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+\author{}
+\title{Mitschrift zur Vorlesung \\ AKDIS: Zahlentheorie und Anwendungen,\\ gehalten von Prof. J. Wiesenbauer, Sommersemester 2012}
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+\frenchspacing
+
+
+
+
+
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+
+\renewcommand{\proofname}{Beweis}
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+
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+\DeclareMathOperator{\lcm}{lcm}
+\def \N {\mathbb{N}}
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-%opening
-\title{}
-\author{Peter Schaefer}
+ \swapnumbers
+\newtheorem{defn}{Definition}[section]
+\newtheorem{lemma}[defn]{Lemma}
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+\theoremstyle{remark}
+\newtheorem{bsp}[defn]{Beispiel}
+\newtheorem{bem}[defn]{Bemerkung}
+\begin{document}
+
+\begin{titlepage}
+ \maketitle
+\end{titlepage}
+
+\setcounter{secnumdepth}{-1}
+
+
+\section{Kurzzusammenfassung}
+Das ist die "getechte" Mitschrift zur Vorlesung $118 \dot 186$ \emph{AKDIS Zahlentheorie und Anwendungen} vom Sommersemester 2012, gehalten von Prof. J. Wiesenbauer.
+\newpage
+
+
+\tableofcontents
+\newpage
+\setcounter{secnumdepth}{2}
+\section{Einleitung}
+
+\chapter{Teil 1}
+\begin{bem}
+Prf: $4$ Bsp: 2 Beweise, 2 Überblicksfragen + schreiben
+\end{bem}
+
+\begin{bem}
+Die natürlichen Zahlen sind in dieser Vorlesungen inklusive $0$ zu verstehen, d.h. $\N = \lbrace 0,1,2,\ldots \rbrace$.
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Bemerkung zu Definition $1.1$]
+Sei $a \neq 0 \land a \mid b \Rightarrow$ Komplementärteiler ist eindeutig: \\
+Sei
+\begin{subequations}
+\begin{align}
+ a u_{1} =b \land a u_{2} =b \\
+a \left( u_{1} - u_{2} \right) = 0 \\
+\stackrel{\textsl{Nullteilerfreiheit + VS}} \Rightarrow u_{1} - u_{2} = 0 \\
+\implies u_{1} = u_{2}
+\end{align}
+\end{subequations}
+\end{bem}
-\begin{document}
-\maketitle
-\section*{Vorlesung 21.3.12}
-\subsection*{Bew. 1.16}
+\begin{bem}[Bemerkung zu Satz $1.3$]
+Das Wichtige bei diesem Satz ist diese Tatsache: $0 \leq r < \vert b \vert$, siehe auch Euklidische Ringe in Algebra.
+\end{bem}
+\begin{proof}[Beweis von Satz $1.3$]
+\begin{enumerate}
+\item
+\item[Existenz]
+Sei zunächst $b > 0$: \\
+Wähle $q \in \Z$ so, dass: $qb \leq a \land \left( q+1 \right) > a$ (ist in endlich vielen Schritten möglich) (--> Skizze Zahlengerade)\\
+Dann gilt für $r := a - qb$, dass $0 \leq r < b \land a = qb+r$. \\
+Ist aber $b<0$, so gilt nach Obigem:
+\begin{equation}
+ \exists \bar{q},\bar{r} \in \Z: a = \vert b \vert \cdot \bar{q} + \bar{r} \land 0 \leq \bar{r} < \vert b \vert
+\end{equation}
+Setze $q:=-\bar{q}, r:=\bar{r}$ folgt dann wieder $a = bq +r \land 0 \leq r < b$. Daher ist die Existenz gesichert.
+\item[Eindeutigkeit] Angenommen wir haben zwei Darstellungen der folgenden Form:
+ \begin{equation}
+ a = q_{1}b+r_{1}=q_{2}+r_{2} \land 0 \leq r_{1} < \vert b \vert \land 0 \leq r_{2} < \vert b \vert
+ \end{equation}
+Daraus erhält man
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ \left( q_{1} - q_{2} \right) b = r_{2} - r_{1} \\
+\stackrel{\vert \cdot \vert} \implies \vert q_{1} - q_{2} \vert \cdot \vert b \vert = \underbrace{\vert r_{2} - r_{1} \vert}_{\in [0,\vert b \vert), \textsl{ zumindest } < \vert b \vert} \\
+\Rightarrow \vert q_{1} - q_{2} \vert = 0 \\
+\Rightarrow q_{1} = q_{2} \\
+\Rightarrow r_{1} = r_{2}
+ \end{align}
+\end{subequations}
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[@Def 1.4 ggT]
+ \begin{equation}
+ a=b=0 \Rightarrow ggT(a,b)=ggT(0,0)=0
+ \end{equation}
+\end{bem}
+
+\begin{proof}[Beweis zu Satz $1.6$]
+Teilbarkeitsrelation ist invariant unter $\pm$, daher gilt $ggT(a,b)=ggT(\vert a \vert, \vert b \vert)$, insbesondere erhält man dadurch $ggT(a,0)=\vert a \vert$ und $ggT(a,b)=ggT(b,a)$. \\
+oBdA: $a \geq b > 0$. Wende Euklidischen Algorithmus an, $r_{(-1)}:=a, r_{0}:=b$, dann gilt:
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ a = q_{1} b+ r_{1}, \quad 0 \leq r_{1} < b \\
+b = q_{2} r_{1} + r_{2}, \quad 0 \leq r_{2} < r_{1} \\
+r_{1} = q_{3} r_{2} + r_{3}, \quad 0 \leq r_{3} < r_{2} \\
+r_{(i-2)} = q_{i} r_{(i-1)} + r_{i}, \quad 0 \leq r_{i} < r_{(i-1)}\\
+\textsl{Folge der Reste ist streng monoton fallend} \rightarrow \textsl{ bricht ab} \\
+r_{(n-1)} = q_{n} r_{n} \label{letzterestgleichung}
+ \end{align}
+\end{subequations}
+Insbesondere folgt aus \eqref{letzterestgleichung}, dass $ggT(r_{(n-1)},r_{n})=r_{n}$.
