\usepackage{emaxima}
%\usepackage{ngerman}
+\pagestyle{fancy}
+\chead{3. Übung ZtuA}
+\rhead{Mi, 9. Mai 2012}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\N{\mathbb{N}}
\author{}
\begin{document}
-\maketitle
+
%\section*{$3$. Übung}
\subsection*{$13$. Aufgabe}
{\texttt{Man beweise, dass es je unendlich viele Primzahlen der Form a) 4k+3 und b) 4k+1 gibt. (Hinweis: Man verwende dazu jeweils eine geeignete Variante des klassischen Beweises von Euklid über die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen, wobei speziell für den Beweisteil b) der erste Ergänzungssatz benötigt wird.)} \newline
es ist also $-1$ quadratischer Rest $\mod p$. Dies steht nun im Widersrpuch zum 1. Ergänzungssatz.
\end{enumerate}
+\newpage
\subsection*{$14$. Aufgabe}
{\texttt{(``Briefmarkenproblem'') Unter der Annahme, dass man von zwei Briefmarkensorten mit den Werten $a$ und $b$, wobei $a,b>0$ ganz und teilerfremd vorausgesetzt werden, beliebig viele Briefmarken zur Verfügung hat, zeige man, dass ab einer gewissen Schranke $s$ jede ganzzahlige Frankierung damit möglich ist. Was ist die kleinste derartige Schranke? (Hinweis: Man verwende zunächst den Chinesischen Restsatz, um zu zeigen, dass die Menge $S=\lbrace ax+by \mid 0 \leq x < b, 0 \leq y < a \rbrace$ ein volles Restsystem $\mod ab$ ist und betrachte dann die Partition $S=S_{0} \cup S_{1}$ von $S$, wobei $S_{0} = \lbrace x \in S \mid x <ab \rbrace$ und $S_{1} = S \setminus S_{0}$. Welcher Zusammenhang besteht zwischen $S_{0}$ und $S_{1}$?)}} \newline
Gilt $a = 1 \vee b = 1$ so ist die Aufgabe trivial, daher sei im Folgenden $a \neq 1 \land b \neq 1$, und oBdA $a < b$. \newline
m_{1}=a, m_{2}=b, M = m_{1} m_{2}, M_{i} := \frac{M}{m_{i}}, \\
x \equiv a_{i} \mod m_{i}, i=1, \cdots, k \\
s_{i} := inv(M_{i}, \Z_{m_{i}}) \\
-\implies x = \sum_{i=1}^{k} a_{i} \cdot s_{i} \cdot M_{i} \textsl{ ist (eindeutige) Lösung.}
+\implies x = \sum_{i=1}^{k} a_{i} \cdot s_{i} \cdot M_{i} \mod M
\end{align}
\end{subequations}
+ist die eindeutige Lösung $\mod M$. \newline
Aus $M_{1} = m_{2}=b, M_{2} = m_{1}=a$ erhält man nun:
\begin{equation}\label{abschS}
-\implies u = u_{a} \cdot inv(b,\Z_{a}) \cdot b + u_{b} \cdot inv(a,\Z_{b}) \cdot a
+\implies u = u_{a} \cdot inv(b,\Z_{a}) \cdot b + u_{b} \cdot inv(a,\Z_{b}) \cdot a \mod ab
\end{equation}
-Aus $0 \leq u < ab$ erhält man nun sofort, da beide Summanden $\geq 0$ sind, dass die behaupteten Ungleichungen für die Faktoren vor $b$ und $a$ stimmen, da sonst $u \geq ab$ folgen würde, im WS zur Annahme von $u$. Daher ist $S$ ein vollständiges Restsystem $\mod ab$. \\
+ist die eindeutige Lösung $\mod ab$. \\
+Nun erhält man aber aus \eqref{abschS} das Folgende
+\begin{subequations}
+\begin{align}
+u_{a} \cdot inv(b,\Z_{a}) \cdot b + u_{b} \cdot inv(a,\Z_{b}) \cdot a \mod ab \equiv \\
+\equiv \left( u_{a} \cdot inv(b,\Z_{a}) \cdot b \mod ab \right) +\nolimits_{\Z_{ab}} \left( u_{b}\cdot inv(a,\Z_{b}) \cdot a \mod ab \right) \label{gl0}
+%\equiv \left( \left( u_{a} \cdot inv(b,\Z_{a}) \mod ab \right) \cdot \nolimits_{\Z_{ab}} \left( b \mod ab \right) + \nolimits_{\Z_{ab}} \left( \left( u_{b} \cdot inv(a,\Z_{b}) \mod ab \right) \cdot \nolimits_{\Z_{ab}} \left( a \mod ab \right) \equiv \label{gl0} \\
+\end{align}
+\end{subequations}
