An dieser stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren.
\begin{defi}
-Für einen festen Grad $p \in \N$ und paarweise verschiedene Knoten $x_j \in [-1,1]$ lautet das Lagrange'sche Interpolations Problem:
+Für einen festen Grad $p \in \N$ und paarweise verschiedene Knoten $x_j \in [0,1]$ lautet das Lagrange'sche Interpolations Problem:
Zu gegebenen Funktionswerten $y_j \in \R$ finde ein Polynom $q \in \P^{p-1}$ so, dass
\begin{align*}
q(x_j) &=y_j \quad \text{ für alle } j=0,\ldots,p.
\begin{align*}
q&=\sum_{j=0}^py_jL_j.
\end{align*}
-Mit diesem Wissen definieren wir uns nun den Interpolationsoperator $\I_p u : \C[-1,1]\to\P^{p-1}$
+Mit diesem Wissen definieren wir uns nun den Interpolationsoperator $\I_p u : \C[0,1]\to\P^{p-1}$
\begin{align}
\I_pu &:= \sum_{j=0}^p u(x_j)L_j.
\end{align}
-Ferner definieren wir noch die Lebesgue Konstante
-\begin{align}
-\Lambda_p &:= \max_{x\in[-1,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}.
-\end{align}
-
-\todo{
-\subsection{Interpolation}
-Zunächst wollen wir die Chebyshev-Interpolation auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. Hierzu sei $\P_p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$.
-% \begin{defi}
-% Seien $x_0,\ldots,x_p \in [0,1]$ paarweise verschiedene Knoten und $y_0,\ldots,y_p$ die zugehörigen Funktionswerte. Die Lagrange'sche Interpolationsaufgabe lautet dann folgendermaßen: Finde ein Polynom $q$ vom Grad $p-1$, sodass
-% \begin{align*}
-% q(x_i) &=y_i \quad \text{ für alle } i=0,\ldots,p.
-% \end{align*}
-% \end{defi}
-% Ferner definieren wir die zu den Knoten $x_0,\ldots,x_p$ zugehörigen Lagrange-Polynome durch
-% \begin{align}
-% L_j(x) &= \prod_{i=1,i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-xi}.
-% \end{align}
-% \todo{cite} zeigt, dass die Lagrange'sche Interpolationsaufgabe eine eindeutige Lösung besitzt, die gegeben ist durch
-% \begin{align}
-% q&=\sum_{j=0}^py_jL_j.
-% \end{align}
-% Wir definieren den Interpolationsoperator $\I_pu$ durch
-% \begin{align}
-% \I_pu &:= \sum_{j=0}^p u(x_j)L_j.
-% \end{align}
-% Außerdem definieren wir die Lebesgue-Konstante durch
+% Ferner definieren wir noch die Lebesgue Konstante
% \begin{align}
% \Lambda_p &:= \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}.
% \end{align}
-\todo{cite} stellt einen Bezug zwischen der Bestapproximation und der Polynominterpolation her und ist später von Bedeutung.
-\begin{sat}\label{math:ipol}
-Sei $\Lambda_p$ die Lebesgue-Konstante zu $p$ paarweise verschiedener Knoten $x_1,\ldots,x_p$, die alle im Intervall $[0,1]$ liegen. Dann gilt für jedes $u \in \C[0,1]$
+Eine einfache Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator ist
\begin{align}
- \norm{\I_pu-u}_{\infty} &\leq (1 + \Lambda_p) \min_{v\in \P_p} \norm{u-v}_{\infty},
+\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq \frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!} \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^n \abs{x-x_j}
+\quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1]).
\end{align}
-wobei $\P_p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$ bezeichnet.
