vo 4

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--- a/Vorlesung.tex
+++ b/Vorlesung.tex
@@ -39,7 +39,6 @@ Vermittlung von Werkzeugen zur Analyse konkreter Algorithmen.
 \subsection*{Inhalt der Lehrveranstaltung}
 
 Methoden und konkrete Beispiele für die Analyse von Algorithmen und Datenstrukturen.
-
 \newpage
 
 \section{day 2}
@@ -219,5 +218,45 @@ Rekursion
 $N(N-1)(N-2)C_N ) $
 Mit Erzeugenden Funktionen, einer Potenzreihe $C(X) = \sum_{N\geq0} C_NX^N$. Ist DGL und man braucht strategien zum Lösen!
 
+\section{day4}
+
+$C_N = N-1 +2 \sum_{k=1} \frac{(k-1)(N-k)}{\binom{N}{3}} C_{k-1}$
+
+$C_N = 12/7 N log N + O(N)$
+
+$\binom{N}{3} = \frac{N(N-1)(n-2)}{6}$
+
+$N(N-1)(N-2) C_N = ...$
+
+ist nicht sehr schön, also erzeugende Funktion
+
+$C(X) = \sum_{N\geq0} C_N X^N$
+
+Konvergenzradius kleiner eins, also $|X| < 1$. Für $N!$ hat keinen endlichen Konvergenzradius.
+
+Durch dreimal differenzieren->
+
+$C'''(X) = \sum N(N-1)(N-2)C_N X^{N-3}$
+
+wir können deshalb einfach mit $X^{N-3}$ multiplizieren.
+
+$C'''(X) = 12 \frac{1+x}{(1-x)^5} +  12* \frac{C'(x)}{(1-x)^2}$
+
+Ableitung multiplizieren mit $C'*1/(1-x)^2$
+
+Produkt bilden und sortieren, und noch eine Indexverschiebung vornehmen.
+
+Damit DG dritter -> zweiter Ordnung.
+
+$D(X) = C'(X) = ...$
+
+Damit neue DG
+
+$D''(X) = 12 \frac{1+x}{(1-x)^5} +  12* \frac{D(x)}{(1-x)^2}$
+
+-> Lösen der DG und substitution $D(X) = f(u) = f(ln(1/(1-x)))$
+
+explizite Lösung $D(X)$, wo das Polynom egal ist.
+
 
 \end{document}