+\begin{equation}
+ ggT(a,b)=ggT(b,r_{1}) = ggT(r_{(n-1)},r_{n})= r_{n}
+\end{equation}
+Man kann daraus die folgende Behauptung formulieren:
+\begin{equation}
+ \forall k \in \lbrace -1 \rbrace \cup \N: \exists x_{k},y_{k} \in \Z: r_{k} = x_{k}a + y_{k}b
+\end{equation}
+Beweis mit Induktion nach $k$: \\
+I-Anfang $-1,0$:
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ r_{(-1)} = a = 1 \cdot a + 0 \cdot b, \qquad \surd \\
+r_{0} = b = 0 \cdot a + 1 \cdot b, \qquad \surd \\
+\end{align}
+\end{subequations}
+I-Schritt: $k \rightarrow k+1$:
+\begin{subequations}
+\begin{align}
+r_{k} = r_{(k-2)} - q_{k} r_{(k-1)} = \\
+\stackrel{\textsl{I-VS}} = \left( x_{(k-2)} a + y_{(k-2)} b \right) - q_{k} \left( x_{(k-1)} a + y_{k-1} b \right) = \\
+= \underbrace{(x_{(k-2)} - q_{k}x_{(k-1)})}_{x_{k}} a + \underbrace{(y_{(k-2)} - q_{k}y_{(k-1)})}_{y_{k}}b
+ \end{align}
+\end{subequations}
+Man beachte, dass für $r_{()}, x_{()},y_{()}$ drei mal die gleiche Rekursionsgleichung mit verschiedenen Startwerten genügt! Diese Methode ist besser um ggT auszurechnen, als im Eukl. Alg. einfach ``hinaufzurechnen''. Es gilt
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ r_{-1}=a,r_{0}=b, r_{i} = r_{i-2} - q_{i} r_{i-1}\\
+x_{-1}=1, x_{0}=0, x_{i} = x_{i-2} - q_{i} x_{i-1} \\
+y_{-1}=0, y_{0}=0, y_{i} = y_{i-2} - q_{i} y_{i-1}
+ \end{align}
+\end{subequations}
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+Berechne $ggT(2124, 1764)$ mit Hilfe von Euklidischem Algorithmus, Schema:
+
+\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
+$r_{i-2}$ & $r_{i-1}$ & $q_{i}$ & $x_{i-2}$ & $x_{i-1}$ & $y_{i-2}$ & $y_{i-1}$ & $i$ \\
+\hline
+$2124$ & $1764$ & $1$ & $1$ & $0$ & $0$ & $1$ & $0$\\
+$1764$ & $360$ & $4$ & $0$ & $1$ & $1$ & $-1$ & $1$ \\
+\hline
+\end{tabular}
+$\Rightarrow ggT(2124,1764)=26=5 \cdot 2124 + (-6) \cdot 1764$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}
+$\sim 40 \%$ der Fälle gilt $q=1$, bzw Einstellig in $90\%$. Statt Divisionen verwendet man interierte Subtraktionen, mit vielleicht Ausnahme einer ersten Division.
+\end{bem}
+
+\begin{bem}
+Die Stellenanzahl im dekadischen System einer dekadischen Zahl $n$: $\lfloor \log_{10} n \rfloor +1 \approx \log_{10}$.
+\end{bem}
+
+\begin{bem}
+``Normale Multiplikation'' mit ``Schulmathematik'' hat quadratischen Aufwand.
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Umrechnung für $\lambda$]
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ \lambda^{\log_{\lambda}(a)} = a \\
+\Rightarrow \log_{10}(\cdot) \\
+\log_{\lambda}(a) \cdot \log_{10}(\lambda)=\log_{10}(a) \\
+\implies \log_{\lambda}(a)=\frac{\log_{10}(a)}{\log_{10}(\lambda)}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+\end{bem}
+
+\begin{proof}[Beweis zu Satz $1.8$, Seite $4$]
+ Betrachte die Fibonacci-Folge
+ \begin{equation}
+ 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \ldots
+ \end{equation}
+welche definiert ist durch $F(0)=0,F(1)=1, F(n)=F(n-2)+F(n-1)$ für $n\geq 2$. \\
+Ist $F_{n}$ die nächst kleinere Fibonacci-Zahl zu $a$, so kann der Rechenaufwand zur Berechnung von $ggT(a,b)$ durch den Rechenaufwand von $ggT(F_{n},F_{(n-1)})$ nach oben abgeschätzt werden, z.B. $a=50,b=37 \rightsquigarrow ggT(34,21)$, sind $F_{9}=34, F_{8}=21$ die nächst kleineren Fibonacci-Zahlen und es gilt:
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ 34 = 1 \cdot 21 + 13 \\
+21 = 1 \cdot 13 + 8 \\
+13 = 1 \cdot 8 + 5 \\
+8 = 1 \cdot 5 + 3 \\
+5 = 1 \cdot 3 + 2 \\
+3 = 1 \cdot 2 + 1 \\
+2 = 1 \cdot 2
+ \end{align}
+\end{subequations}
+Man benötigt hier $7$, allgemein $n-2$ Divisionen, was eine obere Schranke darstellt. \\
+Es gilt für die $F_{n}$ die folgende explizite Formel:
+\begin{equation}
+ F_{n} = \frac{\lambda_{1}^{n} - \lambda_{2}^{n}}{\sqrt{t}} \textsl{ mit } \lambda_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
+\end{equation}
+Diese Formel zeigt man leicht mit Induktion. \\
+Wenn es eine geometrische Folge gibt, welche die Fibonacci-Folge liefert, so muss diese Folge zwingend erfüllen:
+\begin{subequations}
+\begin{align}
+ q^{n} = q^{n-1} + q^{n-2} \\
+\implies q^{2} = q + 1 \\
+\textsl{woraus man die folgenden Lösungen erhält} \\
+F_{n} = \frac{\lambda_{1}^{n} - \lambda_{2}^{2}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_{1}^{n} + \underbrace{\left( \frac{-1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_{2}^{n} \right)}_{\stackrel{n \rightarrow \infty}\rightarrow 0}
+\end{align}
+\end{subequations}
+$\lambda_{2}$-Term geht sehr schnell gegen Null. Lässt man den zweiten Teil weg, d.h. man rechnet ``nur'' mit dem Wert $\frac{\lambda_{1}^{n}}{\sqrt{t}}$ und rundet immer auf die nächste ganze Zahl, so erhält man auch wieder die Fibonacci-Folge (Beweis per Derive). \\
+Setzt man $\lambda := \lambda_{1}$, so folgt daraus
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ n-2 = \log_{\lambda}(\lambda^{n-2})=\log_{\lambda} \left( \frac{\lambda^{n}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\lambda^{2}} \right) = \\
+= \log_{\lambda} \left( \frac{\lambda^{n}}{\sqrt{5}} \right) + \log_{\lambda}\left( \frac{\sqrt{5}}{\lambda^{2}} \right) = \\
+= \log_{\lambda}(F_{n}) + \underbrace{ \left( \log_{\lambda}\left( \frac{\lambda^{n}}{\sqrt{5}} - \log_{\lambda}(F_{n}) \right) \right) }_{\approx 0} + \underbrace{\log_{\lambda}\left( \frac{\sqrt{5}}{\lambda^{2}} \right)}_{\approx -0,33} = \\
+= \lfloor \log_{\lambda}(F_{n}) \rfloor, \quad n \geq 2
+ \end{align}
+\end{subequations}
+Wegen $F_{n} \leq a$ folgt insgesamt $n-2 \leq \lfloor \log_{\lambda}(a) \rfloor$.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Bemerkung zu Satz $1.10$]
+$ggT(72,108)=36 \cdot ggT(2,3)=36$, ``Distributivgesetz'' gilt.
