++% \item Folgt unmittelbar aus der Definition des Legendresymbols, wegen $a \equiv b \mod p\Rightarrow (x^2 \equiv a \mod p $ Lösbar $\Leftrightarrow x^2 \equiv b \mod p$ Lösbar
++% \item Ist $g$ eine Primwurzel $\mod p$, so ist dann $\{ g, g^2 , \dots g^{p-1}\}$ ein primes Restsystem $\mod p$ und daher sind
++% \begin{align}
++% g^2,g^4,\dots,(g^{\frac{p-1}2})^2,(g^{\frac{p+1}2})^2,\dots,g^{2(p-1)}
++% \end{align}
++% \item
++% \begin{enumerate}
++% \item Fall: $a$ ist quadratischer Rest, das heißt, $a \equiv g^{2k} \mod p$ für ein $k\in \N$, woraus folgt
++% \begin{align}
++% a^{\frac{p-1}{a}}
++% \end{align}
++% \item Fall: $a $ ist quadritscher $\mod p $, das heißt $a \equiv g^{2k+1} \mod p$ für ein $k \in \N$. Dann gilt
++% \begin{align}
++% a^{\frac{p-1}2} = (g^{2k+1})^{\frac{p-1}2}
++% \end{align}
++% \end{enumerate}
++% \item Fallunterscheidung
++% \begin{enumerate}
++% \item $(a/p) = (b/p) = 1$
++% \item o.b.d.A. $(a/p) = 1, (b/p) = -1$
++% \item $(a/p) = (b/p) = -1$
++% \end{enumerate}
++% \end{enumerate}
++% zu (a) $\exists k,\ell \in \N : a\equiv g^{2k} \mod p, b \equiv g^{2\ell} \mod p$
++% Dann gilt:
++% \begin{align}
++% (\frac{ab}{p}) = (\frac{g^{2k}g^{2\ell}}{p}) = (\frac{g^{2(k+\ell)}}{p})= 1 = \underbrace{(\frac{a}{p})}_{=1}\underbrace{(\frac{b}{p})}_{=1}
++% \end{align}
++% zu (b),(c) -> Analog
++%
++% \subsection*{Ergänzung 3.7}
++% $(\frac{a}{b} := \underbrace{(\frac{a}{p_1})(\frac{a}{p_2}\cdots(\frac{a}{p_r})}_{\text{Legendresymbole}}$
++
+ $\Rightarrow \ord_(a^k) = \frac e {\gcd(k,e)}$
+
+ \subsection*{VO 25.4.2012}
+ Betrachte $ax^{2}+bx+c \equiv 0 \mod m, \gcd(a,m)=1$, m ungerade. Dann gilt
+ \begin{equation}
+ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
+ \end{equation}
+ Anzahl der Lösungen $x^{2} \equiv a \mod p$ ist $1+\left( \frac{a}{p} \right)$.\\
+ Das Euler'sche Kriterium kann nicht verallgemeinert werden. \\
+ @(4) stark multiplikativ im Zähler. \\
+
+ \begin{proof}[Beweis zu Satz $3.2$, Seite $10$]
+ \begin{itemize}
+ \item Folgt unmittelbar aus der Definition des Legendre-Symbols, wegen
+ \begin{equation}
+ a \equiv b \mod p \implies \left[ x^{2} \equiv a \mod p \textsl{ ist lösbar } \Leftrightarrow x^{b} \equiv b \mod p \textsl{ ist lösbar} \right]
+ \end{equation}
+ \item Ist $g$ eine Primitivwurzel $\mod p$, so ist dann $\lbrace g, g^{2}, \ldots, g^{p-1} \rbrace$ ein volles primes Restsystem $\mod p$ und daher sind
+ \begin{equation}
- \underbrace{g^{2}, g^{4}, \ldots, g^{\left(\frac{p-1}{2}\right)^{2}}=g^{p-1}\equiv 1 \mod p}_{\textsl{versch. quadr. Reste}}, \underbrace{g^{\lbrace \frac{p+1}{2} \right)^{2}}}_{\textsl{Wiederholung}} \equiv g^{2} \mod p, \ldots
++% \underbrace{g^{2}, g^{4}, \ldots, g^{\left(\frac{p-1}{2}\right)^{2}}=g^{p-1}\equiv 1 \mod p}_{\textsl{versch. quadr. Reste}}, \underbrace{g^{\lbrace \frac{p+1}{2} \right)^{2}}}_{\textsl{Wiederholung}} \equiv g^{2} \mod p, \ldots
+ \end{equation}
+ daher sind $g^{2}, g^{4}, g^{p-1}$ alle quadratischen Reste, und die ungeraden Potenzen sind quadratische Nichtreste.
