A_{jk} &=\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}.
\end{align}
unter bestimmten Voraussetzungen an die affinen Randstücke $T_j,T_k$ und den asymptotisch glatten Integranden $\kappa : \R^3 \times \R^3 \to \R$.
+
\subsection{Interpolation}
-Zunächst wollen wir die Chebyshev-Interpolation auf dem Intervall [0,1] definieren. Hierzu sei $\P_p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$.
+An dieser stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren.
+
\begin{defi}
-Seien $x_0,\ldots,x_p \in [0,1]$ paarweise verschiedene Knoten und $y_0,\ldots,y_p$ die zugehörigen Funktionswerte. Die Lagrange'sche Interpolationsaufgabe lautet dann folgendermaßen: Finde ein Polynom $q$ vom Grad $p-1$, sodass
+Für einen festen Grad $p \in \N$ und paarweise verschiedene Knoten $x_j \in [-1,1]$ lautet das Lagrange'sche Interpolations Problem:
+Zu gegebenen Funktionswerten $y_j \in \R$ finde ein Polynom $q \in \P^{p-1}$ so, dass
\begin{align*}
- q(x_i) &=y_i \quad \text{für alle} i=0,\ldots,p.
+ q(x_j) &=y_j \quad \text{ für alle } j=0,\ldots,p.
\end{align*}
\end{defi}
-Ferner definieren wir die zu den Knoten $x_0,\ldots,x_p$ zugehörigen Lagrange-Polynome durch
-\begin{align}
+Für die Lagrange-Polynome
+\begin{align*}
L_j(x) &= \prod_{i=1,i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-xi}.
-\end{align}
-\todo{cite} zeigt, dass die Lagrange'sche Interpolationsaufgabe eine eindeutige Lösung besitzt, die gegeben ist durch
-\begin{align}
+\end{align*}
+wissen wir aus \todo{cite}, dass das Lagrange'sche Interpolations Problem eine eindeutige Lösung hat, gegeben durch
+\begin{align*}
q&=\sum_{j=0}^py_jL_j.
-\end{align}
-Wir definieren den Interpolationsoperator $\I_pu$ durch
+\end{align*}
+Mit diesem Wissen definieren wir uns nun den Interpolationsoperator $\I_p u : \C[-1,1]\to\P^{p-1}$
\begin{align}
\I_pu &:= \sum_{j=0}^p u(x_j)L_j.
\end{align}
-Außerdem definieren wir die Lebesgue-Konstante durch
+Ferner definieren wir noch die Lebesgue Konstante
\begin{align}
-\Lambda_p &:= \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}.
+\Lambda_p &:= \max_{x\in[-1,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}.
\end{align}
+
+\todo{
+\subsection{Interpolation}
+Zunächst wollen wir die Chebyshev-Interpolation auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. Hierzu sei $\P_p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$.
+% \begin{defi}
+% Seien $x_0,\ldots,x_p \in [0,1]$ paarweise verschiedene Knoten und $y_0,\ldots,y_p$ die zugehörigen Funktionswerte. Die Lagrange'sche Interpolationsaufgabe lautet dann folgendermaßen: Finde ein Polynom $q$ vom Grad $p-1$, sodass
+% \begin{align*}
+% q(x_i) &=y_i \quad \text{ für alle } i=0,\ldots,p.
+% \end{align*}
+% \end{defi}
+% Ferner definieren wir die zu den Knoten $x_0,\ldots,x_p$ zugehörigen Lagrange-Polynome durch
+% \begin{align}
+% L_j(x) &= \prod_{i=1,i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-xi}.
+% \end{align}
+% \todo{cite} zeigt, dass die Lagrange'sche Interpolationsaufgabe eine eindeutige Lösung besitzt, die gegeben ist durch
+% \begin{align}
+% q&=\sum_{j=0}^py_jL_j.
+% \end{align}
+% Wir definieren den Interpolationsoperator $\I_pu$ durch
+% \begin{align}
+% \I_pu &:= \sum_{j=0}^p u(x_j)L_j.
+% \end{align}
+% Außerdem definieren wir die Lebesgue-Konstante durch
+% \begin{align}
+% \Lambda_p &:= \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}.
+% \end{align}
\todo{cite} stellt einen Bezug zwischen der Bestapproximation und der Polynominterpolation her und ist später von Bedeutung.
\begin{sat}\label{math:ipol}
Sei $\Lambda_p$ die Lebesgue-Konstante zu $p$ paarweise verschiedener Knoten $x_1,\ldots,x_p$, die alle im Intervall $[0,1]$ liegen. Dann gilt für jedes $u \in \C[0,1]$
\begin{align*}
\max_{x\in[0,1]} \left| \prod_{j=0}^n (x-x_j) \right|
\end{align*}
-minimiert. Die Läsung dieses Minimierungsproblrems sind die NUllstellen der Chebyshev-Polynome. Diese sind gegeben durch
+minimiert. Die Lösung dieses Minimierungsproblems sind die Nullstellen der Chebyshev-Polynome. Diese sind gegeben durch
\begin{align}
x_j &= \frac12 \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac12 \right) + \frac12 \quad \text{für} j=1,\ldots,p.
\end{align}
Sieh dazu auch \todo{cite}.\\ Im folgenden bezeichne $\I_p$ immer den Chebyshev-Interpolationsoperator.