+\end{bem}
+
+\begin{proof}[Beweis zu Satz $1.10$, Seite $4$]
+ Zeige zwei Eigenschaften von ggT:
+ \begin{equation}
+ ggT(a,b)\mid a \land ggT(a,b)\mid b \Rightarrow \frac{ggT(a,b)}{t} \mid \frac{a}{t} \land \frac{ggT(a,b)}{t} \mid \frac{b}{t}
+ \end{equation}
+Daher ist $\frac{ggT(a,b)}{t}$ ist ein gemeinsamer Teiler von $\frac{a}{t}$ und $\frac{b}{t}$. \\
+Es gilt: $\exists x,y \in \Z: ggT(a,b)=xa+yb$.
+\begin{equation}
+ \implies \frac{ggT(a,b)}{t} = x \frac{a}{t} + y \frac{b}{t}
+\end{equation}
+Jeder gemeinsame Teiler von $\frac{a}{b}$ und $\frac{b}{t}$ teilt auch rechte Linearkombination, insbesondere daher auch die linke Seite nach Rechenregeln der Teilbarkeitsrelation.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis zu Satz $1.11$, Seite $4$]
+% ein one-liner-beweis
+ $ggT(a,b)=1 \Rightarrow x,y\in \Z: xa+yb=1$, ``mal c'' liefert
+ \begin{equation}
+ xac + ybc = c
+ \end{equation}
+Nun gilt $a \mid xac, a \mid ybc$ nach Voraussetzung, daher teilt $a$ auch Summe, daher $a \mid c$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis zu Folgerung $1.14$, Seite $4$]
+ Unter gegebenen Voraussetzungen gilt: $kgV(a,b)=\frac{\vert ab\vert}{ggT(a,b)} = \vert a b \vert$, weiters gilt $kgV(a,b) \mid c$ weil $c$ ist gemeinsames Vielfaches, daher $ab \mid c$.
+\end{proof}
+
+
+\begin{proof}[Beweis zu Satz $1.16$, Seite $5$]
\begin{enumerate}
- \item Sei $p\in\P$ und es gelte $p|av \und p \nmid a$ , d.h. $\ggT(p,a)=1$. nach dem Lemma von Euklid (Satz 1.11) folgt daher $p|b$.
- \item Ist umgekehrt die Bedingung des Satzes erfüllt und gilt $p = a\cdot b$ mit $(a,b \in \N *$, so gilt einerseits $a|p \und b|p$, aber auch $p|a \oder p|b$ nach VS. Daraus folgt aber sofort $p = a \oder p= b,Q$
+ \item[``$\Rightarrow$''] Sei $p\in\P$ und es gelte $p \mid ab \und p \nmid a$ , d.h. $ggT(p,a)=1$ (da $p$ eine Primzahl ist), und nach dem Lemma von Euklid (Satz $1.11$) folgt daher $p \mid b$.
+ \item[``$\Leftarrow$''] Ist umgekehrt die Bedingung des Satzes erfüllt und gilt $p = a\cdot b$ mit $a,b \in \N^{*}$, so gilt einerseits $a \mid p \und b \mid p$, aber auch $p \mid a \oder p \mid b$ nach VS. Daraus folgt aber sofort $p = a \oder p= b$, da alle auftretenden Zahlen nichtnegativ sind.
\end{enumerate}
-\hfill$\blacksquare$
+\end{proof}
-\subsection*{Bew. 1.20}
+\begin{bem}
+Kein (!) Beweis zum Fundamentalsatz der Zahlentheorie, Satz $1.17$.
+\end{bem}
+
+\begin{proof}[Beweis zu Satz $1.20$, Seite $5$]
\begin{eqnarray*}
- \ggT(a,b) = \ggT(a,c) = 1 &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : xa+yb = ua +vc = 1\\
- &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : (xa +yb)(ua +vc) = (xau +xvc +ybu) a +(yv)(bc) = 1\\
- &\Rightarrow& \text{Jeder gem. Teiler von} a \text{ und }c \text{ teilt auch }1 \Rightarrow \ggT(a,c) =1
+ ggT(a,b) = ggT(a,c) = 1 &\Rightarrow& \exists x,y,u,v : xa+yb = ua +vc = 1\\
+ &\Rightarrow& (xa +yb)(ua +vc) = (xau +xvc +ybu) a +(yv)(bc) = 1\\
+ &\Rightarrow& \text{Jeder gemeinsame Teiler von} a \text{ und }c \text{ teilt auch }1 \Rightarrow ggT(a,c) =1
\end{eqnarray*}
-\hfill$\blacksquare$
-
-\subsection*{Bew. 1.21}
-Angenommen, $P=\{p_1,P_2,\cdots,p_r\}$, d.h. endlich. Die Zahl
-\begin{displaymath}
- N=p_1 p_2\cdots p_r +1
-\end{displaymath}
-Zahl dann $> 1$ und daher durch eine Primzahl $p$ teilbar, wobei man
-\begin{displaymath}
- p := min\{t \in \N * | t | n \und t > 1 \}
-\end{displaymath}
-Wenn $p| n \und p| n-1 = p_1p_2 \cdots p_r$ folgt daraus
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis zu Satz $1.21$, Seite $5$]
+Angenommen $P=\{p_1,p_2,\cdots,p_r\}$, d.h. von endlicher Mächtigkeit. Definiere
+\begin{equation}
+ N: = p_1 p_2 \cdots p_r +1
+\end{equation}
+Ist die Menge $\P$ nun endlich oder sogar leer, folgt für diese Zahl $N$ dann $N > 1$ und daher ist $N$ durch eine Primzahl $p$ teilbar, wobei man setzt
+\begin{equation}\label{eqminteiler}
+ p := \min \{ t \in \N^{*} : t \mid n \und t > 1 \}
+\end{equation}
+Die Menge in \eqref{eqminteiler}, über die das Minimum gebildet wird, ist nichtleer, denn sie enthält $N$, und da die natürlichen Zahlen wohlgeordnet sind, hat sie ein kleinstes Element. Dieses Minimum $p$ ist nun zwingendermaßen prim, da man sonst einen noch kleineren Teiler hätte, der die beiden Bedingungen in \eqref{eqminteiler} erfüllt. Weiters beachte man, dass hier der Fundamentalsatz der Zahlentheorie nicht verwendet wird!
