[doc] Verfeinern Alg geschrieben

[doc] Satz zu 4 Schätzer festgehalten

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Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ

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--- a/doc/doc.tex
+++ b/doc/doc.tex
@@ -53,15 +53,16 @@
 \def\N{\mathbb{N}}
 \def\R{\mathbb{R}}
 
-\newtheorem{lem}{Lemma}
 \newtheorem{defi}{Definition}
-\newtheorem{sat}{Satz}
-\newtheorem{bew}{Beweis}
+\newtheorem{lem}[defi]{Lemma}
+\newtheorem{sat}[defi]{Satz}
+\newtheorem{bew}[defi]{Beweis}
+\newtheorem{alg}[defi]{Algorithmus}
 
-\numberwithin{lem}{section}
+% \numberwithin{lem}{section}
 \numberwithin{defi}{section}
-\numberwithin{bew}{section}
-\numberwithin{sat}{section}
+% \numberwithin{bew}{section}
+% \numberwithin{sat}{section}
 
 \author{P. Schaefer}
 
@@ -186,21 +187,32 @@ Algoritmus zum Verfeinern
 \begin{defi}
  Sei $\T_{h/2}$ das aus der Verfeinerung von $\T_h$ resultierende Netz
 \end{defi}
+\begin{alg}[Verfeinern] \label{alg:refine} Sei $\T_h = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine gegebenes Netz und $marked$ eine gegebene Markierung wobei $marked_j \hat =$ Markierung von $T_j$. Nun sei $j = 0$ und gehe so vor:
+ \begin{enumerate}
+  \renewcommand{\theenumi}{(\roman{enumi})}
+  \item falls Kante von $T_j$ hanging-note ist, markiere zusätzlich den Nachbarn und gehe zu Schritt \ref{alg:refine:last} \label{alg:refine:checkHN}
+  \item teile $T_j$ wie in $marked_j$ vorgegeben
+  \item aktualisiere Nachbarinformationen 
+  \item halte fest in welche Elemente $T_j$ zerlegt wurde
+  \item $j \mapsto j+1$, gehe zu Schritt \ref{alg:refine:checkHN} \label{alg:refine:last}
+ \end{enumerate}
+\end{alg}
+
 
 
 \subsection{Fehlerschätzer}
 Um eine Aussage über die Genauigkeit der Galerkinapproximation zu erhalten ist es sinnvoll, dass wir einen A-Posteriori Fehlerschätzer definieren.
-\begin{defi}[A-Posteriori Fehlerschätzer $\mu_h$]
+\begin{defi}[A-Posteriori Fehlerschätzer $\mu$]
 sollte 
  \begin{enumerate}
   \item Berechenbar sein, also keine unbekannten enthalten
   \item Zuverlässig sein,
 \begin{align}
- \norm{\phi-\phi_h} &\leq C_{ref} \cdot \mu_h
+ \norm{\phi-\phi_h} &\leq C_{ref} \cdot \mu
 \end{align}
   \item Effizient sein,
 \begin{align}
- \mu_h &\leq C_{eff} \cdot \norm{\phi - \phi_h}
+ \mu &\leq C_{eff} \cdot \norm{\phi - \phi_h}
 \end{align}
  \end{enumerate}
 \end{defi}
@@ -219,22 +231,34 @@ Der Fehlerschätzer ist aber nur unter der Saturationsannahme zuverlässig und i
 Da aber die $\norm{\cdot}_{H^{1/2}}$ schlecht zu berechnen ist, wenden wir die $L_2$-Projektion an.
 \begin{defi}[ersetzen von $\norm{\cdot}_{H^{1/2}}$]
  \begin{align}
-  \tilde \eta_h &:= \norm{ \rho^{1/2} (\phi_{h/2} - {\phi_h})}_{L_2}
+  \mu_h &:= \norm{ \varrho^{1/2} (\phi_{h/2} - {\phi_h})}_{L_2(\Gamma)}
  \end{align}
-$\tilde\eta_h$ ist da $\tilde\eta_h \approx \eta_h$ gilt noch immer zuverlässig und effizient.
+$\mu_h$ ist da $\mu_h \approx \eta_h$ gilt noch immer zuverlässig und effizient.
 \end{defi}
 Um sich unnötige Berechnungen zu sparen ist es sinnvoll $\phi_h$ zu ersetzen.
 \begin{defi}[ersetzen von $\phi_h$]
  \begin{align}
-  \tilde \mu_h &:= \norm{\rho^{1/2}(\phi_{h/2} - \Pi_h\phi_{h/2})}_{L_2}
+  \tilde \mu_h &:= \norm{\varrho^{1/2}(\phi_{h/2} - \Pi_h\phi_{h/2})}_{L_2(\Gamma)}
  \end{align}
 wobei $\Pi_h$ die $L_2$ Projektion auf $P^0(\T_h)$ ist.
 \end{defi}
-\begin{sat}[A-posteriori Fehlerschätzer]
- Alle vier Schätzer
+\begin{sat}[A-posteriori Fehlerschätzer] Seien also:
+\begin{align}
+ \eta_h &= \enorm{\phi_{h/2} - \phi_h}\\
+ \tilde\eta_h &= \enorm{\phi_{h/2} - \Pi_h\phi_{h/2}}\\
+ \mu_h &= \norm{\varrho^{1/2}(\phi_{h/2} - \phi_h)}_{L^2(\Gamma)}\\
+ \tilde\mu_h &= \norm{\varrho^{1/2}(\phi_{h/2} - \Pi_h\phi_{h/2})}_{L^2(\Gamma)}
+\end{align}
+Dann gilt:
+\begin{itemize}
+ \item Schätzer sind equivalent\\ $\eta_h \sim \tilde \eta_h \sim \mu_h \sim \tilde \mu_h$
+ \item sie sind effizient
+ \item sie sind unter Saturationsannahme auch zuverlässig
+\end{itemize}
+
 \end{sat}
 \begin{bew}
- Siehe S.F. Paper
+ Siehe S.F. Paper $\mapsto$ THM 3.2 \& 3.4
 \end{bew}
 
 
@@ -487,6 +511,7 @@ Tin ausführliches Beispiel ist in Figure \ref{exmpl3} dargestellt.
 
