als Menge der Knoten des Rechtecks $T$ bezeichnen und als Kanten von $T$ nennen wir die Menge
\begin{align*}
\E_T&:= \{[k_T, \tilde k_T] ~|~ k_T,\tilde k_T\in \K_T, k_T\neq\tilde k_T\}.
-\end{align*}
+\end{align*}\todo{Diagonalen sind dabei!!!}
\end{bem}
\begin{defi}Sei $a,b\in\R$ für $T$ definiert wie in Def. \ref{math:def:T}, dann heißt
\begin{align*}
\end{defi}
\todo{Unterscheiden zwischen parallel und orthogonal und dafür $\dist$ definieren}
\begin{defi}
-Ist $c \in T_j \cap T_k$ ein Eckpunkt von $T_j$ aber nicht von $T_k$, so nennen wir $c$ einen hängenden Knoten.
-\end{defi}
-\begin{defi}
Sei $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine endliche Menge von achsenorientierten Rechtecken. Es bezeichne $\K_{\ell}:=\bigcup_{T\in\T} k_T$ die Menge der Knoten von $\T_{\ell}$ und $\E_{\ell}:=\bigcup_{T\in\T} e_T$ die Menge der Kanten. Wir nennen $\T_{\ell}$ eine Partition von $\Gamma$, falls
\begin{itemize}
\item $\overline{\Gamma} = \bigcup_{j=1}^NT_j$
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{(\roman{enumi})}
\item \label{alg:refine:first}
- $\sqcap_{\ell}^{(i+1)} := \sqcap_{\ell}^{(i)} \cup \{ e_{T'}' \in \S_{\ell}\backslash\sqcap_{\ell}^{(i)} ~|~ \exists e_T \in \sqcap_{\ell}^{(i)} e' \supseteq e \} \cup \{\tilde e_T \in \S_{\ell} ~|~ \exists e\in\E_T : e\cap\tilde e=\emptyset\}$
+ $\sqcap_{\ell}^{(i+1)} := \sqcap_{\ell}^{(i)} \cup \{ e_{T'}' \in \S_{\ell}\backslash\sqcap_{\ell}^{(i)} ~|~ \exists e_T \in \sqcap_{\ell}^{(i)}: e' \supsetneq e \} \cup \{\tilde e_{T'} \in \S_{\ell} ~|~ \todo{ \exists \tilde e\in\E_{T'} :} e'\cap\tilde e=\emptyset\}$
\item
Falls $\sqcap_{\ell}^{(i)} \subsetneq \sqcap_{\ell}^{(i+1)}$, $i = i+1$ und gehe zu Schritt \ref{alg:refine:first}
\item Teile alle Elemente aus $\T_{\ell}$ bezüglich der markierten Kanten $\sqcap_{\ell}^{(i)}$, wie in der lokalen Verfeinerung vorgegeben
\end{enumerate}
-
-$\{\tilde e_T ~|~ \exists e \in \E_T : e \cap \tilde e =\emptyset \}$
\end{alg}
\clearpage
% \end{align}
Wie an der einfachen Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator
\begin{align}
-\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq 2\frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!} \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^n \abs{x-x_j}
+\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq 2\frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!} \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=1}^n \abs{x-x_j}
\quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1])
\end{align}
zu sehen ist, hängt diese noch von der Wahl der Knoten ab. Um den Fehler weiter zu verbessen, werden wir das Produkt
\begin{align*}
- \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^n \abs{x-x_j}
+ \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=1}^n \abs{x-x_j}
\end{align*}
durch benutzen von Chebyshev-Knoten minimieren. Diese sind für das Intervall $[-1,1]$ gegeben durch
\begin{align*}
Durch affine Transformation der Chebyshev-Knoten, ergibt sich der Fehlerschätzer
\begin{align}
\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]}
- &\leq 4^{-p+1} \frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!}
+ &\leq 4 \frac{4^{-p}}{p!}\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}
\quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1])
\end{align}
-für Chebyshev-Polynome auf .\\
-Ferner wollen wir nun die Interpolation auf Intervallen der Gestalt $[0,1]^d$ mit $d\in\N$ einführen.