+ \item \hfill
+ \begin{itemize}
+ \item[1. Fall] $a$ ist quadratischer Rest $\implies \exists k \in \N: a \equiv g^{2k} \mod p$, woraus folgt dass
+ \begin{equation}
+ a^{\left( \frac{p-1}{2}\right)} \equiv \left( g^{2k} \right)^{\left( \frac{p-1}{2} \right)} = \left( g^{p-1} \right)^{k} \equiv 1 \mod p \equiv \left( \frac{a}{p} \right) \mod p
+ \end{equation}
+ \item[2. Fall] $a$ ist quadratischer Nichtrest, d.h. $\exists k \in \N: a \equiv g^{2k+1} \mod p$, dann gilt
+ \begin{equation}
+ a^{\left( \frac{p-1}{2} \right)} \equiv \left( g^{2k+1} \right)^{\left( \frac{p-1}{2} \right) } \equiv \underbrace{g^{(p-1)k}}_{\equiv 1 \mod p} \cdot \underbrace{g^{\left( \frac{p-1}{2} \right)}}_{\equiv -1 \mod p} \equiv 1 \equiv \lbrace \frac{a}{p} \rbrace \mod p
+ \end{equation}
+ Warum $\equiv -1 \mod p$? da $g^{\frac{p-1}{2}}$ Lösung von $x^{2} \equiv 1 \mod p$ ist $\implies$
+ \end{itemize}
+ \end{itemize}
+ \end{proof}
+
+ %Vorlesung 2.5.2012
+ Zu Lucas-Folgen: sind Verallgemeinerung von Fibonacci-Folgen, sind wichtig für Primzahltests. \\
+ \begin{proof}[Beweis zu Satz $4.2$, Seite $13$]
+ Wegen $(x-\alpha)(x-\beta)=x^{2} - Px + Q = 0$ erhält man durch einen Koeffizientenvergleich
+ \begin{equation}
+ P=\alpha+\beta, Q = \alpha \beta
+ \end{equation}
+ Durch unmittelbares Einsetzen erhält man:
+ \begin{subequations}
\begin{align}
- &ax^2 +bx +c \equiv 0 \mod m, \ggT(a,m) = 1, m \text{ungerade}\\
- &x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
+ U_{m}V_{n} - Q^{n}U_{m-n} = \frac{\alpha^{m}-\beta^{m}}{\alpha-\beta} \left( \alpha^{n} - \beta^{n} \right) - \left( \alpha \beta \right)^{n} \cdot \left( \frac{\alpha^{m-n} - \beta^{m-n}}{\alpha-\beta} \right)= \\
+ = \left( \frac{1}{\alpha - \beta} \right) \cdot \left( \alpha^{m+n} + \alpha^{m}\beta^{n} - \alpha^{n} \beta^{m} - \beta^{m+n} - \alpha^{m} \beta^{n} + \alpha^{n} \beta^{m} \right) = \\
+ = \frac{\alpha^{m+n} - \beta^{m+n}}{\alpha-\beta} \stackrel{\textsl{nach Def.}} = U_{m+n}
\end{align}
- Anzahl der Lösungen $x^2 \equiv a \mod p$ ist $ 1+(a/p)$
-
- \subsection*{Beweis 3.2}
- \begin{enumerate}
- \item Folgt unmittelbar aus der Definition des Legendresymbols, wegen $a \equiv b \mod p\Rightarrow (x^2 \equiv a \mod p $ Lösbar $\Leftrightarrow x^2 \equiv b \mod p$ Lösbar
- \item Ist $g$ eine Primwurzel $\mod p$, so ist dann $\{ g, g^2 , \dots g^{p-1}\}$ ein primes Restsystem $\mod p$ und daher sind
+ \end{subequations}
+ Genauso erhält man für die $V$-Folge
