unter bestimmten Voraussetzungen an die affinen Randstücke $T_j,T_k$ und den asymptotisch glatten Integranden $\kappa : \R^3 \times \R^3 \to \R$.
\subsection{Interpolation}
-An dieser stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren.
+An dieser stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. Ferner wollen wir mithilfe von Chebyshev-Knoten einen Fehlerschätzer für die Chebyshev'sche Interpolation auf Intervallen $[0,1]^d$ mit $d \in \N$ definieren. Im Folgenden bezeichnet $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$.
\begin{defi}
Für einen festen Grad $p \in \N$ und paarweise verschiedene Knoten $x_j \in [0,1]$ lautet das Lagrange'sche Interpolations Problem:
\begin{align*}
L_j(x) &= \prod_{i=1,i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-xi}.
\end{align*}
-wissen wir aus \todo{cite}, dass das Lagrange'sche Interpolations Problem eine eindeutige Lösung hat, gegeben durch
+wissen wir aus \todo{cite}, dass für das Lagrange'sche Interpolations Problem eine eindeutige Lösung gegeben ist, durch
\begin{align*}
q&=\sum_{j=0}^py_jL_j.
\end{align*}
% \begin{align}
% \Lambda_p &:= \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}.
% \end{align}
-Eine einfache Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator ist
+Wie an der einfachen Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator
\begin{align}
-\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq \frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!} \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^n \abs{x-x_j}
-\quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1]).
+\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq 2\frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!} \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^n \abs{x-x_j}
+\quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1])
\end{align}
-\todo{
-Chebyshev-Polynome:
+ zu sehen ist, hängt diese noch von der Wahl der Knoten ab. Um den Fehler weiter zu verbessen, werden wir das Produkt
+\begin{align*}
+ \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^n \abs{x-x_j}
+\end{align*}
+durch benutzen von Chebyshev-Knoten minimieren. Diese sind für das Intervall $[-1,1]$ gegeben durch
+\begin{align*}
+ x_j &= \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{ für } j=1,\ldots,p.
+\end{align*}
+Durch affine Transformation der Chebyshev-Knoten, ergibt sich der Fehlerschätzer
+\begin{align}
+ \norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]}
+ &\leq 4^{-p+1} \frac{\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}}{p!}
+ \quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1])
+\end{align}
+für Chebyshev-Polynome auf .\\
+Ferner wollen wir nun die Interpolation auf Intervallen der Gestalt $[0,1]^d$ mit $d\in\N$ einführen.
+\begin{sat}
\begin{align}
- x_j &= \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac12 \right) \quad \text{ für } j=1,\ldots,p.
+ \norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]^d}
+ &\leq \frac{ 4^{-p+1}}{p!}\lambda_p^{d-1}\sum_{j=1}^d \norm{\partial_j^d u^{(p)}}_{\infty,[0,1]^d}
+ \quad \text{ für alle }u \in \C^p([0,1])
\end{align}
-Multi-Interpol}
+\end{sat}
+
\subsection{Gauss-Quadratur}
Im Folgenden wollen wir die klassische Gauss-Quadratur definieren.\\
\end{bem}
\subsection{Approximierende Matrix}
-
-\subsection{Quadratur über eine Achse}
-\subsubsection{Quadratur}
-\begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_A > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-zulässig, genau dann wenn
- \begin{align}\label{math:sem:zetaQ}
- \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_A \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)).
- \end{align}
- Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-unzulässig.
+\begin{defi}
+ Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke und $A \in \R^{n \times n}$ gegeben durch \eqref{math:gal:kap}. Dann ist die $A$ approximierende Matrix $A_p$ folgendermaßen definiert.
+ \begin{itemize}
+ \item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta$-unzulässig, so ist
+ \begin{align*}
+ (A_p)_{jk} := A_{jk}.
+ \end{align*}
+ \item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta$-zulässig und $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$, so ist
+ \begin{align*}
+ (A_p)_{jk} := (A_{\zeta})_{jk}.
+ \end{align*}
+ \item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta$-zulässig und $\diam(T_j) > \diam(T_k)$, so ist
+ \begin{align*}
+ (A_p)_{jk} := (A_{\zeta})_{kj}.
+ \end{align*}
+ \end{itemize}
\end{defi}
-\begin{sat} Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
- \begin{align*}
- C_{\zeta_A,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_A}{c_2} \right)
- \end{align*}
-die Abschätzung
- \begin{align*}
- \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
- &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}.
- \end{align*}
-\end{sat}
-\beweis Zunächst definieren wir die Konstanten
-\begin{align*}
- C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{\zeta_A}{c_2}
-\end{align*}
-und können dann die Konstante $C_{\zeta_A,j,k}$ kurz
-\begin{align*}
- C_{\zeta_A,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\rho_{\kappa})
-\end{align*}
-schreiben.\\
-Sei $x_b,y_b \in [0,1]$ fest gewählt. Bezeichnet $\gamma$ die Parametrisierung von $T$, so gilt aufgrund der Kettenregel
-\begin{align*}
- \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa}
- &=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\
- &=\diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta}
- \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}.
-\end{align*}
-Ferner gilt mit \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
-\begin{align*}
- \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha}& \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\
- \leq& \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(x,x_b)-\gamma_k(y,y_b))})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
- \leq & \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))^{\alpha+\beta} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(\alpha+\beta+s)}(\alpha+\beta)!\\
- = & \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{\alpha+\beta}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
- \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!.
