[doc] Einleitung

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@@ -77,14 +77,13 @@
 \section{Einleitung}
 
 \subsection{Allgemein}
-In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit numerischen Lösungsverfahren für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen,
-\begin{align}
+In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Randelementmethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen,
+\begin{align*}
  - \varDelta u  &= 0 &\text{ in } \Omega& \subset \R^3\\
- u &=  f &\text{ auf } \Gamma&:=\partial\Omega \nonumber
-\end{align}
- wobei
-$\Omega \subset \R^3$ beschränkte Teilmenge von $\R^3$ 
-mit Dirichlet-Rand $\Gamma := \partial \Omega$\\
+ u &=  f &\text{ auf } \Gamma&:=\partial\Omega
+\end{align*}
+wobei der Laplace-Operator $\varDelta u := \partial_x^2u+\partial_y^2u$ ist und $\Omega \subset \R^3$ sei eine beschränkte Teilmenge von $\R^3$ 
+mit Dirichlet-Rand $\Gamma := \partial \Omega$.\\
 
 $\abs{u(x)} =  O(\abs{x}^{-1}) \nonumber$
 Daraus folgt:
@@ -194,7 +193,7 @@ Damit ist $\phi_{\ell}$ die Galerkinapproximation an $\phi$
 Für die Diskretisierung des Problems wollen wir nun einige Begriffe definieren.
 
 \begin{defi}
- Sei $T \subseteq \R^3$ ein achsenorientiertes Rechteck, wenn sich aus dem Eckpunkt $C \in \R^3$, alle weiteren Knoten schreiben lassen als $\{ C + a\cdot A, C + a \cdot A + b \cdot B , C + b \cdot B\}$, wobei Vektoren $A,B \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$ und Skalare $a,b\neq0$ sind und der Flächeninhalt $|T| > 0$. Weiterhin sei
+ Sei $T \subseteq \R^3$ ein achsenorientiertes Rechteck, wenn sich aus dem Eckpunkt $C \in \R^3$, alle weiteren Knoten schreiben lassen als $\{ C + a\cdot A, C + a \cdot A + b \cdot B , C + b \cdot B\}$, wobei Vektoren $A,B \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$. und Skalare $a,b\neq0$ sind und der Flächeninhalt $|T| > 0$. \todo{Kanten/Seiten definieren? Anmerken, dass ein Kante als Vektor nur eine dim $\neq 0$?}\\Weiterhin sei
  \begin{align}
   C_T &:= \{ c_i:1\leq i \leq 4\}
  \end{align}
@@ -229,7 +228,13 @@ anliegen können. Weiterhin wollen wir auch verlangen, dass der auf der Kante li
 \begin{alg}[Verfeinern] \label{alg:refine} Sei $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine gegebenes Netz und $marked$ eine gegebene Markierung wobei $marked_j \hat =$ Markierung von $T_j$. Nun sei $j = 1$ und gehe so vor:
  \begin{enumerate}
   \renewcommand{\theenumi}{(\roman{enumi})}
-  \item falls Kante von $T_j$ \todo{hanging-node} ist, markiere zusätzlich den Nachbarn und gehe zu Schritt \ref{alg:refine:last} \label{alg:refine:checkHN}
+  \item
+  \begin{itemize}
+  \item falls ein Eckpunkt von $T_j$ in der Kante eines Nachbarelements liegt
+  \item falls Eckpunkt von $T_j$ Hängender-Knoten ist,
+  \end{itemize}
+
+ markiere zusätzlich den Nachbarn und gehe zu Schritt \ref{alg:refine:last} \label{alg:refine:checkHN}
   \item teile $T_j$ wie in $marked_j$ vorgegeben
   \item aktualisiere Nachbarinformationen 
   \item halte fest in welche Elemente $T_j$ zerlegt wurde