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ V_{m}V_{n} - Q^{n} V_{m-n} = \left( \alpha^{m} + \beta^{m}\right) \left( \alpha^{n} + \beta^{n} \right) - \left( \alpha \beta \right)^{n} \left( \alpha^{m-n} + \beta^{m-n} \right) = \\
+ = \alpha^{n+m} + \alpha^{m} \beta^{n} + \alpha^{n} \beta^{m} + \beta^{m+n} - \alpha^{m} \beta^{n} - \alpha^{n} \beta^{m} = \\
+ = \alpha^{n+m} + \beta^{m+n} \stackrel{\textsl{nach Def.}} = V_{m+m}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ \end{proof}
+
+ \begin{proof}[Beweis zu Folgerung $4.3$, Seite $13$]
+ Durch Einsetzen erhält man direkt
+ \begin{subequations}
\begin{align}
- g^2,g^4,\dots,(g^{\frac{p-1}2})^2,(g^{\frac{p+1}2})^2,\dots,g^{2(p-1)}
- \end{align}
- \item
- \begin{enumerate}
- \item Fall: $a$ ist quadratischer Rest, das heißt, $a \equiv g^{2k} \mod p$ für ein $k\in \N$, woraus folgt
- \begin{align}
- a^{\frac{p-1}{a}}
+ U_{0} = \frac{\alpha^{0} - \beta^{0}}{\alpha - \beta} = 0, \quad U_{1} = \frac{\alpha^{1} - \beta^{1}}{\alpha - \beta} = 1 \\
+ V_{0} = \alpha^{0} + \beta^{0} = 2, \quad V_{1} = \alpha + \beta = P
\end{align}
- \item Fall: $a $ ist quadritscher $\mod p $, das heißt $a \equiv g^{2k+1} \mod p$ für ein $k \in \N$. Dann gilt
- \begin{align}
- a^{\frac{p-1}2} = (g^{2k+1})^{\frac{p-1}2}
- \end{align}
- \end{enumerate}
- \item Fallunterscheidung
- \begin{enumerate}
- \item $(a/p) = (b/p) = 1$
- \item o.b.d.A. $(a/p) = 1, (b/p) = -1$
- \item $(a/p) = (b/p) = -1$
- \end{enumerate}
- \end{enumerate}
- zu (a) $\exists k,\ell \in \N : a\equiv g^{2k} \mod p, b \equiv g^{2\ell} \mod p$
- Dann gilt:
+ \end{subequations}
+ Ferner folgt aus Satz $4.2$ mit $n=1$, dass
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ U_{m+1} = U_{m} \underbrace{V_{1}}_{=P} - Q^{1} U_{m-1} = PU_{m} - Q U_{m-1} \\
+ V_{m+1} = V_{m} \underbrace{V_{1}}_{=P} - Q^{1} V_{m-1} = PV_{m} - Q V_{m-1},
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ also dass, was zu zeigen war.
+ \end{proof}
+
+ \begin{proof}[Beweis zu Folgerung $4.4$, Seite $13$]
+ Folgt wieder aus Satz $4.2$ wegen
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ U_{2n} = U_{n+n} = U_{n}V_{n} - Q^{n}U_{0} = U_{n} V_{n} \\
+ U_{2n+1} = U_{(n+1)+n}=U_{n+1}V_{n} - Q^{n} U_{1} = U_{n+1}V_{n} - Q^{n} \\
+ V_{2n} = V_{n+n} = V_{n} V_{n} - Q^{n} V_{0} = V_{2}^{2} - 2Q^{n} \\
+ V_{2n+1} = V_{(n+1)+n} = V_{n+1}V_{n} - Q^{n} V_{1} = V_{n+1} V_{n} - PQ^{n}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ $\implies$ leichte Berechenbarkeit der Lucasfolge.