+Es gilt
+\begin{equation}\label{pteiltN}
+p \mid N
+\end{equation}
+nach Konstruktion von $p$. \\
+$p$ ist prim, und da es nach VS nur endlich viele Primzahlen gibt, folgt, dass $p \in \lbrace p_{1}, \cdots, p_{r} \rbrace$. Daraus erhält man sofort
+\begin{equation}\label{pteiltp1bispr}
+ p \mid p_{1} p_{2} \cdots p_{r}
+\end{equation}
+Aufgrund der Rechenregeln der Teilbarkeit erhält man nun aus \eqref{pteiltN} und \eqref{pteiltp1bispr}, dass $p$ auch ihre Differenz teilt, und man erhält unter Verwendung von $p_1p_2 \cdots p_r = N-1$, dass gilt:
\begin{displaymath}
- p|1 = N-1(N-1) \Rightarrow $\blitza$
+ p \mid 1 = N-(N-1) \text{Widerspruch!}
\end{displaymath}
-Also ist $| \P | = \infty$, \hfill$\blacksquare$
-\subsection*{Anmerkung 1.21}
+Also ist $\vert \P \vert = \infty$.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Bemerkung zu Anmerkung $1.21$]
\begin{eqnarray*}
\sum_{p\in\P} \frac 1 p && \text{divergent (Euler)}\\
-\sum_{k=1}^{\infty} &=& \frac{\pi^2}{6}
+\sum_{k=1}^{\infty} &=& \frac{\pi^{2}}{6}
\end{eqnarray*}
-\subsection*{Anmerkung 1.22}
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Bemerkung zu Satz $1.22$, Seite $6$]
\begin{displaymath}
\pi(x) = \{ p \in \P | p \leq x\}, x\in \R^+
\end{displaymath}
+Der relative Fehler geht für $x \rightarrow \infty$ gegen Null:
+\begin{equation}
+\lvert \frac{\pi \left( x \right) - \frac{x}{\ln \left( x \right) }}{\pi \left( x \right)} \rvert = 1 - \underbrace{\left(\frac{\frac{x}{\ln \left( x \right)}}{\pi \left( x \right)}\right)}_{\stackrel{x \rightarrow} \longrightarrow 1} \stackrel{x \rightarrow \infty} \longrightarrow 0
+\end{equation}
+Man beachte, dass der Absolutfehler beliebig groß werden kann! \\
+Für den Integrallogarithmus betrachtet man eigentlich den Cauchy'schen Hauptwert des des Integrals, d.h.
+\begin{equation}
+ \lim \limits_{\varepsilon \searrow 0^{+}} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln \left( t \right)} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{dt}{\ln \left( t \right)} \right)
+\end{equation}
+Oder man kann auch für $x > 1$ das folgende Integral betrachten:
+\begin{equation}
+ \int_{0}^{2} \frac{dt}{\ln \left( t \right)} + \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln \left( t \right)}
+\end{equation}
Primzahldichte in der Nähe von $x \approx \frac 1 {ln(x)}$\\
-in der Gegend von $10^{100}$ : jede $\approx 230.$ Zahl ist eine Primzahl
+In der ``Gegend'' von $10^{100}$ : jede $\approx 230.$ Zahl ist eine Primzahl. Betrachtet man nur ungerade Zahlen, so halbiert sich die WS keine Primzahl zu ``erwischen''.
+\end{bem}
-\subsection*{Riemansche Vermutung}
-\begin{align}
- \zeta(s)&= \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^s} \hfill (re(s) >1)
-\end{align}
-Analytisch fortzetzen:
+\begin{bem}[Bemerkung zur analytischen Fortsetzung der $\zeta$-Funktion]
+Die $\zeta$-Funktion ist folgendermaßen definiert
+\begin{displaymath}
+ \zeta(s)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} \quad (Re(s) >1).
+\end{displaymath}
+Analytisch fortsetzen:
+\begin{subequations}
\begin{align}
- \zeta(s) & = 1 + \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} + \frac 1{4^s} + \frac 1{5^s} + \cdots\\
-\frac 2 {2^s}\zeta(s) & = \frac 2{2^s} + \frac 2{4^s} + \frac 2{6^s} + \cdots\\
-(1-2^{1-s})\zeta(s) & = 1 - \frac 1{2^s} + \frac 1{3^s} - \frac 1{4^s} + \frac 1{5^s} - \cdots = \eta(s)\\
-\zeta(s) & = \frac{\eta(s)}{(1-2^{1-s})}
+ \zeta \left( s \right) = 1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{4^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \cdots\\
+\frac{2}{2^{s}} \cdot \zeta \left( s \right) = \frac{2}{2^{s}} + \frac{2}{4^{s}} + \frac{2}{6^{s}} + \cdots\\
+\implies \left( 1-2^{1-s} \right) \zeta \left( s \right) = 1 - \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} - \frac{1}{4^{s}} + \frac{1}{5^{s}} - \cdots := \eta \left( s \right) \label{defetafkt}
\end{align}
-
-
-
+\end{subequations}
+Die obige Reihe in \eqref{defetafkt} konvergiert für $Re \left( s \right) > 0$. \\
+Für $s \neq 1$ gilt daher:
+\begin{equation}
+\zeta \left( s \right) = \frac{\eta \left( s \right)}{1-2^{(1-s)}}
+\end{equation}
+Die ``Mittelgerade'' des kritischen Streifens hat die Gleichung: $\frac{1}{2} + i \cdot t, t \in \R$. \\
+Riemann-Siegel-Formel erwähnt. \\
+\end{bem}
\section*{Vorlesung 28.3.12}
Riemann-Siegel-Formel?
$\chi : \Z \to \C$ ist ein Charakter $\mod m$, d.h.
\begin{enumerate}
\item $\chi(ab) = \chi(a)\chi(b) \forall a,b\in\Z$
- \item $ a \equiv b$ und $m \Rightarrow \chi (a) = \chi(b)$
- \item $\chi(a) = 0 \Leftrightarrow \ggT(a,m) \neq 1$
+ \item $ a \equiv b \mod m \Rightarrow \chi (a) = \chi(b)$
+ \item $\chi(a) = 0 \Leftrightarrow \gcd(a,m) \neq 1$
\end{enumerate}
-Für die analytische Fortsetzung von $L_{\lambda}(s)$ auf krit. Streifen gilt Nullstellen die gleiche Aussage.
-%
+
+Für die analytische Fortsetzung von $L_{\lambda}(s)$ auf krit. Streifen gilt Nullstellen die gleiche Aussage.\\
+Eine weitere Möglichkeit der Definition der Riemann'schen Zeta-Funktion ist gegeben durch:
+\begin{subequations}
\begin{align}
- \zeta(s) &= \prod_{p \in \mathbb{P}} \underbrace{\frac 1 {1 - \frac 1 {p^3}}} (Re(s) > 1)\\
- & \sum_{k=0}^{\infty} \frac 1 {p^{ks}} \to \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {n^s}
+ \zeta(s) &= \prod_{p \in \P} \underbrace{\frac 1 {1 - \frac 1 {p^{s}}}},\quad (Re(s) > 1)\\
+1-\frac{1}{p^{s}}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{p^{ks}} \\
+% & \sum_{k=0}^{\infty} \frac 1 {p^{ks}} \to \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {n^s}
+\prod \limits_{p \in \P} \left( \frac{1}{\sum (\cdots)} \right) \to \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}
\end{align}
-$\pi(x) = li(x) + O\left(\sqrt x \ln x\right) \Leftrightarrow $ Riemansche Vermutung (R. Koch)
-
-
+\end{subequations}
+Weiters gilt nach R. Koch:
+\begin{equation}
+\pi(x) = li(x) + O\left(\sqrt x \ln x\right) \Leftrightarrow \textsl{Riemansche Vermutung}
+\end{equation}
+Es existiert eine Abschätzung für die maximale Anzahl von Nullstellen, man zeigt, dass die Anzahl der Nullstellen auf der Mittelgeraden mit der maximalen Abschätzung übereinstimmt $\implies$ es gibt keine weiteren.