+für Chebyshev-Polynome.\\
+Ferner wollen wir nun die Interpolation auf Intervallen der Gestalt $[0,1]^d$ mit $d\in\N$ einführen.
\begin{sat}
+\todo{Multi InterPol}
\begin{align}
\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]^d}
- &\leq \frac{ 4^{-p+1}}{p!}\lambda_p^{d-1}\sum_{j=1}^d \norm{\partial_j^d u^{(p)}}_{\infty,[0,1]^d}
- \quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1])
+ &\leq 4\frac{ 4^{-p}}{p!}\lambda_p^{d-1}\sum_{j=1}^d \norm{\partial_j^d u^{(p)}}_{\infty,[0,1]^d}
+ \quad \text{ für alle }u \in \C^{p+1}([0,1]^d)
\end{align}
\end{sat}
-
\subsection{Gauss-Quadratur}
Im Folgenden wollen wir die klassische Gauss-Quadratur definieren.\\
Unter einer Quadratur verstehen wir die approximative Berechnung eines Integrals der Form:
D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k)
\end{align}
und
-\begin{align}
+\begin{align} \label{math:sem:zetaQ:c}
\tilde C_{\zeta_Q,j,k}&:=2^4e\frac{c_1D_{j,k}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_Q}{c_2} \right)
\end{align}
Dann gilt für das Integral
\begin{bem}
Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta$ zulässige Rechtecke. Ist $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ so kann Satz (\ref{thm:sem:quad:V}) angewendet werden um $A_{jk}$ zu approximieren. Im Fall $\diam(T_j) > \diam(T_k)$ können wir $A_{jk}$ approximieren indem wir mithilfe von $A_{jk} = A_{kj}$ und Satz (\ref{thm:sem:quad:V}), $A_{kj}$ berechnen.
\end{bem}
+
+\todo{\begin{bem}
+ $\Lambda_p$ wächst für Chebyshev-Polynome im wesentlichen logarithmisch in $p$. Daher konvergiert $(A_p)_{jk}$ für wachsenden Quadraturgrad $p$ exponentiell schnell gegen $A_{jk}$
+ Zusammenhang von Quadraturgrad und Konvergenz
+\end{bem}
+}
\subsection{Approximierende Matrix}
-\begin{defi}
+\begin{defi} \label{thm:sem:quad:Ap}
Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke und $A \in \R^{n \times n}$ gegeben durch \eqref{math:gal:kap}. Dann ist die $A$ approximierende Matrix $A_p$ folgendermaßen definiert.
\begin{itemize}
\item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta$-unzulässig, so ist
\end{itemize}
\end{defi}
-
+\noindent
+Wir wollen nun zeigen, dass die approximierende Matrix bezüglich der Frobenius-Norm für wachsenden Quadraturgrad exponentiell schnell gegen die gegebene Matrix konvergiert. Die Frobenius-Norm ist hierbei gegeben durch
+\begin{align*}
+ \norm{A}_F := \left( \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n A_{ij}^2 \right)^{1/2} \quad \text{für} \quad A \in \R^{n \times n}.
+\end{align*}
+\todo{Dieser Satz ist wahrscheinlich unnötig
+\begin{sat}
+ Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke. Sei $\kappa : \R^2\times \R^2 \to \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2$ und Singularitätsordung $s \geq 0$. Sei $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ wie in \eqref{math:sem:zetaQ:c}. Seien $A\in \R^{n \times n}$ eine Matrix, deren Einträge gegeben sind durch
+ \begin{align*}
+ A_{jk}
+ &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}.
+ \end{align*}
+ und sei $A_p$ die $A$ approximierende Matrix gemäß Definition \ref{thm:sem:quad:Ap}. Dann gilt
+ \begin{align*}
+ \norm{A-A_p}_F \leq n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}.