+ \end{proof}
+
+ \begin{bem}
+ Bsp zur Berechnung von $V_{100}$ mit Hilfe von $4.4$.
+ \end{bem}
+
+ \begin{proof}[Beweis von Lemma $4.6$, Seite $13$]
+ Zur Invertierung von $2 \mod r$ für eine ungerade Zahl $r$:
+ \begin{equation}
+ \frac{1}{2} \mod r \equiv \underbrace{\frac{1+r}{2}}_{\in \Z} \mod r
+ \end{equation}
+ Man berechne:
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ \left( 2 \alpha \right)^{r} = \left( R+\sqrt{D} \right)^{r} = \\
+ = P^{r} \underbrace{\sum \limits_{k=1}^{r-1} \binom{r}{k} P^{k} \left( \sqrt{D} \right)^{r-k}}_{=:*} + \left( \sqrt(D) \right)^{r} = \\
+ \equiv P^{r} + \left( \sqrt{D} \right)^{r} \equiv P^{r} + D^{\frac{r-1}{2}} \sqrt{D} \\
+ \stackrel{\textsl{(**)}} \equiv P + \left( \frac{D}{r} \right) \equiv \begin{cases}P + \sqrt{D} \equiv 2 \alpha \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = 1 \\ P - \sqrt{D} \equiv 2 \beta \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = -1 \end{cases}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ @(*): es gilt
+ \begin{equation}
+ \binom{r}{k} = \frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)}{1\cdot 2 \cdots k} \equiv 0 \mod r
+ \end{equation}
+ denn angenommen $r \mid 1 \cdot 2 \cdots k \Rightarrow r \mid i$ für ein $i \in \lbrace 1,2, \ldots, r-1 \rbrace$, denn wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, teilt sie einen Faktor, daher WS zu r ist Primzahl. \\
+ @(**): Es gilt nach dem ``kleinen Fermat'': $P^{r} \equiv P \mod r$. Weiters gilt nach dem Euler'schen Kriterium:
+ \begin{equation}
+ D^{\frac{r-1}{2}} \equiv \left( \frac{D}{r} \right) \mod r
+ \end{equation}
+ Nun gilt aber
+ \begin{equation}
+ 2 \alpha^{r} \stackrel{\textsl{kl. Fermat}} \equiv 2^{r} \alpha^{r} = \left( 2 \alpha \right)^{r} \equiv \begin{cases} 2 \alpha \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = 1 \\ 2\beta \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = -1 \end{cases}
+ \end{equation}
+ Durch Kürzen durch $2$ ($2^{-1} \mod r$ existiert, da ja $\gcd(2,r)=1$ da $r$ ungerade nach Voraussetzung) folgt die Behauptung für $\alpha$. Beweis für $\beta$ analog.
+ \end{proof}
+
+ \begin{bem}
+ Den zwei Fällen im vorigen Lemma liegt folgendes zugrunde:
+ \begin{itemize}
+ \item $\alpha, \beta \in \Z_{r} \implies$ ``kleiner Fermat'' $\implies$ fertig.
+ \item $\alpha \vee \beta \notin \Z_{r} \implies \alpha, \beta \in \Z_{r^{2}} \geq \Z_{r}$. $\Z_{r^{2}}$ hat genau einen nichtrivialen Automorphismus und es gilt
+ \begin{equation}
+ \mathcal{F} = \lbrace a + b \sqrt{D} \mid a,b \in \Z_{r} \rbrace
+ \end{equation}
+ Es folgt daher, dass die Funktionen $x \mapsto x^{r}$ und $a+b\sqrt{D} \mapsto a - b \sqrt{D}$ der gleiche Automorphismus sind.
