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 \noindent
 } 
 
+\renewcommand{\thechapter}{\Roman{chapter}}
+
 
 %% Imported from python.def
 

diff --git a/Vorlesung.pdf b/Vorlesung.pdf
index 59f816b305d964fe12896bfe220e9cab19e2d4d2..7314b5e4592a9d4fd49b1a396b976b120aa0b707 100644 (file)
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diff --git a/Vorlesung.tex b/Vorlesung.tex
index 05ab12fbf02fa1e682b1349676ce9690dbb4b2e3..b2c3529fe874e491d837adbd34bef29f89067909 100644 (file)
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@@ -1,11 +1,13 @@
 \documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{scrreprt} 
 \usepackage{UE/template}
+
 \author{}
 \title{Mitschrift zur Vorlesung \\ AKDIS: Zahlentheorie und Anwendungen,\\ gehalten von Prof. J. Wiesenbauer, Sommersemester 2012}
+
 \pagestyle{plain}
-\frenchspacing 
- \makeindex
-\begin{document} 
+\makeindex
+
+\begin{document}
 
 \begin{titlepage}
        \maketitle
@@ -13,20 +15,26 @@
 
 \setcounter{secnumdepth}{-1}
 
-
 \section{Kurzzusammenfassung}
-Das ist die "ge {\TeX} te" Mitschrift zur Vorlesung $118 \dot 186$ \emph{AKDIS Zahlentheorie und Anwendungen} vom Sommersemester 2012, gehalten von Prof. J. Wiesenbauer.  
+Das ist die "ge {\TeX} te" Mitschrift zur Vorlesung $118 \dot 186$ \emph{AKDIS Zahlentheorie und Anwendungen} vom Sommersemester 2012, gehalten von Prof. J. Wiesenbauer.\bigskip
+
+\noindent 
+Für weitere Informationen siehe HomePage \emph{www.algebra.ac.at}
+
+\subsection{Übung}
+Für die Übung sind $60\%$ der Beispiele, sowie eine Tafelleistung Pflicht.
+Lösungen zu einigen Beispielen befinden sich im Anhang (Seite \pageref{UE})
+
+\subsection{Prüfung}
+In der Prüfung werden zwei Beweise sowie zwei Übersichtsfragen gestellt. Es gibt eine schriftliche und mündliche Prüfung.
 \newpage
 
 \tableofcontents
 \newpage
 \setcounter{secnumdepth}{2}
-\section{Einleitung}
 
-\chapter{Teil 1}
-\begin{bem}
-Prf: $4$ Bsp: 2 Beweise, 2 Überblicksfragen + schreiben
-\end{bem}
+\chapter{Zahlentheorethische Grundlagen}
+\section{Teilbarkeit im Ring der ganzen Zahlen}
 
 \begin{bem}
 Die natürlichen Zahlen sind in dieser Vorlesungen inklusive $0$ zu verstehen, d.h. $\N = \lbrace 0,1,2,\ldots \rbrace$.  
@@ -368,8 +376,8 @@ Weiters gilt nach R. Koch:
 \end{equation}
 Es existiert eine Abschätzung für die maximale Anzahl von Nullstellen, man zeigt, dass die Anzahl der Nullstellen auf der Mittelgeraden mit der maximalen Abschätzung übereinstimmt $\implies$ es gibt keine weiteren.  
 