+
+\begin{bem}Mögliche Prüfungsfrage: Wozu braucht man Riemann'sche Vermutung? Für Primzahltests und Primzahlverteilung.
+\end{bem}
\subsection*{Beweis 2.2}
-$a \equiv b \mod m \und c \equiv\mod m \Rightarrow m| a-b \und m| c-d$
+$a \equiv b \mod m \land c \equiv d \mod m \Rightarrow m \mid a-b \wedge m\mid c-d$
\begin{align}
&\Rightarrow
\begin{cases}
- m|(a-b)\pm(c-d) = (a\pm x) - (b\pm d)\\
- m| a(b)c+b(c-d) = ac -bd
+ m|(a-b)\pm(c-d) = (a\pm c) - (b\pm d)\\
+ m| (a-b)c+b(c-d) = ac -bd
\end{cases}\\
&\Rightarrow
\begin{cases}
&\Rightarrow m|(a-b)+(b-c) = a-c\\
&\Rightarrow a\equiv c\mod m
\end{align}
+Daher reflexiv, symmetrisch und transitiv, d.h. eine Äquivalenzrelation. Aus der Verträglichkeit mit $+$ und $\cdot$ erhält man sogar eine Kongruenzrelation. \\
+Insbesondere erhält man dadurch auch eine Partition von $\Z$:
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ m=0 \Rightarrow \textsl{id-rel} \Rightarrow \Z \\
+ m > 0 \Rightarrow \lbrace \bar{0}, \bar{1}, \ldots, \bar{m-1} \rbrace
+ \end{align}
+\end{subequations}
\subsection*{Beispiel 2.2}
$(\Z_m,f m=z,3,4)$
\end{matrix}\\
\end{align}
+\begin{bem}
+ @Prf zu Satz 2.5: ``Formulieren und beweisen Sie den Satz, der die Lösbarkeit linearer Kongruenzen beschreibt''.
+\end{bem}
+
\subsection*{Beweis 2.5}
-Die Bedingung $d:= \ggT(a,m) | b$ ist notwendig für Lösbarkeit wegen
+Die Bedingung $d:= \gcd(a,m) \mid b$ ist notwendig für Lösbarkeit wegen
\begin{align}
- a\tilde x \equiv b \mod m \Rightarrow \exists k\in \Z : a\tilde x *km = b \Rightarrow d| b ( \text{wegen} d|a ,d|m \text{also auch} d|ax+km)
+ a\tilde x \equiv b \mod m \Rightarrow \exists k\in \Z : a\tilde x +km = b \Rightarrow d| b
\end{align}
-Ist umgekehrt die Bedingung $d|m$ efüllt und $d=ra+sm $ mit $r,s\in \Z$ eine Darstellung von $d$ als Linearkombination von $a\ \mod m$. Dann gilt
+wegen $d|a ,d|m$, also auch $d|ax+km$. \\
+Ist umgekehrt die Bedingung $d|m$ efüllt und sei $d=ra+sm $ mit $r,s\in \Z$ eine Darstellung von $d$ als Linearkombination von $a\ \mod m$. Dann gilt
\begin{align}
ra+sm&=d \\
r\frac bd a +s \frac b d m &= b\\
\end{align}
Also ist dann $x = r \frac b d $ eine Lösung von $a x \equiv b \mod m$
-Sind ferner $u \und v$ zwei Lösungen von $ax \equiv b\mod m$ , so gilt
+Sind ferner $u$ und $v$ zwei Lösungen von $ax \equiv b\mod m$ , so gilt
\begin{align}
au \equiv av \equiv b \mod m &\Rightarrow m | a(u-v)\\
- &\Rightarrow \frac m d | \frac a d (u-v) \und (\ggT(\frac m d,\frac a d) = 1\\
+ &\Rightarrow \frac m d | \frac a d (u-v) \und (\gcd(\frac m d,\frac a d) = 1\\
&\Rightarrow \frac m d | u-v \Rightarrow u\equiv v \mod \frac md
\end{align}
-Alle $\mod m$ in kongruenten Lösungen sind daher gegeben durch $u, u+ \frac m d, u + \frac{2m}d,\dots, u+(d-1)\frac m d$ \hfill $\blacksquare$
-
+Alle $\mod m$ in kongruenten Lösungen, es gibt $d$ Stück, sind daher gegeben durch $u, u+ \frac m d, u + \frac{2m}d,\cdots, u+(d-1)\frac m d$ \hfill $\blacksquare$
\section*{Vorlesung 18.4.12}
\subsection*{Erweiterung 2.10}
$m \in \P \Leftrightarrow \phi(m) = m-1$\\
-$\gamma = \lim_{n\to\infty}\left( \sum_{k=1}^n \frac 1 k - ln n \right) \approx 0.577\dots$
+$\gamma = \lim_{n\to\infty}\left( \sum_{k=1}^n \frac 1 k - ln n \right) \approx 0.577\cdots$
\subsection*{Ergänzung 2.11}
$n = 123$\\
einsetzen Beispiel!
\subsection*{Beweis 2.11}
-Sei $M_i = \frac {m_1m_2\dots m_r} {m_i} = m_1\dots m_{i-1}m_{i+1}\dots m_r, i = 1,2,\dots,r$ und sie $M_i^*$ Lösung von $M_ix\equiv 1 \mod m_i.$
-( Beachte, dass $\ggT(M_i,m) = 1$ wegen $\ggT(m_j,m_i) = 1 \forall j\neq i$)Es ist dann
+Sei $M_i = \frac {m_1m_2\cdots m_r} {m_i} = m_1\cdots m_{i-1}m_{i+1}\cdots m_r, i = 1,2,\cdots,r$ und sie $M_i^*$ Lösung von $M_ix\equiv 1 \mod m_i.$
+( Beachte, dass $\gcd(M_i,m) = 1$ wegen $\gcd(m_j,m_i) = 1 \forall j\neq i$)Es ist dann
\begin{align}
x&= \sum_{i=1}^r a_iM_i^*M_i
\end{align}
x = \underbrace{\left( \sum_{k=1}^{i-1} a_k M_k^*\underbrace{M_k}_{\equiv 0 \mod m_i} \right)}_{0 \mod m_i}%
+ \underbrace{a_i \underbrace{M_i^*M_i}_{\equiv 1 \mod m_i}}_{a_i \mod m_i}%
+ \underbrace{\left( \sum_{k=i+1}^{r} a_k M_k^*\underbrace{M_k}_{\equiv 0 \mod m_i} \right)}_{0 \mod m_i}%
- \equiv a_i \mod m_i,i= 1,2,\dots,r
+ \equiv a_i \mod m_i,i= 1,2,\cdots,r
\end{align}
Sind $x_1$ und $x_2$ beides Lösungend des Kongruenzensystems, d.h.
