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diff --git a/UE/template.sty b/UE/template.sty
index 8014da5935bf79d7e6630634687e19fa2e0260c5..eef8389b98a3e27af46f95fb336c626ffd7a955b 100644 (file)
--- a/UE/template.sty
+++ b/UE/template.sty
@@ -42,6 +42,7 @@
 \def \R {\mathbb{R}} 
 \def \C {\mathbb{C}} 
 \def \P {\mathbb{P}}
+\def \E {\mathbb{E}}
 
 \def\oder{\vee}
 \def\und{\wedge}

diff --git a/Vorlesung.pdf b/Vorlesung.pdf
index ccd29b0cb835d1ddf67053f0db2f77fb382d87d2..3848c8f6e958c37970011054e5b9739fc79794cf 100644 (file)
Binary files a/Vorlesung.pdf and b/Vorlesung.pdf differ

diff --git a/Vorlesung.tex b/Vorlesung.tex
index f9ef217c6bc3e7a4b35d01f02c25d8daf7dc0fdb..d13586a780f9b0156845503eee7a537633f02449 100644 (file)
--- a/Vorlesung.tex
+++ b/Vorlesung.tex
@@ -20,31 +20,88 @@
 \setcounter{secnumdepth}{-1}
 
 \section{Kurzzusammenfassung}
-Das ist die "ge {\TeX} te" Mitschrift zur Vorlesung $118 \dot 186$ \emph{AKDIS Zahlentheorie und Anwendungen} vom Sommersemester 2012, gehalten von Prof. J. Wiesenbauer.\bigskip
-
-\noindent 
-Für weitere Informationen siehe HomePage \emph{www.algebra.ac.at}
+Das ist die "ge {\TeX} te" Mitschrift zur Vorlesung...
 \newpage
 
 \begin{bew}
  
 \end{bew}
 
-% \begin{align*}
-%  \geq&\sum_{i=1)^k a_i c_5 (x b_i)^\alpha(1+\int_1^{xb_i} \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}du) + g(x)\\
-%  =&c_5 x^\alpha \sum_{i=1)^k a_ib_i^\alpha + c5 x^\alpha \sum_{i=1)^k a_ib_i^\alpha \int_1^x \frac{g(u)}{u^{\alpha+1} du - c_5 \ldots\\
-%  =&c_5 (x)^\alpha(1+\int_1^x \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}du) - c_4c__5g(x)\sum_{i=1)^ka_ib_i^\alpha\\
-%  \geq& c_5x^\alpha (1+\int_1^x \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}du)
-% \end{align*}
+\begin{align*}
+ \sum_{i=1}^k a_i c_5 (x b_i)^\alpha (1+\int_1^{xb_i} \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}}du) + g(x)\\
+ =&c_5 x^\alpha \sum_{i=1}^k a_ib_i^\alpha + c5 x^\alpha \sum_{i=1}^k a_ib_i^\alpha \int_1^x \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}}du - c_5 \ldots\\
+%  =&c_5 (x)^\alpha(1+\int_1^x \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}}du) - c_4c__5g(x)\sum_{i=1}^ka_ib_i^\alpha\\
+%  \geq& c_5x^\alpha (1+\int_1^x \frac{g(u)}{u^{\alpha+1}}du)
+\end{align*}
 Gilt genau dann wenn
-% \begin{align}
-% & (-c_4c_5+1)g(x) \geq 0\\
-% & 0 < c_5 \leq \frac{1}{c_4}
-% \end{align}
+\begin{align}
+& (-c_4c_5+1)g(x) \geq 0\\
+& 0 < c_5 \leq \frac{1}{c_4}
+\end{align}
 Wähle $c_5$ geeignet, dass IA gewährleistet ist.
+% 
+
+Kurze Zeichnung zum Quicksort.
+
+Wahrscheinlichkeits erzeugende Funktionen
+
+X diskrete ZV $X\Omega \rightarrow \N = \{0,1,2,\ldots\}$
+
+$\P_0 = P[X=n], \sum_{n\geq0} p_n = 1$
+
+$\E[f(x)] = \int_\Omega f(X(\omega))d\P(\omega) = \sum f(n) p_n$
+
+$\E[X± = \sum np_n$
+
+$\E[z^x] = \sum p_n z^n$
+wahrscheinlichkeis Erzeugende Funktion ist Potenzreihe und Konvergenzradius $geq 1$ und heißt $F_x(z)$
+
+$F_x(1) = 1, F_x'(1) = \E X, F_x''(1) \E(X(X-1)) = \E X^2-\E X$
+
+$\E[X^2] = F_x''(1) + F_x'(1)$
+
+Varianz $\mathbb{V}[X] = \E(X-\E X)^2 = F_x''+F_x'-F_x'^2$
+
+Unabhängigkeit
+$ X,Y, \E[f(x),g(y)] = \E[f(x)]\E[g(y)]$
+
+$ X,Y, F_{X+Y}(z) = \E[z^{X+Y}]  = \ldots = F_x(z) F_y(z)$
+Wahrscheinlichkeits erzeugende Funktion ist das Produkt, WISCHTÜSCH.
+
+Bsp.
+Anzahl der Köpf beim Münzwurf.
+$F_x(z) = \frac{1+z}{2}$
+
+$\E[z^{X_1+X_2...}] = (\frac{1+z}{2})^n = \sum \frac{1}{z^n}\binom{n}{k} z^k$
+
+Quicksort
+$X_N$  Anzahl der Vergleichsoperationen bei $N$ inputdaten
+
+$F_N(z) = \E[z^{X_N}], X_N = (N-1) + X_{I_N-1}^{(1)} + X_{N-I_N}^{(2)}$
+
+$F_0(z) = F_1(z) = 1$
+
+Objekte sind unabhängig von einander für festest $I_N$, also $|I_N$
+
+$I_N$ zufälliger Index aus der Menge und gleichverteilt
+
+$F_N(z) = \E[z^{X_N}] = \E[z^{ (N-1) + X_{I_N-1}^{(1)} + X_{N-I_N}^{(2)}}] = z^{N-1} \E(\E(z^{X_{I_N-1}^{(1)} + X_{N-I_N}^{(2)}}|I_N)) $
+
+$= z^{N-1} \sum \frac{1}{N}\E[z^{X_{k-1}+X_{n-k}}] = z^{N-1} 1/N \sum F_{k-1}(z)F_{N-k}(z) $
+
+$C_N = \E X_N = F_N(1)$
 
+$C_N= (N-1) 1/N N + 1/N  \sum  C_{k-1} + 1/N \sum  C_{N-k}$
+$C_N = N-1+ z/N \sum C_{k-1}$
 
+$C_0 = C_1 = 0$
 
+$NC_N-(N-1)C_N = 2(N-1)+2C_{N-1}$
+$C_N((N+1) = C_{N-1}/N + 2C_{N-1}/N(N+1)$
+$C_N/N+1 = \sum 2(k-1) / k(k+1) = 2H_N -4 + 4/N+1$
+$H_N = \sum 1/k = logN$
+$C_N = 2(N+1)H_N+4N = 2NlogN + O(N)$
 
+Mergesort $NlogN + O(N)$
 
 \end{document}