-\begin{bem}Mögliche Prüfungsfrage: Wozu braucht man Riemann'sche Vermutung? Für Primzahltests und Primzahlverteilung.  
-\end{bem}
+\begin{bem}Mögliche Prüfungsfrage: Wozu braucht man Riemann'sche Vermutung? Für Primzahltests und Primzahlverteilung.\end{bem}
+\section{Kongruenzen auf $\Z$}
 \subsection*{Beweis 2.2}
 $a \equiv b \mod m \land c \equiv d \mod m \Rightarrow m \mid a-b \wedge m\mid c-d$
 \begin{align}
@@ -513,6 +521,8 @@ Setzen $e:= \ord_m(a)$
   \item
 \end{enumerate}
 
+\section{Quadratische Reste}adb
+
 % $\Rightarrow \ord_(a^k) = \frac e {\ggT(k,e)}$
 % 
 % \section*{Vorlesung 25.4.12}
@@ -642,6 +652,7 @@ Definition $3.7$ ist eine beliebte Prüfungsfrage.
 Gilt $\left( \frac{x}{y} \right)_{J} = -1$, so ist $x$ sicher \emph{kein} quadratischer Rest $\mod y$. Aus $\left( \frac{x}{y} \right)_{J}=1$ lässt sich allerdings keine Aussage mehr darüber treffen. 
 \end{bem}
 %Vorlesung 2.5.2012
+\section{Lucasfolgen und ihre Eigenschaften}
 Zu Lucas-Folgen kann man als Verallgemeinerung von Fibonacci-Folgen interpretieren, sind beispielsweise wichtig für Primzahltests.  \\
 \begin{proof}[Beweis zu Satz $4.2$, Seite $13$]
   Wegen $(x-\alpha)(x-\beta)=x^{2} - Px + Q = 0$ erhält man durch einen Koeffizientenvergleich 
@@ -822,6 +833,8 @@ Der Baillie-Wagstaff-Test ist ein starker Lucas-Test mit den oben genannten Para
 \end{itemize}
 \end{bem}
 
+\chapter{Primzahltests und Faktorisierungsalgorithmen (mit Anwendungen in der Kryptographie)}
+\section{Public Key Kryptosystem: Grundprinzip und Beispiele}
 \begin{bem}[Signaturen, Seite $15$]
 Angenommen Alice und Bob kommunizieren, wählen eine Hashfunktion $h$. Bob schickt nun an Alice eine Nachricht m und eine Signatur s:
 \begin{equation}
@@ -963,6 +976,8 @@ Bei $G=E(\Z_{p}),p \in \P$ reicht schon $p \approx 2^{160}$, d.h. ein weitaus kl
 Problem: Faktorielle wachsen stark. 
 \end{bem}
 
+\section{Primzahltests}
+
 \begin{proof}[Beweis zu Satz $2.2$]
 Sei
 \begin{equation}
@@ -1188,6 +1203,8 @@ s_{4}=64-2=62 \equiv 0 \mod 31 \Rightarrow s_{p-1}=s_{4} \equiv 0 \mod 31
 Daher gilt $M_{5} \in \P$ nach dem Lucas-Lehmer-Test. 
 \end{bem}
 
+\section{Faktorisierungsalgorithmen}
+
 \begin{proof}[Beweis zu Satz $3.1$, Seite $27$]
   Zunächst gilt $p \nmid a \land p \nmid b$ (denn teilt $p$ eine der Zahlen $a$ oder $b$, dann wegen $p \mid a^{n}+b^{n}$ auch die andere, also $\gcd(a,b)=1$ WS, denn $1$ hat keine Primteiler).\\
 Es $\exists b^{\prime} \in \Z: b \cdot b^{\prime} \equiv 1 \mod p$. Setzt man nun $c:=ab^{\prime}$, sog gilt:
@@ -1482,4 +1499,13 @@ Man kennt $p$ nicht, wie findet man $r$? Wähle eine ``möglichst zusammengesetz
   r=\lcm(1,2,\ldots,B)
 \end{equation}
 \end{bem}
+
+%\chapter{Weitere Anwendungen der Zahlentheorie}
+%\section{Darstellung von Zahlen in anderen Basen}
+%\section{Zahlentheorethische Methoden bei der Erzeugung von Zufallszahlen}
+\refstepcounter{chapter} % Chapter auslassen da es nicht behandelt wurde
+
+\chapter{Übung}\label{UE}
+Übungen sollen hier angehängt werden.
+
 \end{document}