\begin{align}
- x_1 \equiv x_2 \equiv a_i mod m_i, i = 1,2,\dots,r
+ x_1 \equiv x_2 \equiv a_i mod m_i, i = 1,2,\cdots,r
\end{align}
So folgt daraus sofort
+\begin{subequations}
\begin{align}
- m_i|x_1-x_2\forall i = 1,2,\dots,r &\Rightarrow \kgV(m_1,m_2m,\dots,r) = m_1m_2\dots M_r | x_1-x_2 \nonumber \\
- &\Rightarrow x_1 \equiv x_2 \mod m_1,m_2,\dots,m_r
+ m_i|x_1-x_2\forall i = 1,2,\cdots,r \Rightarrow \lcm (m_1,m_2m,\cdots,r) = m_1m_2\cdots M_r | x_1-x_2 \nonumber \\
+ \Rightarrow x_1 \equiv x_2 \mod m_1,m_2,\dots,m_r
\hfill \blacksquare
\end{align}
+\end{subequations}
\subsection*{Ergänzung 2.??}
\begin{align}
- m = m_1m_2\dots m_r , ggT(m_i,m_j)=1 \forall i\neq j \Rightarrow \phi(m_1,m_2,\dots m_r) = \phi(m_1)\phi(m_2)\dots\phi(m_r)
+ m = m_1m_2\cdots m_r , \gcd(m_i,m_j)=1 \forall i\neq j \Rightarrow \phi(m_1,m_2,\cdots m_r) = \phi(m_1)\phi(m_2)\cdots\phi(m_r)
\end{align}
$ f:\N \to \N (k\in \N)$ d-h $\phi$-Funktion ist multiplikativ
$n\mapsto n^k$ stark Multiplikativ
\subsection*{Ergänzung 2.12}
-$\phi(p^e) = pe - \# \{ kp | k = 1,2,\dots,p^{e-1} \} = p^e-p^{e-1} = p^e(1- \frac{1}{p})$
+$\phi(p^e) = pe - \# \{ kp | k = 1,2,\cdots,p^{e-1} \} = p^e-p^{e-1} = p^e(1- \frac{1}{p})$
\subsection*{Beweis 2.13}
-Sei $\Z_m^* = \{ \bar a_1, \bar a_2, \dots, \bar a_{\phi(m)} \} $ die prime Restklassengurppe $\mod m$. Dann gilt für ein bel. $\bar a \in \Z_m^*$, dass
+Sei $\Z_m^* = \{ \bar a_1, \bar a_2, \cdots, \bar a_{\phi(m)} \} $ die prime Restklassengurppe $\mod m$. Dann gilt für ein bel. $\bar a \in \Z_m^*$, dass
\begin{align}
- \bar a \Z_m^* = \{\bar a \bar a_1,\dots,\bar a \bar a_{\phi(m)}\} = \{ \bar{aa_1},\dots,\bar{aa_{\phi(m)}\} = \{ \bar a_1, \dots, \bar a_{\phi(m)} \}
+ \bar a \Z_m^* = \lbrace \bar a \bar a_{1},\cdots,\bar a \bar a_{\phi(m)} \rbrace = \{ \bar{aa_{1}},\cdots,\bar{aa_{\phi(m)}} \} = \{ \bar a_{1}, \cdots, \bar a_{\phi(m)} \}
\end{align}
-(denn wäre $\bar a \bar a_i = \bar a \bar a_j$, für $i\neq j$, so wäre daruas durch Mult mit $\bar a^{-1}$ sofort $\bar a_i = \bar a_j,$ \blitza)
+(denn wäre $\bar a \bar a_i = \bar a \bar a_{j}$, für $i\neq j$, so wäre daraus durch Mult mit $\bar a^{-1}$ sofort $\bar a_{i} = \bar a_{j},$ \blitza)
\subsection*{Beweis 2.16}
Setzen $e:= \ord_m(a)$
\begin{enumerate}
-\item Sei $a \equiv 1 \mod m und i = q\cdot e +r $ mit $0 \leq r\leq e$ ( Dann $i$ durch $e $ ist Quotienten $q$ und Rest $r$).
+\item Sei $a \equiv 1 \mod m$ und $i = q\cdot e +r $ mit $0 \leq r\leq e$ ( Dann $i$ durch $e $ ist Quotienten $q$ und Rest $r$).
Dann gilt:
- $a^r\equiv a^{i-q\cdot e} \equiv a^i(a^e)^{-q} \equiv 1 mod m \Rightarrow r = \empty $ (Sonst Wiederspruch zur M eigenschaft von $e = \ord_m(a)$)
- Umgekerht folgt aus $e|i$, als $ i= q\cdot e$ für ein $q \in \Z$, dass $a^i = a^{q \cdot e} = (a^e)^q \equiv 1 \mod m$
+ $a^r\equiv a^{i-q\cdot e} \equiv a^i(a^e)^{-q} \equiv 1 mod m \Rightarrow r = \empty $ (Sonst Widerspruch zur M eigenschaft von $e = \ord_m(a)$)
+ Umgekehrt folgt aus $e|i$, als $ i= q\cdot e$ für ein $q \in \Z$, dass $a^i = a^{q \cdot e} = (a^e)^q \equiv 1 \mod m$
\item $a^i \equiv a^j \mod m \Leftrightarrow a^{i-j} \equiv 1 mod m \Leftrightarrow e|i-j \Leftrightarrow i \equiv j \mod e$
\item
\end{enumerate}
-$\Rightarrow \ord_(a^k) = \frac e {\ggT(k,e)}
-
-
-
+$\Rightarrow \ord_(a^k) = \frac e {\gcd(k,e)}$
+
+\subsection*{VO 25.4.2012}
+Betrachte $ax^{2}+bx+c \equiv 0 \mod m, \gcd(a,m)=1$, m ungerade. Dann gilt
+\begin{equation}
+ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
+\end{equation}
+Anzahl der Lösungen $x^{2} \equiv a \mod p$ ist $1+\left( \frac{a}{p} \right)$.\\
+Das Euler'sche Kriterium kann nicht verallgemeinert werden. \\
+@(4) stark multiplikativ im Zähler. \\
+
+\begin{proof}[Beweis zu Satz $3.2$, Seite $10$]
+ \begin{itemize}
+ \item Folgt unmittelbar aus der Definition des Legendre-Symbols, wegen
+\begin{equation}
+a \equiv b \mod p \implies \left[ x^{2} \equiv a \mod p \textsl{ ist lösbar } \Leftrightarrow x^{b} \equiv b \mod p \textsl{ ist lösbar} \right]
+\end{equation}
+\item Ist $g$ eine Primitivwurzel $\mod p$, so ist dann $\lbrace g, g^{2}, \ldots, g^{p-1} \rbrace$ ein volles primes Restsystem $\mod p$ und daher sind
+ \begin{equation}
+ \underbrace{g^{2}, g^{4}, \ldots, g^{\left(\frac{p-1}{2}\right)^{2}}=g^{p-1}\equiv 1 \mod p}_{\textsl{versch. quadr. Reste}}, \underbrace{g^{\lbrace \frac{p+1}{2} \right)^{2}}}_{\textsl{Wiederholung}} \equiv g^{2} \mod p, \ldots
+ \end{equation}
+daher sind $g^{2}, g^{4}, g^{p-1}$ alle quadratischen Reste, und die ungeraden Potenzen sind quadratische Nichtreste.
