[doc] Vergleich Verfeinerung angefangen

diff --git a/doc/code.pdf b/doc/code.pdf
index d874c1635f401902091b66a83eccf433e4271e31..875c900670301b22edb7bb638051065d3be75662 100644 (file)
Binary files a/doc/code.pdf and b/doc/code.pdf differ

diff --git a/doc/doc.pdf b/doc/doc.pdf
index 31b36d49445ad5931fc5492e05e0729b8411d91c..d515cd49c5cdfc3e794281d862a49f539a8e9b30 100644 (file)
Binary files a/doc/doc.pdf and b/doc/doc.pdf differ

diff --git a/doc/doc.tex b/doc/doc.tex
index 30ef6a59a9f6bb1c01f423aa8c6197caa0bdd272..fa389847c081699e01d4083b5dc595c1e8da4288 100644 (file)
--- a/doc/doc.tex
+++ b/doc/doc.tex
@@ -1954,8 +1954,7 @@ implementiert die Definitionen zum Bestimmen der Markierung.
 
 \subsection{Adaptivität}
 Mithilfe der oben Definierten Funktionen ist es uns nun möglich den Ablauf der Berechnungen zusammen zu fassen.
-
-\begin{alg}[Adaptives Verfahren] Sei $\theta,\nu \in (0,1)$ fest gewählt und das Netz $\T_{\ell}$ gegeben.
+\begin{alg}[Adaptives Verfahren]\label{alg:adapt} Sei $\theta,\nu \in (0,1)$ fest gewählt und das Netz $\T_{\ell}$ gegeben.
 \begin{enumerate}
 \renewcommand{\theenumi}{(\roman{enumi})}
 \item Verfeinere $T_{\ell}$ um $\hat T_{\ell}$ zu erhalten \label{alg:adapt:begin}
@@ -1976,6 +1975,63 @@ Mithilfe der oben Definierten Funktionen ist es uns nun möglich den Ablauf der
 \end{figure}
 