-\hfill $\square$
-\end{sat}
-Eine einfache Fehlerabschätzung für den Interpolationsfehler liefert \todo{cite}. Unter der Voraussetzung $u \in \C^{p+1}([0,1])$ gilt:
-\begin{align}
-\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq \max_{x\in[0,1]} \left| \prod_{j=0}^n (x-x_j) \right| \frac{1}{(p+1)!} \norm{u^{(p+1)}}_{\infty,[0,1]}
-\end{align}
-Bei der Chebyshev-Interpolation wählt man die Knoten in Bezug auf diese Abschätzung optimal, indem man den ausschließlich durch die Knotenwahl bestimmten Term
-\begin{align*}
- \max_{x\in[0,1]} \left| \prod_{j=0}^n (x-x_j) \right|
-\end{align*}
-minimiert. Die Lösung dieses Minimierungsproblems sind die Nullstellen der Chebyshev-Polynome. Diese sind gegeben durch
+\todo{
+Chebyshev-Polynome:
\begin{align}
- x_j &= \frac12 \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac12 \right) + \frac12 \quad \text{für} j=1,\ldots,p.
+ x_j &= \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac12 \right) \quad \text{ für } j=1,\ldots,p.
\end{align}
-Sieh dazu auch \todo{cite}.\\ Im folgenden bezeichne $\I_p$ immer den Chebyshev-Interpolationsoperator.
-\todo{multi Interpolation!}
-}
+Multi-Interpol}
+
\subsection{Gauss-Quadratur}
Im Folgenden wollen wir die klassische Gauss-Quadratur definieren.\\
Unter einer Quadratur verstehen wir die approximative Berechnung eines Integrals der Form:
\Q_n(f) &:= \sum_{k=0}^n w_kp(x_k)
\end{align}
gilt, wobei $p$ das Interpolationspolynom von $f$ vom Grad $n$ zu den Knoten $x_0,\ldots,x_n$ ist.
-\todo{\subsection{Bedingung}
+\todo{\subsection{---}
}
\begin{align}
\dist (T_j, T_k)&\geq \zeta \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}\\
\dist (T_j,T_k) &\geq \zeta_1 \max\{ \diam_{|\bs a}(T_j) , \diam_{|\bs a}(T_k)\}
\end{align}
-
-\subsection{Semianalytisch}
-% Das Integral über $T_j$ kann durch die analytische Doppelintegral Funktion ersetzt werden. Die Quadratur über $T_k$ wird nun mittels einer doppelten Gauss-Quadratur berechnet.
\begin{align}
\int_{T_j} \int_{T_k} &\approx \q_{T_j} \int_{T_k}\\
\int_{T_j} \int_{T_k} &\approx \q_{I_1} \q_{J_1} \int_{I_2}\int_{J_2}\\
\int_{T_j} \int_{T_k} &\approx \q_{I_1} \int_{I_2} \int_{J_1} \int_{J_2}\\
\int_{T_j} \int_{T_k} &\approx \q_{T_j} \q_{J_1} \int_{J_2}
\end{align}
+
+\subsection{Glatter Kern}
+% Das Integral über $T_j$ kann durch die analytische Doppelintegral Funktion ersetzt werden. Die Quadratur über $T_k$ wird nun mittels einer doppelten Gauss-Quadratur berechnet.
+
\begin{defi}
Die Kern-Funktion $\kappa(\bs x,\bs y)$ heißt asymptotisch glatt, falls sie glatt ist für $\bs x \neq \bs y$ und Konstanten $c_1,c_2>0$ und eine Ordnung der Singularität $s \in \R$ existieren, sodass
-% \begin{align}
-% \abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\partial_{\bs y}^{\beta}\kappa(\bs x, \bs y)}
-% &\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha}-\abs{\beta}+s)}(\alpha + \beta)!
-% \end{align}
- \begin{align}\label{math:sem:glatt}
+ \begin{align*}\label{math:sem:glatt} % Glatter KERN
\abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\partial_{\bs y}^{\beta}\kappa(\bs x, \bs y)}
&\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha} + \abs{\beta})!
- \end{align}
+ \end{align*}
für alle Multiindizes $\alpha,\beta \in \N_0^d$ mit $\abs{\alpha}+\abs{\beta}\geq 1$ gilt.