+\todo{multi Interpolation!}
+}
\subsection{Gauss-Quadratur}
Im Folgenden wollen wir die klassische Gauss-Quadratur definieren.\\
Unter einer Quadratur verstehen wir die approximative Berechnung eines Integrals der Form:
% &\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha}-\abs{\beta}+s)}(\alpha + \beta)!
% \end{align}
\begin{align}\label{math:sem:glatt}
- \abs{\partial_{x_a}^{\alpha_a}\partial_{x_b}^{\alpha_b}\partial_{y_a}^{\beta_a}\partial_{y_b}^{\beta_b}\kappa(\bs x, \bs y)}
- &\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha_a}+\abs{\alpha_b}+\abs{\beta_a}+\abs{\beta_b}+s)}(\alpha_a + \alpha_b + \beta_a + \beta_b)!
+ \abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\partial_{\bs y}^{\beta}\kappa(\bs x, \bs y)}
+ &\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha} + \abs{\beta})!
\end{align}
- für alle Multiindizes $\alpha_a, \alpha_b, \beta_a, \beta_b \in \N_0^d$ mit $\abs{\alpha_a}+\abs{\alpha_b}+\abs{\beta_a}+\abs{\beta_b}\geq 1$ gilt.
+ für alle Multiindizes $\alpha,\beta \in \N_0^d$ mit $\abs{\alpha}+\abs{\beta}\geq 1$ gilt.
\end{defi}
Wie wir im Folgenden sehen werden, lassen sich asymptotisch glatte Kernfunktionen besonders gut durch Polynome interpolieren. Hierzu benötigen wir das Lemma \todo{cite}:
\begin{lem}
Sei $J \subseteq \R$ ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall und angenommen die Funktion $u$ erfüllt für Konstanten $C_u,\rho_u > 0$
-\begin{align}\label{math:sem:ipol}
+\begin{align*}
\norm{u^{(n)}}_{\infty,J} &\leq C_u \rho_u^nn!\text{~~~für alle} n \in \N_0.
-\end{align}
+\end{align*}
Dann gilt für alle $k\in \N_0$
-\begin{align}
-\min_{v \in \P_p} \norm{u-v}_{\infty,J} &\leq C_u 4e(1+\rho_u\abs{J})(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\abs{J}}\right)^{-(p+1)}.
+\begin{align}\label{math:sem:ipol}
+\min_{v \in \P_k} \norm{u-v}_{\infty,J} &\leq C_u 4e(1+\rho_u\abs{J})(k+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\abs{J}}\right)^{-(k+1)}.
\end{align}
\end{lem}
\hfill$\square$
\end{align}
Sei $\bs y \in T_k$ fest gewählt. Ist $\gamma_{j | x_{\bs b}}$ die Parametrisierung von $T_{j| x_{\bs b}}$, so gilt aufgrund $\abs{\gamma_{j|x_{\bs b}}'}=\abs{a_j\bs a_j}=\diam_{|\bs a}(T_j)$ und der Kettenregel
\begin{align*}
-\abs{\partial_{x_{\bs a}}^n\kappa}
+\abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\kappa}
&= \abs{\partial_{x_{\bs a}}^n(\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y))}
= (\diam_{|\bs a}(T_j))^n\abs{(\partial_{x_{\bs a}}^n\kappa)(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)}.
\end{align*}
&= \int_{T_j} \int_{T_k}
\left ( ((x_1 + v_1)-\tilde v_1)^2+((x_2 + v_2)-(y_2 +\tilde v_2))^2+( v_3- (y_3 +\tilde v_3))^2 \right)^{-1/2}
ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
- &= \int_0^{s_1}\int_0^{s_2}\int_0^{\tilde s_2}\int_0^{\tilde s_3}
+ &= \int_0^{a}\int_0^{b}\int_0^{\tilde b}\int_0^{\tilde a}
\left ( (x_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+(y_3-\delta_3)^2 \right)^{-1/2}
dy_3 dy_2 dx_2 dx_1
\end{align*}
\todo{
\subsection{Bestimmtes Integral}
\begin{align*}
-& \int_T \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\
+ \int_T& \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\
&\approx \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}\int_0^{\tilde k_2}
\dif{}{y_2} \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,y_2)
dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\
%
-&= \big( \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}
+=& \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1} \big(
\dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
- F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,\tilde k_2)
--
+ F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,\tilde k_2) \\
+&-
\dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,0) \big)
dy_1 dx_2 dx_1\\
%
-&= \big( \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}
+=& \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\big(
\dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
F_{p/o}(x_1,x_2,\tilde k_1,\tilde k_2)
-
F_{p/o}(x_1,x_2,0,0)\big)
dx_2 dx_1\\
%
-&= \big( \int_0^{k_1}
+=& \int_0^{k_1}\big(
\dif{}{x_1}
F_{p/o}(x_1,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2)
-
F_{p/o}(x_1,0,0,0)\big)
dx_1\\
%
-&= \big(
+=&
F_{p/o}(k_1,k_2,\tilde k_1,\tilde k_2)
-
F_{p/o}(k_1,k_2,\tilde k_1,0)
+
F_{p/o}(0,0,0,\tilde k_2)
-
- F_{p/o}(0,0,0,0)\big)
+ F_{p/o}(0,0,0,0)
\end{align*}
}
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