 
+
+\subsection{Vergleich} 
+Im Folgenden werden wir die Laplace-Gleichung
+\begin{align}\label{math:bsp:gls}
+\begin{aligned} 
+- \varDelta u  &= 0 \quad\text{ in } \Omega \subset \R^3,      \\
+u &=  g \quad \text{ auf }\Gamma,
+\end{aligned}
+\end{align}
+mit dem Startnetz aus Abbildung \ref{fig:mesh:2DQuad}, einem Quadrat in der $z=0$ Ebene genauer betrachten.
+
+\noindent
+Zunächst wollen wir drei Verfeinerungs-Strategien genauer untersuchen. Hierzu betrachten wir zum einen die Strategie "`uniform"' ($\theta=1,\nu=0$) bei der das verfeinerte Netz $\T_{\ell+1}$ durch isotrope Verfeinerung aller Elemente entsteht, also jedes Element wird in vier gleich Große Elemente geteilt. In der zweiten Strategie "`isotrop"'  ($\theta=0.5,\nu=0$) werden wir zulassen, dass nicht alle Elemente verfeinert werden, also nur eine Teilmenge wird jeweils in vier gleich große Elemente geteilt. Und in der letzten Strategie "`anisotrop"' ($\theta=0.5,\nu=0.5$) werden wir außerdem anisotrope Teilungen zulassen, also ein Teil der Elemente wird geeignet in zwei oder vier gleich Große Elemente geteilt. Für alle drei Strategien werden wir den Algorithmus \ref{alg:adapt} mit entsprechenden Parametern $\theta,\nu$ verwenden.
+
+\noindent
+In Abbildung \ref{fig:2DQuad:verfeinern:err} betrachten wir den Fehler gegenüber der tatsächlichen Lösung in Abhängigkeit der Elementanzahl des $\T_{\ell}$ Netzes. 
+
+\begin{figure}[ht]
+
+\psfrag{tmu 1t1n0 A}{\tiny $\tilde \mu$ (uniform)}
+\psfrag{eta 1t1n0 A}{\tiny $\eta$ (uniform)}
+\psfrag{fehler 1t1n0 A}{\tiny Fehler (uniform)}
+\psfrag{Zeit 1t1n0 A}{\tiny Zeit (uniform)}
+\psfrag{cond 1t1n0 A}{\tiny Kondition (uniform)}
+\psfrag{min hmin/max hmax 1t1n0 A}{\tiny $(\min h_{min})/(\max h_{max})$ (uniform)}
+\psfrag{min hmax/max hmax 1t1n0 A}{\tiny $(\min h_{max})/(\max h_{max})$ (uniform)}
+\psfrag{min hmin/hmax 1t1n0 A}{\tiny $(\min h_{min})/h_{max}$ (uniform)}
+
+\psfrag{tmu 1t05n0 A}{\tiny $\tilde \mu$ (isotrop)}
+\psfrag{eta 1t05n0 A}{\tiny $\eta$ (isotrop)}
+\psfrag{fehler 1t05n0 A}{\tiny Fehler (isotrop)}
+\psfrag{Zeit 1t05n0 A}{\tiny Zeit (isotrop)}
+\psfrag{cond 1t05n0 A}{\tiny Kondition (isotrop)}
+\psfrag{min hmin/max hmax 1t05n0 A}{\tiny $(\min h_{min})/(\max h_{max})$ (isotrop)}
+\psfrag{min hmax/max hmax 1t05n0 A}{\tiny $(\min h_{max})/(\max h_{max})$ (isotrop)}
+\psfrag{min hmin/hmax 1t05n0 A}{\tiny $(\min h_{min})/h_{max}$ (isotrop)}
+
+\psfrag{tmu 1t05n05 A}{\tiny $\tilde \mu$ (anisotrop)}
+\psfrag{eta 1t05n05 A}{\tiny $\eta$ (anisotrop)}
+\psfrag{fehler 1t05n05 A}{\tiny Fehler (anisotrop)}
+\psfrag{Zeit 1t05n05 A}{\tiny Zeit (anisotrop)}
+\psfrag{cond 1t05n05 A}{\tiny Kondition (anisotrop)}
+\psfrag{min hmin/max hmax 1t05n05 A}{\tiny $(\min h_{min})/(\max h_{max})$ (anisotrop)}
+\psfrag{min hmax/max hmax 1t05n05 A}{\tiny $(\min h_{max})/(\max h_{max})$ (anisotrop)}
+\psfrag{min hmin/hmax 1t05n05 A}{\tiny $(\min h_{min})/h_{max}$ (anisotrop)}
+
+\caption{2D Quad im Vergleich vollanalytisch $V\phi = 1$}
+\centering
+\label{fig:exmpl_2DQuad_tn_A}
+\subfloat[Fehler \label{fig:2DQuad:verfeinern:err}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/1tn_2DQuad_error}}
+\subfloat[Seitenverhältnis]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/1tn_2DQuad_hminmax}}\\
+\subfloat[Kondition]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/1tn_2DQuad_cond}}
+\subfloat[Zeit]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/1tn_2DQuad_time}}
+\end{figure}
+
+
+
 % Zum Plotten (Abb.\ref{fig:exmplAA_2DQuad})werden noch folgende Schritte ausgeführt
 % \begin{itemize}
 % \item Berechne Galerkinlösung $\phi_{\ell} \in P^0(\T_{\ell})$
@@ -2019,10 +2075,10 @@ Mithilfe der oben Definierten Funktionen ist es uns nun möglich den Ablauf der
 \caption{Objekt Beispiele}
 \centering
 \label{fig:objects}
-\subfloat[2D L Shape]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_2DLShape_ref}}
-\subfloat[2D Quad]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_2DQuad_ref}}\\
-\subfloat[3D Cube]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_3DCube_ref}}
-\subfloat[3D FichCube]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_3DFichCube_ref}}
+\subfloat[2D L Shape\label{fig:mesh:2DLShape}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_2DLShape_ref}}
+\subfloat[2D Quad\label{fig:mesh:2DQuad}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_2DQuad_ref}}\\
+\subfloat[3D Cube\label{fig:mesh:3DCube}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_3DCube_ref}}
+\subfloat[3D FichCube\label{fig:mesh:3DFichCube}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_3DFichCube_ref}}
 \end{figure}
 
 \clearpage