+Betrachte nun folgende Darstellung für beliebiges $\gamma \in \N$:
+\begin{subequations}\label{erg0}
+\begin{align}
+\exists k_{b} \in \N: \gamma b = k_{b} (ab) + r_{b} \land 0 \leq r_{b} < ab \land \gamma b \equiv r_{b} \mod ab \\
+\Rightarrow (\gamma-k_{b} \cdot a)b = r_{b} \\
+\Rightarrow 0 \leq (\gamma - k_{b}a)b < ab \Rightarrow (\gamma - ka) < a
+\end{align}
+\end{subequations}
+Setzt man speziell $\gamma := u_{a} \cdot inv(b,\Z_{a}), \delta := u_{b} \cdot inv(a,\Z_{b})$ und setzt man die Ergebnisse aus \eqref{erg0} in \eqref{gl0} ein, so erhält man
+\begin{subequations}
+\begin{align}
+\eqref{gl0} \equiv \left( \gamma-k_{b}a \right) b + \left( \delta-k_{a}b \right) a \mod ab \label{darst}
+\end{align}
+\end{subequations}
+In \eqref{darst} hat man nun die gesuchte Darstellung als Element von S. Daher ist $S$ ein vollständiges Restsystem $\mod ab$. \\
Klarerweise sind $S_{0}$ und $S_{1}$ disjunkt. Aus $0 \in S_{0}$, bzw $(b-1,1) \cong a(b-1)+b = ab-a+b>ab$ folgt, dass $S_{0} \neq \emptyset, S_{1} \neq \emptyset$. Daher:
\begin{equation}\label{S1}
\exists \delta \in \Z_{ab}: \left( \exists t \in S_{1}: \delta \equiv t \mod ab \right) \land \left( \forall \sigma \in S_{0}: \delta \nequiv \sigma \mod ab \right)
\end{equation}
Sei nun $n \in \N \implies \exists k \in \N: n = k \cdot (ab) + r \land 0 \leq r < ab$. Ist $k \geq 2$, so kann man n sicher mit Hilfe des vollen Restsystems und der Abschätzung \eqref{abschS} darstellen. Insbesondere folgt aus \eqref{S1}, dass $s=ab$.
+\newpage
\subsection*{$15$. Aufgabe}
{\texttt{Man zeige: Ist $p \in \P$ der Form $4k+3 \Rightarrow x^{2} \equiv -1 \mod p$ ist sicher nicht lösbar, ist $p$ der Form $4k+1$, so ist $x_{0} := \left( \frac{p-1}{2} \right)! \mod p$ eine Lösung. (Hinweis: Für den ersten Teil Primitivwurzel $\mod p$, und über Potenzen von g argumierentieren. Für den zweiten Teil zeige zunächst $x_{0}^{2} \equiv (p-1)! \mod p$ und zeige dann $(p-1)! \equiv -1 \mod p$). }} \newline
Sei $p \in \P$ und $p \equiv 3 \mod 4$. Nach dem Satz von Gauß existiert eine Primitivwurzel $ g \mod p$.
\end{align}
\end{subequations}
+\newpage
\subsection*{$16$. Aufgabe}
{\texttt{Man berechne die Legendresymbole (700/769) und (1215/1381) zuerst ohne und dann mit Verwendung von Jacobisymbolen.}} \newline
Zuest ist Folgendes zu überprüfen, um von Legendre- bzw Jacobisymbolen sprechen zu können:
= \left( \frac{53}{15} \right)_{J} = \left( \frac{8}{15} \right)_{J} = \left( \left( \frac{2}{15} \right)_{J} \right)^{4} = 1
\end{align}
\end{subequations}
+
+\newpage
\subsection*{$17$. Aufgabe}
{\texttt{Man bestimme alle ungeraden Primzahlen $p$, für welche $10$ quadratischer Rest ist.}} \newline
Aus $10 = 2 \cdot 5$ erhält man aus Satz 3.2, (4):
\item Seien beide Faktoren gleich $-1$. Daher ist $p \equiv \pm 3 \mod 8 \land \left( p \equiv 2 \mod 5 \vee p \equiv 3 \mod 5 \right)$.
\end{itemize}
+\newpage
\subsection*{$18$. Aufgabe}
{\texttt{Man zeige: Ist $p$ eine Primzahl, sodass auch $q=2p+1$ prim ist, so teilt $q$ entweder $2^{p}-1$ oder $2^{p}+1$ und zwar in Abhängigkeit davon, ob $2$ quadratischer Rest $\mod q$ ist oder nicht. (Für welche Mersenn'sche Zahlen $2^{p}-1$ mit $p<100$ sieht man so sofort, dass sie zusammengesetzt sind?).}} \newline
\begin{enumerate}
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