+ \end{align*}
+\end{sat}
+\beweis Betrachten wir zunächst die Differenz zwischen $A$ und $A_p$ in einem festen Eintrag $(A-A_p)_{jk}$. Sind $T_j$ und $T_k$ unzulässig ist die Differenz laut Definition $0$. Sind $T_j$ und $T_k$ hingegen zulässig so gilt nach Satz \ref{thm:sem:quad:V}
+% \begin{align}
+% \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&= \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}
+% \end{align}
+\begin{align*}
+ \norm{A-A_p}_F^2 &= \sum_{j,k=1}^n (A_{jk} - (A_p)_{jk})^2\\
+ &\leq \sum_{j,k=1}^n \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2\\
+ &\leq \sum_{j,k=1}^n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2\\
+ &= n^2 \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2.
+\end{align*}
+Durch ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung. \hfill$\square$
+}
% \subsection{Quadratur über eine Achse}
% \subsubsection{Quadratur}
% \begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_A > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-zulässig, genau dann wenn
\end{align*}
benötigen, welche alle in \cite[Seite 2-3]{mai:3dbem} bewiesen wurden.
\end{lem}
-Hierbei wollen wir darauf hinweisen, dass wir für $p=-1$ nicht die in \cite[Seite 3]{mai:3dbem} vorgeschlagene Formel verwenden, sondern die mit Hilfe von Substitution durch $z = \frac{y-x}{\abs{\lambda}}$, beziehungsweise $dz = \frac 1 {\abs{\lambda}} dy$ selbst hergeleitete
+Hierbei wollen wir darauf hinweisen, dass wir für $p=-1$ nicht die in \cite[Seite 3]{mai:3dbem} vorgeschlagene Formel verwenden, sondern die selbst hergeleitete. Mithilfe von Substitution durch $z = \frac{y-x}{\abs{\lambda}}$ und $dz = \frac 1 {\abs{\lambda}} dy$ gilt
\begin{align*}
\int \frac 1 {(x-y)^2 +\lambda^2} dy &= \int \frac 1 {\lambda^2((\frac{y-x}{\abs{\lambda}})^2 +1)} dy
= \frac 1 {\abs{\lambda}} \int \frac 1 {z^2+1} dz\\
G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &=- \frac{\sgn\{(y_1-x_1)(y_2-x_2)\}}{2|\lambda|} \quad \text{ für } \lambda \neq 0\\
&\cdot \arccos\left( \frac{-2(y_1-x_1)^2(y_2-x_2)^2}{\{(y_1-x_1)^2+\lambda^2\}\{(y_2-x_2)^2+\lambda^2\}} +1 \right).
\end{align*}
-Für alle weiteren relevanten Fälle $p = -3/2 +k mit k \in \N$ können wir folgende Rekursionsformel aufstellen
+Für alle weiteren relevanten Fälle $p = -3/2 +k$ mit $k \in \N$ können wir folgende Rekursionsformel aufstellen
\begin{align*}
(2p+2)G(p;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &= 2p\lambda^2 G(p-1;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda)\\
&+ (y_1-x_1)g(p;y_2;x_2;\sqrt{(y_1-x_1)^2+\lambda^2})\\
\begin{lem}
Für die Stammfunktion auf parallelen Elementen
\begin{align*}
- F_{p}&(x1,x_2,y_1,y_2,\bs \delta) :=\\ &\int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2dy_1 dx_2 dx_1
+ F_{p}&(x_1,x_2,y_1,y_2,\bs \delta) :=\\ &\int \int \int \int \left\{(x_1-y_1-\delta_1)^2+(x_2-y_2-\delta_2)^2+\delta_3^2\right\}^{-1/2}dy_2dy_1 dx_2 dx_1
\end{align*}
gilt nach \cite[Seite 13]{mai:3dbem}
\begin{align}
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