\end{defi}
Wie wir im Folgenden sehen werden, lassen sich asymptotisch glatte Kernfunktionen besonders gut durch Polynome interpolieren. Hierzu benötigen wir das Lemma \todo{cite}:
-\begin{lem}
+\begin{lem}\label{math:sem:ipol} %Interpol über Glatten KERN 1D
Sei $J \subseteq \R$ ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall und angenommen die Funktion $u$ erfüllt für Konstanten $C_u,\rho_u > 0$
\begin{align*}
\norm{u^{(n)}}_{\infty,J} &\leq C_u \rho_u^nn!\text{~~~für alle} n \in \N_0.
\end{align*}
Dann gilt für alle $k\in \N_0$
-\begin{align}\label{math:sem:ipol}
+\begin{align*}
\min_{v \in \P_k} \norm{u-v}_{\infty,J} &\leq C_u 4e(1+\rho_u\abs{J})(k+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\abs{J}}\right)^{-(k+1)}.
-\end{align}
+\end{align*}
+\end{lem}
+\hfill$\square$
+
+\begin{lem}\label{math:sem:ipolnD} %Interpol über Glatten KERN nD
+Sei $B \subseteq \R^d$ ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall und angenommen die Funktion $u$ erfüllt für Konstanten $C_u,\rho_u > 0$
+\begin{align*}
+ \norm{\partial_j^nu}_{\infty,B} &\leq C_u \rho_u^nn!\text{~~~für alle} n \in \N_0.
+\end{align*}
+Dann gilt für alle $k\in \N_0$
+\begin{align*}
+\min_{v \in \P_k} \norm{u-\I_k^Bu}_{\infty,B} &\leq C_u 8e\Lambda_k^d(1+\rho_u\diam (B))(k+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\diam(B)}\right)^{-(k+1)}.
+\end{align*}
\end{lem}
\hfill$\square$
+
+\begin{align*}
+ \Abs{\partial_x^n\partial_y^m\kappa}&=\Abs{\partial_x^n\partial_y^m\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
+ &=\diam(T_j)^n \diam(T_k)^m \Abs{(\partial_x^n\partial_y^m\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}
+\end{align*}
+
+\begin{align*}
+ \diam(T_j)^n& \diam(T_k)^m \Abs{(\partial_x^n\partial_y^m\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
+ \leq& \diam(T_j)^n \diam(T_k)^m c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(x) - \gamma_k(y)})^{-(\abs{n}+\abs{m}+s)}(\abs{n}+\abs{m})!\\
+ \leq & \max(\diam(T_j),\diam(T_k))^{n+m} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(n+m+s)}(n+m)!\\
+ = & \frac{c_1}{c_2 \abs{(\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam(T_j),\diam(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{m+n}(\abs{n}+\abs{m})!\\
+ \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!
+\end{align*}
+
+\begin{align*}
+ \min_{v \in \P_k} \norm{u-\I_k^Bu}_{\infty,B} &\leq C_k 8e\Lambda_k^d(1+\rho_u\diam (B))(k+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u\diam(B)}\right)^{-(k+1)}.
+\end{align*}
+
+\subsection{1D Integral}
\begin{lem}
Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_1$-zulässige, affine Randstücke mit $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$. Weiterhin sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit den Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$.
Dann gilt mit
\norm{\kappa(\cdot,\bs y)-\I_p\kappa(\cdot,\bs y)}_{\infty,T_{j| x_{\bs b}}}
&\leq C_{\zeta,j,\kappa}(1+\Lambda_p)(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)}.
\end{align*}
-Da $\bs y$ und $x_{\bs b}$ beliebig war und die rechte Seite unabhängig von $\bs y,x_{\bs b}$ ist, folgt die Behauptung für das Supremum.\hfill$\square$
+Da $\bs y$ und $x_{\bs b}$ beliebig war und die rechte Seite unabhängig von $\bs y,x_{\bs b}$ ist, folgt die Behauptung für das Supremum.
+\hfill$\square$
+
+\subsection{Matrix}
\begin{sat}
Seien $Tj,Tk$ zwei $\zeta_1$-zulässige affine Randstücke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$ und $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
\begin{align}
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