+ \end{itemize}
+ \end{bem}
+
+ \begin{proof}[Beweis zu Satz $4.7$, Seite $14$]
+ Es gilt $\left( \frac{D}{r} \right) \in \lbrace \pm 1 \rbrace$ wegen $\gcd(r,QD)=1$.
+ \begin{itemize}
+ \item[(1)] Sei zunächst $\lbrace \frac{D}{r} \rbrace = 1$. Dann gilt nach Lemma $4.6$
+ \begin{equation}
+ \alpha^{r} \equiv \alpha \mod r, \beta^{r} \equiv \beta \mod r
+ \end{equation}
+ woraus durch Kürzen (beachte $\alpha \nequiv 0 \mod r, \beta \nequiv \mod r$, da sonst $Q = \alpha \beta \equiv 0 \mod r$ wäre, im Widerspruch zu $\gcd(r,QD)=1$) folgt $\alpha^{r-1} \equiv 1 \mod r, \beta^{r-1} \equiv 1 \mod r$. \\
+ Es gilt daher
+ \begin{equation}
+ \left( \alpha - \beta \right) U_{r-1} = \alpha^{r-1} - \beta^{r-1} \equiv 1 -1 \equiv 0 \mod r
+ \end{equation}
+ Nun ist aber $\alpha - \beta = \sqrt{D} \nequiv 0 \mod r$ (weil $\sqrt{D} \mod r \Rightarrow D = (\sqrt{D})^{2} \equiv 0 \mod r \Rightarrow \gcd(r,QD) \neq 1 \blitza$), woraus durch Kürzen tatsächlich $U_{r-1} \equiv 0 \mod r$ folgt. \\
+ Sei nun $\left( \frac{D}{r} \right) = -1$. Daher gilt nach Lemma $4.6$
+ \begin{subequations}
\begin{align}
- (\frac{ab}{p}) = (\frac{g^{2k}g^{2\ell}}{p}) = (\frac{g^{2(k+\ell)}}{p})= 1 = \underbrace{(\frac{a}{p})}_{=1}\underbrace{(\frac{b}{p})}_{=1}
+ \alpha^{r} \equiv \beta \mod r \\
+ \beta^{r} \equiv \alpha \mod r
\end{align}
- zu (b),(c) -> Analog
-
- \subsection*{Ergänzung 3.7}
- $(\frac{a}{b} := \underbrace{(\frac{a}{p_1})(\frac{a}{p_2}\cdots(\frac{a}{p_r})}_{\text{Legendresymbole}}$
-
+ \end{subequations}
+ Daher gilt
+ \begin{equation}
+ (\alpha - \beta)U_{r+1} = (\alpha^{r+1} - \beta^{r+1} )=alpha \alpha^{r} - \beta \beta^{r} \equiv \alpha \beta - \alpha \beta \equiv 0 \mod r,
+ \end{equation}
+ woraus wie vorhin durch Kürzen $U_{r+1} \equiv 0 \mod r$ folgt.
+ \item[(2)] Wegen $U_{2n} = U_{n}V_{n}$ nach $4.4$ gilt
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ U_{r-\left( \frac{D}{r} \right)} = U_{s \cdot 2^{t}} = U_{s2^{t-1}}V_{s2^{t-1}} = \cdots = \\
+ = U_{s}V_{s}V_{2s}V_{4s} \cdots V_{s2^{t-1}} \equiv 0 \mod r \textsl{ nach (1)}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+ $r$ ist Primzahl, daher teilt r einen Faktor, woraus die Behauptung direkt folgt.
+ \item[(3)] Es gilt
+ \begin{equation}
+ (\alpha - \beta)U_{r} \equiv \alpha^{r} - \beta^{r} \equiv \begin{cases}\alpha - \beta \mod r, \left( \frac{D}{r} \right)=1 \\ \beta - \alpha \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = -1 \end{cases}
+ \end{equation}
+ Woraus durch Kürzen folgt: $U_{r} \equiv \left( \frac{D}{r} \right) \mod r$.
+ \end{itemize}
+ \end{proof}
\end{document}
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