 
 \subsection{Verfeinern}
+Diese Funktion sei die Implementierung von Algorithmus \ref{alg:refine}.
 Da wir im weiteren Verlauf sowohl adaptive also auch anisotrope Netzverfeinerung zulassen wollen, ist es sinnvoll eine Verfeinerungsfunktion zu implementieren, die alle Möglichen Teilungsprozesse auf einem Element unterstützt. Dabei sind vier nur wirklich relevant:
 \begin{enumerate}
  \item keine Teilung

diff --git a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.eps b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.eps
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--- a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.eps
+++ b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.eps
@@ -1,7 +1,7 @@
 %!PS-Adobe-2.0 EPSF-1.2
 %%Creator: MATLAB, The MathWorks, Inc. Version 7.13.0.564 (R2011b). Operating System: Linux 3.0.0-16-generic #29-Ubuntu SMP Tue Feb 14 12:48:51 UTC 2012 x86_64.
 %%Title: ./exmplAA_2DQuad_error.eps
-%%CreationDate: 03/18/2012  16:07:35
+%%CreationDate: 03/26/2012  08:17:51
 %%DocumentNeededFonts: Helvetica
 %%DocumentProcessColors: Cyan Magenta Yellow Black
 %%Extensions: CMYK
@@ -546,88 +546,88 @@ gr
 
 /c9 { 0.000000 0.500000 0.000000 sr} bdef
 c9
-58 6 53 -6 54 6 81 10 52 11 76 57 85 64 80 51 
-77 36 75 52 70 44 57 29 44 33 67 52 44 40 51 43 
-48 46 49 50 49 48 36 49 50 47 38 52 41 46 56 55 
-41 54 72 46 57 60 83 70 98 58 152 59 203 59 448 92 
-1071 1284 33 MP stroke
-gs 1020 1233 2648 1522 MR c np
-  25   25 1071 1284 FO
-  25   25 1519 1376 FO
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+58 6 53 -6 54 5 81 11 52 11 76 56 85 64 80 52 
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+  25   25 3318 2271 FO
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+  25   25 3616 2298 FO
 gr
 
 /c10 { 1.000000 0.000000 0.000000 sr} bdef
 c10
-58 -1 53 -16 54 26 81 6 52 8 76 52 85 58 80 48 
-77 43 75 52 70 49 57 49 44 58 67 69 44 62 51 62 
-48 59 49 59 49 68 36 61 50 59 38 57 41 55 56 57 
-41 54 72 54 57 59 83 76 98 57 152 68 203 65 448 97 
-1071 1251 33 MP stroke
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+58 0 53 0 54 0 81 1 52 0 76 1 85 2 80 3 
+77 3 75 4 70 6 57 8 44 12 67 19 44 22 51 29 
+48 32 49 38 49 49 36 50 50 50 38 51 41 51 56 53 
+41 52 72 53 57 57 83 75 98 57 152 68 203 64 448 97 
+1071 846 33 MP stroke
+gs 1020 795 2648 1110 MR c np
+  25   25 1071  846 FO
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+  25   25 2055 1207 FO
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+  25   25 3616 1853 FO
 gr
 
 /c11 { 0.000000 0.750000 0.750000 sr} bdef

diff --git a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.pdf b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.pdf
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Binary files a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.pdf and b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_error.pdf differ

diff --git a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_norm.eps b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_norm.eps
index 9245ec9e2cd872701c9b513ce05553102318aa42..c18b17283e2a755b31e844f9821d2957920f6768 100644 (file)
--- a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_norm.eps
+++ b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_norm.eps
@@ -1,7 +1,7 @@
 %!PS-Adobe-2.0 EPSF-1.2
 %%Creator: MATLAB, The MathWorks, Inc. Version 7.13.0.564 (R2011b). Operating System: Linux 3.0.0-16-generic #29-Ubuntu SMP Tue Feb 14 12:48:51 UTC 2012 x86_64.
 %%Title: ./exmplAA_2DQuad_norm.eps
-%%CreationDate: 03/18/2012  16:07:35
+%%CreationDate: 03/26/2012  08:17:52
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 %%Extensions: CMYK
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 77 0 75 0 70 0 57 0 44 0 67 0 44 0 51 0 
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-1071 551 33 MP stroke
+1071 547 33 MP stroke
 gr
 
 c9

diff --git a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_norm.pdf b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_norm.pdf
index 9bedb64bb82ee850e551bfee4dd5655a6d7e0be3..343755024e1dbf7ee0aaff8301294208f42e74a2 100644 (file)
Binary files a/doc/fig/exmplAA_2DQuad_norm.pdf and b/doc/fig/exmplAA_2DQuad_norm.pdf differ