\aufgabe{25}
{$p=2^{43112609}-1$ ist die zur Zeit größte bekannte Primzahl. Wie kann man ihre Stellenanzahl am einfachsten berechnen und was sind ihre $3$ Endziffern?}
-Die Anzahl der Stellen einer Zahl können mit $\log_{10}$ berechnet werden. Daher ist $\lfloor \log_{10} 2^{43112609} \rfloor +1 = \lfloor 43112609\cdot\log_{10} 2 \rfloor +1 = 12978189$\\
-Für die letzten 3 Stellen berechnet man nun:
+Die Anzahl der Stellen einer Zahl können mit $\log_{10}$ berechnet werden. Daher ist $\lfloor \log_{10} 2^{43112609}-1 \rfloor +1 = \lfloor 43112609\cdot\log_{10} 2 \rfloor +1 = 12978189$. Der $-1$er kann ignoriert werden da $5$ kein Teiler von $2^a$ ist und damit kein Stellenanzahl Wechsel durch subtrahieren von $1$ entstehen kann.\\
+Die letzten drei Ziffern entsprechen $2^{43112609} -1 \mod 1000$.
\begin{align}
- 2^{43112609} \in (\Z_{1000}, * \mod 1000, 1) \text{, d.h. }x=2, k=43112609
+1000 &= 2^3\cdot5^3\\
+2^{43112609} &\equiv 0 \mod 8\\
+43112609 &= \alpha \varphi{125} + \beta, \text{ da } \ggT{2,125}=1 \text{ gilt } 2^{a\varphi{125}} \equiv 1 \mod 125\\
+&= 431126\cdot 100 + 09\\
+2^{09} &= 512 \equiv 12 \mod 8
\end{align}
-\begin{center}
-$\begin{python}
-import lib
-lib.sqmult_tex(2,43112609,lambda x,y:(x*y)%1000,1)
-\end{python}$
-\end{center}
-\begin{align}
- p=2^{43112609} \mod 1000 &\equiv 512 \Rightarrow 2^{43112609}-1 \mod 1000 \equiv 511
-\end{align}
-\newpage\noindent
-Oder aber man Überlegt sich vorher eine Sinnvolle Zerlegung des Exponenten und Verkürzt so den SM Algorithmus:\\
-Die letzten drei Ziffern entsprechen $2^{43112609} -1 \mod 1000$. Mithilfe von $\varphi(1000) = 400$ lässt sich nun der Exponent zerlegen.
+Nun sind nur noch die beiden Gleichungen mit dem Chinesischen-Restsatz zu lösen:
\begin{align}
-43112609 &= \alpha 400 + \beta\\
-&= 107781\cdot 400 + 209\\
+ x &\equiv 0 \mod 8\\
+ x &\equiv 12 \mod 8\\
+ &\Rightarrow x = 512
\end{align}
-Da aber $a^{\varphi(n)}\equiv1\mod n$ ist, gilt:
-\begin{align}
- 2^{43112609} -1 \mod 1000&=2^{107781\cdot 400 + 209} -1 \mod 1000\\
- &=2^{209} -1 \mod 1000
-\end{align}
-$2^{209}-1 \mod 1000$ lässt sich nun einfach mit dem Square and Multiply Algorithmus berechnen:
-\begin{center}
-$\begin{python}
-import lib
-lib.sqmult_tex(2,209,lambda x,y:(x*y)%1000,1)
-\end{python}$
-\end{center}
Daraus Folgt nun
\begin{align}
- p=2^{209} \mod 1000 &\equiv 512 \Rightarrow 2^{43112609}-1 \mod 1000 \equiv 511
+ 2^{43112609} \mod 1000 &\equiv 512 \Rightarrow 2^{43112609}-1 \mod 1000 \equiv 511
\end{align}
\aufgabe{28}
{Man zeige für die Zahl $N=971$ mit Hilfe des Satzes von Brillhart-Lehmer-Selfridge, dass sie prim ist, indem man für $N-1$ nur die Kenntnis der einstelligen Primfaktoren voraussetzt.}
Es gilt $N-1=970=2\cdot 5 \cdot 97$, d.h. $r=2$, und man setzt $p_{1}:=2, p_{2}:=5 \implies F=2\cdot 5=10$. \\
-Überprüfe Voraussetzungen aus Satz $2.22$: $N-1=R \cdot F \implies R=97$. Weiters gilt $\gcd(F,R)=1$.