+\item \hfill
+ \begin{itemize}
+ \item[1. Fall] $a$ ist quadratischer Rest $\implies \exists k \in \N: a \equiv g^{2k} \mod p$, woraus folgt dass
+ \begin{equation}
+ a^{\left( \frac{p-1}{2}\right)} \equiv \left( g^{2k} \right)^{\left( \frac{p-1}{2} \right)} = \left( g^{p-1} \right)^{k} \equiv 1 \mod p \equiv \left( \frac{a}{p} \right) \mod p
+ \end{equation}
+ \item[2. Fall] $a$ ist quadratischer Nichtrest, d.h. $\exists k \in \N: a \equiv g^{2k+1} \mod p$, dann gilt
+ \begin{equation}
+ a^{\left( \frac{p-1}{2} \right)} \equiv \left( g^{2k+1} \right)^{\left( \frac{p-1}{2} \right) } \equiv \underbrace{g^{(p-1)k}}_{\equiv 1 \mod p} \cdot \underbrace{g^{\left( \frac{p-1}{2} \right)}}_{\equiv -1 \mod p} \equiv 1 \equiv \lbrace \frac{a}{p} \rbrace \mod p
+ \end{equation}
+Warum $\equiv -1 \mod p$? da $g^{\frac{p-1}{2}}$ Lösung von $x^{2} \equiv 1 \mod p$ ist $\implies$
+ \end{itemize}
+ \end{itemize}
+\end{proof}
+
+%Vorlesung 2.5.2012
+Zu Lucas-Folgen: sind Verallgemeinerung von Fibonacci-Folgen, sind wichtig für Primzahltests. \\
+\begin{proof}[Beweis zu Satz $4.2$, Seite $13$]
+ Wegen $(x-\alpha)(x-\beta)=x^{2} - Px + Q = 0$ erhält man durch einen Koeffizientenvergleich
+ \begin{equation}
+ P=\alpha+\beta, Q = \alpha \beta
+ \end{equation}
+Durch unmittelbares Einsetzen erhält man:
+\begin{subequations}
+\begin{align}
+ U_{m}V_{n} - Q^{n}U_{m-n} = \frac{\alpha^{m}-\beta^{m}}{\alpha-\beta} \left( \alpha^{n} - \beta^{n} \right) - \left( \alpha \beta \right)^{n} \cdot \left( \frac{\alpha^{m-n} - \beta^{m-n}}{\alpha-\beta} \right)= \\
+= \left( \frac{1}{\alpha - \beta} \right) \cdot \left( \alpha^{m+n} + \alpha^{m}\beta^{n} - \alpha^{n} \beta^{m} - \beta^{m+n} - \alpha^{m} \beta^{n} + \alpha^{n} \beta^{m} \right) = \\
+= \frac{\alpha^{m+n} - \beta^{m+n}}{\alpha-\beta} \stackrel{\textsl{nach Def.}} = U_{m+n}
+\end{align}
+\end{subequations}
+Genauso erhält man für die $V$-Folge
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ V_{m}V_{n} - Q^{n} V_{m-n} = \left( \alpha^{m} + \beta^{m}\right) \left( \alpha^{n} + \beta^{n} \right) - \left( \alpha \beta \right)^{n} \left( \alpha^{m-n} + \beta^{m-n} \right) = \\
+= \alpha^{n+m} + \alpha^{m} \beta^{n} + \alpha^{n} \beta^{m} + \beta^{m+n} - \alpha^{m} \beta^{n} - \alpha^{n} \beta^{m} = \\
+= \alpha^{n+m} + \beta^{m+n} \stackrel{\textsl{nach Def.}} = V_{m+m}
+ \end{align}
+\end{subequations}
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis zu Folgerung $4.3$, Seite $13$]
+ Durch Einsetzen erhält man direkt
+ \begin{subequations}
+\begin{align}
+ U_{0} = \frac{\alpha^{0} - \beta^{0}}{\alpha - \beta} = 0, \quad U_{1} = \frac{\alpha^{1} - \beta^{1}}{\alpha - \beta} = 1 \\
+ V_{0} = \alpha^{0} + \beta^{0} = 2, \quad V_{1} = \alpha + \beta = P
+\end{align}
+ \end{subequations}
+Ferner folgt aus Satz $4.2$ mit $n=1$, dass
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ U_{m+1} = U_{m} \underbrace{V_{1}}_{=P} - Q^{1} U_{m-1} = PU_{m} - Q U_{m-1} \\
+ V_{m+1} = V_{m} \underbrace{V_{1}}_{=P} - Q^{1} V_{m-1} = PV_{m} - Q V_{m-1},
+ \end{align}
+\end{subequations}
+also dass, was zu zeigen war.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis zu Folgerung $4.4$, Seite $13$]
+ Folgt wieder aus Satz $4.2$ wegen
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ U_{2n} = U_{n+n} = U_{n}V_{n} - Q^{n}U_{0} = U_{n} V_{n} \\
+ U_{2n+1} = U_{(n+1)+n}=U_{n+1}V_{n} - Q^{n} U_{1} = U_{n+1}V_{n} - Q^{n} \\
+V_{2n} = V_{n+n} = V_{n} V_{n} - Q^{n} V_{0} = V_{2}^{2} - 2Q^{n} \\
+V_{2n+1} = V_{(n+1)+n} = V_{n+1}V_{n} - Q^{n} V_{1} = V_{n+1} V_{n} - PQ^{n}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+$\implies$ leichte Berechenbarkeit der Lucasfolge.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+ Bsp zur Berechnung von $V_{100}$ mit Hilfe von $4.4$.
