UE1.3 + VO2

diff --git a/Vorlesung.pdf b/Vorlesung.pdf
new file mode 100644 (file)
index 0000000..75a3725
Binary files /dev/null and b/Vorlesung.pdf differ

diff --git a/Vorlesung.tex b/Vorlesung.tex
new file mode 100644 (file)
index 0000000..2067e58
--- /dev/null
+++ b/Vorlesung.tex
@@ -0,0 +1,78 @@
+\documentclass[a4paper,10pt,fleqn]{article}
+\usepackage[utf8x]{inputenc}
+\usepackage{amsmath,amssymb}
+\usepackage{fullpage}
+
+\def\P{\mathbb{P}}
+\def\N{\mathbb{N}}
+\def\R{\mathbb{R}}
+\def\oder{\vee}
+\def\und{\wedge}
+
+%opening
+\title{}
+\author{Peter Schaefer}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\section{Vorlesung}
+\subsection*{Bew. 1.16}
+
+\begin{enumerate}
+ \item Sei $p\in\P$ und es gelte $p|av \und p \nmid a$ , d.h. $ggT(p,a)=1$. nach dem Lemma von Euklid (Satz 1.11) folgt daher $p|b$.
+ \item Ist umgekehrt die Bedingung des Satzes erfüllt und gilt $p = a\cdot b$ mit $(a,b \in \N *$, so gilt einerseits $a|p \und b|p$, aber auch $p|a \oder p|b$ nach VS. Daraus folgt aber sofort $p = a \oder p= b,Q$
+\end{enumerate}
+\hfill$\blacksquare$
+
+\subsection*{Bew. 1.20}
+\begin{eqnarray*}
+ ggT(a,b) = ggT(a,c) = 1 &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : xa+yb = ua +vc = 1\\
+ &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : (xa +yb)(ua +vc) = (xau +xvc +ybu) a +(yv)(bc) = 1\\
+ &\Rightarrow& \text{Jeder gem. Teiler von} a \text{ und }c \text{ teilt auch }1 \Rightarrow ggT(a,c) =1
+\end{eqnarray*}
+\hfill$\blacksquare$
+
+\subsection*{Bew. 1.21}
+Angenommen, $P=\{p_1,P_2,\cdots,p_r\}$, d.h. endlich. Die Zahl 
+\begin{displaymath}
+ N=p_1 p_2\cdots p_r +1
+\end{displaymath}
+Zahl dann $> 1$ und daher durch eine Primzahl $p$ teilbar, wobei man
+\begin{displaymath}
+ p := min\{t \in \N * | t | n \und t > 1 \}
+\end{displaymath}
+Wenn $p| n \und p| n-1 = p_1p_2 \cdots p_r$ folgt daraus
+\begin{displaymath}
+ p|1 = N-1(N-1) \text{Wiederspruch!}
+\end{displaymath}
+Also ist $| \P | = \infty$, \hfill$\blacksquare$
+\subsection*{Anmerkung 1.21}
+\begin{eqnarray*}
+\sum_{p\in\P} \frac 1 p && \text{divergent (Euler)}\\
+\sum_{k=1}^{\infty} &=& \frac{\pi^2}{6}
+\end{eqnarray*}
+\subsection*{Anmerkung 1.22}
+\begin{displaymath}
+ \pi(x) = \{ p \in \P | p \leq x\}, x\in \R^+
+\end{displaymath}
+Primzahldichte in der Nähe von $x \approx \frac 1 {ln(x)}$\\
+in der Gegend von $10^{100}$ : jede  $\approx 230.$ Zahl ist eine Primzahl
+
+\subsection*{Riemansche Vermutung}
+\begin{displaymath}
+ \zeta(s)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^s} \hfill (re(s) >1)
+\end{displaymath}
+Analytisch fortzetzen:
+\begin{eqnarray*}
+ \zeta(s) & = & 1 + \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} + \frac 1{4^s} + \frac 1{5^s} + \cdots\\
+\frac 2 {2^s}\zeta(s) & = & \frac 2{2^s} + \frac 2{4^s} + \frac 2{6^s} + \cdots\\
+(1-2^{1-s})\zeta(s) & = & 1 - \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} - \frac 1{4^s} + \frac 1{5^s} - \cdots = \eta(s)\\
+\zeta(s) & = &  \frac{\eta(s)}{(1-2^{1-s})}
+\end{eqnarray*}
+
+Riemann-Siegel-Formel?
+
+
+
+
+\end{document}

diff --git a/ue1.pdf b/ue1.pdf
new file mode 100644 (file)
index 0000000..84ddd90
Binary files /dev/null and b/ue1.pdf differ

diff --git a/ue1.tex b/ue1.tex
new file mode 100644 (file)
index 0000000..aaca2bb
--- /dev/null
+++ b/ue1.tex
@@ -0,0 +1,30 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage[utf8x]{inputenc}
+\usepackage{amsmath,amssymb}
+\usepackage{fullpage}
+
+%opening
+\title{}
+\author{Peter Schaefer}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\section*{1.Übung}
+\subsection*{2. Aufgabe}
+
+\begin{eqnarray*}
+&&\begin{array}{ccccccc}
+ r_{i-2} & r_{i-1}& q_i & x_{i-2} & x_{i-1} & y_{i-2} & y_{i-1}\\
+ 312 & 269 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
+ 269 & 43 & 6 & 0 & 1 & 1 & -1\\
+ 43 & 11 & 3 & 1 & -6 & -1 & 7\\
+ 11 & 10 & 1 & -6 & 19 & 7 & - 22\\
+ 10 &  1 & & 19 & -25 & -22 & 29\\
+\end{array}\\
+\text{ggT}(312,269) & = & 1\\
+1 & = & -25*312+29*269\\
+5 & = & -125*312+145*269\\
+x & = & 5\cdot\binom{-25}{29}+\cdot
+\end{eqnarray*}
+
+\end{document}