+Überprüfe Voraussetzungen aus Satz $2.22$: $N-1=R \cdot F \implies R=97$. Weiters gilt $\ggT(F,R)=1$.
\begin{subequations}
\begin{align}
- a_{1}:=2: \quad 2^{970} \equiv 1 \mod 971, \gcd(2^{((N-1)/2)}-1,N)=\gcd(970,971)=1\\
-a_{2}:=2: \quad 2^{970} \equiv 1 \mod 791, \gcd(2^{((N-1)/5)}-1,N)=\gcd(1,971)=1
+ a_{1}:=2: \quad 2^{970} \equiv 1 \mod 971, \gcd(2^{((N-1)/2)}-1,N)=\gcd(969,971)=1\\
+a_{2}:=3: \quad 2^{970} \equiv 1 \mod 791, \gcd(3^{((N-1)/5)}-1,N)=\gcd(340,971)=1
\end{align}
\end{subequations}
Daher sind alle Bedingungen des Satzes $2.22$ erfüllt. \\
Es gilt
\begin{equation}
-\sqrt[3]{N}=9.90238353655558 < F < 31.16087290176577=\sqrt{N}
+\sqrt[3]{N}\approx9.90238353655558 \leq F < 31.16087290176577\approx\sqrt{N}
\end{equation}
Weiters erhält man sofort:
\begin{equation}
\begin{equation}
c_{1}^{2}-4c_{2}=7^{2}-4\cdot 9=49-4*9=49-36=13
\end{equation}
-ist kein Quadrat, daher ist $N$ nach dem Satz von Brillhart-Lehmer-Selfridge prim.
+ist kein Quadrat, daher ist $N$ nach dem Satz von Brillhart-Lehmer-Selfridge prim.
+
\aufgabe{29}
{Man finde eine explitzite Formel für die Folge $s_{n}$ im Lucas-Lehmer-Test, indem man zeigt, dass sich diese Folge als Teilfolge einer Lucasfolge $V_{n}$ mit gewissen Parametern P und Q interpretieren lässt. (Hinweis: Man gehe dazu aus von der Formel $V_{2k}=V_{k}^{2}-2Q^{k}$ für alle $k \in \N$).}
-$V_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}$, $V_{0}=2, V_{1}=P$\\
-$Q=1$ zwingend aus Rekursionsformel aus der Theorie der Lucas-Folgen. P=4? Dann gilt
-\begin{equation}
-D=P^{2}-4Q=4^{2}-4\cdot 1=16-4=12 \neq 0
-\end{equation}
-Wissen
-\begin{subequations}
\begin{align}
- V_{1}=s_{1} \\
- k \in \N: k>1: s_{k}=V_{2k}
+ s_1 &= 4\\
+ s_{n+1} &= s_n^2-2 : n\geq1\\
+ V_{2n} &= V_n^2 -2 Q^n,V_1 = P
+ &\Rightarrow Q = 1, P = 4
\end{align}
-\end{subequations}
+Weiterhin ist auch $\ggT(1,4) = 1$.
+Die Annahme ist nun, dass:
+\begin{align}
+ V_{1}&=s_{1} \\
+ s_{n}&=V_{2^{n-1}} : n \in \N: n>1
+\end{align}
+Da für $n=1$ die Annahme passt zeigen wir nun noch den Induktionsschritt:
+\begin{align}
+ n \to n+1\\
+ s_{n+1} &= s_n^2 -2 = V_{2^{n-1}}^2 -2 = V_{2\cdot2^{n-1}} = V_{2^n} = V_{2^{(n-1)+1}}
+\end{align}
+Damit lässt sich nun die Formel aufstellen:
+\begin{align}
+ D &= P^2-4Q = 4^2 -4\cdot1 = 12 \neq 0\\
+ \alpha &= \frac{P+\sqrt D} 2= 2+\sqrt 3\\
+ \beta &=\frac{P-\sqrt D} 2 = 2-\sqrt 3\\
+ s_n&=V_{2^{n-1}}=\alpha^{2^{n-1}}+\beta^{2^{n-1}}=(2+\sqrt 3)^{2^{n-1}}+(2-\sqrt 3)^{2^{n-1}}
+\end{align}
+
\aufgabe{30}
{Man wende den Lucas-Lehmer Test auf die Mersenn'sche Zahl $M_{7}=2^{7}-1=127$ an, wobei insbesondere die Reduktion $\mod M_{7}$ in der Weise durchzuführen sind, dass man die Quotienten und Reste bei der Division durch $2^{7}$ in geeigneter Weise verwendet.}
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