+\end{bem}
+
+\begin{proof}[Beweis von Lemma $4.6$, Seite $13$]
+ Zur Invertierung von $2 \mod r$ für eine ungerade Zahl $r$:
+ \begin{equation}
+ \frac{1}{2} \mod r \equiv \underbrace{\frac{1+r}{2}}_{\in \Z} \mod r
+ \end{equation}
+Man berechne:
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ \left( 2 \alpha \right)^{r} = \left( R+\sqrt{D} \right)^{r} = \\
+= P^{r} \underbrace{\sum \limits_{k=1}^{r-1} \binom{r}{k} P^{k} \left( \sqrt{D} \right)^{r-k}}_{=:*} + \left( \sqrt(D) \right)^{r} = \\
+\equiv P^{r} + \left( \sqrt{D} \right)^{r} \equiv P^{r} + D^{\frac{r-1}{2}} \sqrt{D} \\
+\stackrel{\textsl{(**)}} \equiv P + \left( \frac{D}{r} \right) \equiv \begin{cases}P + \sqrt{D} \equiv 2 \alpha \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = 1 \\ P - \sqrt{D} \equiv 2 \beta \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = -1 \end{cases}
+ \end{align}
+\end{subequations}
+@(*): es gilt
+\begin{equation}
+ \binom{r}{k} = \frac{r(r-1)\cdots(r-k+1)}{1\cdot 2 \cdots k} \equiv 0 \mod r
+\end{equation}
+denn angenommen $r \mid 1 \cdot 2 \cdots k \Rightarrow r \mid i$ für ein $i \in \lbrace 1,2, \ldots, r-1 \rbrace$, denn wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, teilt sie einen Faktor, daher WS zu r ist Primzahl. \\
+@(**): Es gilt nach dem ``kleinen Fermat'': $P^{r} \equiv P \mod r$. Weiters gilt nach dem Euler'schen Kriterium:
+\begin{equation}
+ D^{\frac{r-1}{2}} \equiv \left( \frac{D}{r} \right) \mod r
+\end{equation}
+Nun gilt aber
+\begin{equation}
+ 2 \alpha^{r} \stackrel{\textsl{kl. Fermat}} \equiv 2^{r} \alpha^{r} = \left( 2 \alpha \right)^{r} \equiv \begin{cases} 2 \alpha \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = 1 \\ 2\beta \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = -1 \end{cases}
+\end{equation}
+Durch Kürzen durch $2$ ($2^{-1} \mod r$ existiert, da ja $\gcd(2,r)=1$ da $r$ ungerade nach Voraussetzung) folgt die Behauptung für $\alpha$. Beweis für $\beta$ analog.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+ Den zwei Fällen im vorigen Lemma liegt folgendes zugrunde:
+ \begin{itemize}
+ \item $\alpha, \beta \in \Z_{r} \implies$ ``kleiner Fermat'' $\implies$ fertig.
+ \item $\alpha \vee \beta \notin \Z_{r} \implies \alpha, \beta \in \Z_{r^{2}} \geq \Z_{r}$. $\Z_{r^{2}}$ hat genau einen nichtrivialen Automorphismus und es gilt
+ \begin{equation}
+ \mathcal{F} = \lbrace a + b \sqrt{D} \mid a,b \in \Z_{r} \rbrace
+ \end{equation}
+Es folgt daher, dass die Funktionen $x \mapsto x^{r}$ und $a+b\sqrt{D} \mapsto a - b \sqrt{D}$ der gleiche Automorphismus sind.
+ \end{itemize}
+\end{bem}
+
+\begin{proof}[Beweis zu Satz $4.7$, Seite $14$]
+Es gilt $\left( \frac{D}{r} \right) \in \lbrace \pm 1 \rbrace$ wegen $\gcd(r,QD)=1$.
+ \begin{itemize}
+ \item[(1)] Sei zunächst $\lbrace \frac{D}{r} \rbrace = 1$. Dann gilt nach Lemma $4.6$
+ \begin{equation}
+ \alpha^{r} \equiv \alpha \mod r, \beta^{r} \equiv \beta \mod r
+ \end{equation}
+woraus durch Kürzen (beachte $\alpha \nequiv 0 \mod r, \beta \nequiv \mod r$, da sonst $Q = \alpha \beta \equiv 0 \mod r$ wäre, im Widerspruch zu $\gcd(r,QD)=1$) folgt $\alpha^{r-1} \equiv 1 \mod r, \beta^{r-1} \equiv 1 \mod r$. \\
+Es gilt daher
+\begin{equation}
+ \left( \alpha - \beta \right) U_{r-1} = \alpha^{r-1} - \beta^{r-1} \equiv 1 -1 \equiv 0 \mod r
+\end{equation}
+Nun ist aber $\alpha - \beta = \sqrt{D} \nequiv 0 \mod r$ (weil $\sqrt{D} \mod r \Rightarrow D = (\sqrt{D})^{2} \equiv 0 \mod r \Rightarrow \gcd(r,QD) \neq 1 \blitza$), woraus durch Kürzen tatsächlich $U_{r-1} \equiv 0 \mod r$ folgt. \\
+Sei nun $\left( \frac{D}{r} \right) = -1$. Daher gilt nach Lemma $4.6$
+\begin{subequations}
+\begin{align}
+\alpha^{r} \equiv \beta \mod r \\
+\beta^{r} \equiv \alpha \mod r
+\end{align}
+\end{subequations}
+Daher gilt
+\begin{equation}
+(\alpha - \beta)U_{r+1} = (\alpha^{r+1} - \beta^{r+1} )=alpha \alpha^{r} - \beta \beta^{r} \equiv \alpha \beta - \alpha \beta \equiv 0 \mod r,
+\end{equation}
+woraus wie vorhin durch Kürzen $U_{r+1} \equiv 0 \mod r$ folgt.
+\item[(2)] Wegen $U_{2n} = U_{n}V_{n}$ nach $4.4$ gilt
+ \begin{subequations}
+ \begin{align}
+ U_{r-\left( \frac{D}{r} \right)} = U_{s \cdot 2^{t}} = U_{s2^{t-1}}V_{s2^{t-1}} = \cdots = \\
+= U_{s}V_{s}V_{2s}V_{4s} \cdots V_{s2^{t-1}} \equiv 0 \mod r \textsl{ nach (1)}
+ \end{align}
+ \end{subequations}
+$r$ ist Primzahl, daher teilt r einen Faktor, woraus die Behauptung direkt folgt.
+\item[(3)] Es gilt
+ \begin{equation}
+ (\alpha - \beta)U_{r} \equiv \alpha^{r} - \beta^{r} \equiv \begin{cases}\alpha - \beta \mod r, \left( \frac{D}{r} \right)=1 \\ \beta - \alpha \mod r, \left( \frac{D}{r} \right) = -1 \end{cases}
+ \end{equation}
+Woraus durch Kürzen folgt: $U_{r} \equiv \left( \frac{D}{r} \right) \mod r$.
+ \end{itemize}
+\end{proof}
\end{document}
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