-\end{align*}
-Laut Voraussetzung sind $T_j,T_k$ $\zeta_A$-zulässig, weshalb $\kappa$ auf $T_j,T_k$ definitionsgemäß glatt ist. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt die Abschätzung mithilfe von \eqref{math:sem:zetaQ}
-\begin{align*}
- \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))&-\I_p^{[0,1]^2}\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))}_{\infty,[0,1]^2}\\
- &\leq C_{\kappa} 8e(1+\rho_{\kappa})\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
-% &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
- &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}.
-\end{align*}
-Weiterhin folgt für $T_j \times T_k$
-\begin{align*}
- \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
- &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)},
-\end{align*}
-womit der Beweis abgeschlossen ist.
-\hfill$\square$
-
-\subsubsection{Matrix}
-\begin{sat}
-Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
-\begin{align}
- \tilde C_{\zeta,j,\kappa}
-\end{align}
-und
-\begin{align}
- D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k).
-\end{align}
-Dann gilt für das Integral
-\begin{align}
- A_{jk}
- &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
- &= D_{j,k}
- \int_{[0,1]^2} \int_{[0,1]^2} \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
-\end{align}
-und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Term
-\begin{align*}
- (A_p)_{jk}&=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))
-\end{align*}
-die Abschätzung
-\begin{align}
-.
-\end{align}
-\end{sat}
-\beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
-\begin{align*}
- (A_p)_{jk}
- &=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\
- &=D_{j,k} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d,
-\end{align*}
-wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\bs a}$ bezeichnet. Wegen der Additivität des Integrals und durch Hineinziehen des Betrags erhält man
-\begin{align*}
- \abs{A_{jk} &- (A_p)_{jk}}\\
- &=D_{j,k} \Abs{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1
- \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) - \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d}\\
- &\leq D_{j,k} \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k}
- \abs{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)- \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)} ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}\\
- &=\why{\sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]}}
-\end{align*}
-
-\todo{\hfill$\square$\\}
+% \subsection{Quadratur über eine Achse}
+% \subsubsection{Quadratur}
+% \begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_A > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-zulässig, genau dann wenn
+% \begin{align}\label{math:sem:zetaQ}
+% \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_A \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)).
+% \end{align}
+% Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-unzulässig.
+% \end{defi}
+%
+% \begin{sat} Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
+% \begin{align*}
+% C_{\zeta_A,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_A}{c_2} \right)
+% \end{align*}
+% die Abschätzung
+% \begin{align*}
+% \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
+% &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}.
+% \end{align*}
+% \end{sat}
+% \beweis Zunächst definieren wir die Konstanten
+% \begin{align*}
+% C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{\zeta_A}{c_2}
+% \end{align*}
+% und können dann die Konstante $C_{\zeta_A,j,k}$ kurz
+% \begin{align*}
+% C_{\zeta_A,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\rho_{\kappa})
+% \end{align*}
+% schreiben.\\
+% Sei $x_b,y_b \in [0,1]$ fest gewählt. Bezeichnet $\gamma$ die Parametrisierung von $T$, so gilt aufgrund der Kettenregel
+% \begin{align*}
+% \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa}
+% &=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\
+% &=\diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta}
+% \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}.
+% \end{align*}
+% Ferner gilt mit \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
+% \begin{align*}
+% \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha}& \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\
+% \leq& \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(x,x_b)-\gamma_k(y,y_b))})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
+% \leq & \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))^{\alpha+\beta} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(\alpha+\beta+s)}(\alpha+\beta)!\\
+% = & \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{\alpha+\beta}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
+% \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!.
+% \end{align*}
+% Laut Voraussetzung sind $T_j,T_k$ $\zeta_A$-zulässig, weshalb $\kappa$ auf $T_j,T_k$ definitionsgemäß glatt ist. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt die Abschätzung mithilfe von \eqref{math:sem:zetaQ}
+% \begin{align*}
+% \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))&-\I_p^{[0,1]^2}\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))}_{\infty,[0,1]^2}\\
+% &\leq C_{\kappa} 8e(1+\rho_{\kappa})\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
+% % &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
+% &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}.
+% \end{align*}
+% Weiterhin folgt für $T_j \times T_k$
+% \begin{align*}
+% \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
+% &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)},
+% \end{align*}
+% womit der Beweis abgeschlossen ist.
+% \hfill$\square$
+%
+% \subsubsection{Matrix}
+% \begin{sat}
+% Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
+% \begin{align}
+% \tilde C_{\zeta,j,\kappa}
+% \end{align}
+% und
+% \begin{align}
+% D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k).
+% \end{align}
+% Dann gilt für das Integral
+% \begin{align}
+% A_{jk}
+% &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+% &= D_{j,k}
+% \int_{[0,1]^2} \int_{[0,1]^2} \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
+% \end{align}
+% und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Term
+% \begin{align*}
+% (A_p)_{jk}&=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))
+% \end{align*}
+% die Abschätzung
+% \begin{align}
+% .
+% \end{align}
+% \end{sat}
+% \beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
+% \begin{align*}
+% (A_p)_{jk}
+% &=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\
+% &=D_{j,k} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d,
+% \end{align*}
+% wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\bs a}$ bezeichnet. Wegen der Additivität des Integrals und durch Hineinziehen des Betrags erhält man
+% \begin{align*}
+% \abs{A_{jk} &- (A_p)_{jk}}\\
+% &=D_{j,k} \Abs{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1
+% \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) - \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d}\\
+% &\leq D_{j,k} \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k}
+% \abs{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)- \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)} ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}\\
+% &=\why{\sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]}}
+% \end{align*}
+%
+% \todo{\hfill$\square$\\}
+%
\clearpage
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