u &= g \quad \text{ auf }\Gamma,
\end{align*}
wobei $\varDelta u := \partial_x^2u+\partial_y^2u+\partial_z^2u$ den Laplace-Operator bezeichnet und $\Omega \subset \R^3$ eine beschränkte Teilmenge von $\R^3$ mit Lipschitz-Rand $\Gamma := \partial \Omega$ ist.\\
-In Abschnitt 2 stellen wir zunächst die Randelementmethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen vor. Dabei verwenden wir den indirekten Ansatz um anschließend mithilfe des Galerkin-Verfahrens die Gleichung zu lösen. An dieser Stelle werden wir auch kurz die Parametrisierung des Randes vorstellen. Denn wir werden im Folgenden den Rand in affine achsenorientierte Rechtecke $T$ zerlegen, das heißt die Punkte in einem Rechteck liegen in einer zu den Achsen des Koordinatensystem parallelen Ebene.\\
+In Abschnitt 2 stellen wir zunächst die Randelementmethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen vor. Dabei verwenden wir den indirekten Ansatz, um anschließend mithilfe des Galerkin-Verfahrens die Gleichung zu lösen. An dieser Stelle werden wir auch kurz die Parametrisierung des Randes vorstellen. Denn wir werden im Folgenden den Rand in affine achsenorientierte Rechtecke $T$ zerlegen, das heißt die Punkte in einem Rechteck liegen in einer zu den Achsen des Koordinatensystem parallelen Ebene.\\
In Abschnitt 3 werden wir uns mit der approximativen Berechnung des Doppelintegrals
\begin{align}\label{math:intro:int}
\int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x, \bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
\end{align}
-beschäftigen. $\kappa(\bs x, \bs y)$ sei hierbei ein asymptotisch glatte Kernfunktion. Speziell interessieren wir uns hierbei für die asymptotisch glatte Funktion $\abs{\bs x - \bs y}^{-1}$. Ziel wird es sein das äußere Integral durch eine Gauss-Quadratur zu erstetzen. Unter bestimmten Zulässigkeits\-beding\-ungen werden wir zeigen, dass die Gauss-Quadratur bei steigendem Quadraturgrad exponentiell schnell gegen den exakten Wert konvergiert. Weiterhin betrachten wir die in Abschnitt 2 auftretende Matrix $A \in R^{n\times n}$ deren Einträge $A_{jk}$ die Gestalt \eqref{math:intro:int} hat. Denn wir werden eine approximative Matrix $A_p$ aufstellen, welche das durch Quadratur approximierte Integral für die zulässigen Einträge und für alle anderen das exakte Integral verwendet. Hiermit können wir dann Zeigen, dass die approximative Matrix unter der Frobeninusnorm exponentiell schnell gegen $A$ konvergiert.\\
+beschäftigen. $\kappa(\bs x, \bs y)$ sei hierbei eine asymptotisch glatte Kernfunktion. Speziell interessieren wir uns hierbei für die asymptotisch glatte Funktion $\abs{\bs x - \bs y}^{-1}$. Ziel wird es sein, das äußere Integral durch eine Gauss-Quadratur zu erstetzen. Unter bestimmten Zulässigkeits\-beding\-ungen werden wir zeigen, dass die Energienorm durch die Gauss-Quadratur bei steigendem Quadraturgrad exponentiell schnell gegen den exakten Wert konvergiert. Weiterhin betrachten wir die in Abschnitt 2 auftretende Matrix $A \in \R^{n\times n}$, deren Einträge $A_{jk}$ durch \eqref{math:intro:int} bestimmt werden. Denn wir werden eine approximative Matrix $A_p$ aufstellen, welche das durch Quadratur approximierte Integral für die zulässigen Einträge und für alle anderen das exakte Integral verwendet. Hiermit können wir dann Zeigen, dass die approximative Matrix unter der Frobeninusnorm exponentiell schnell gegen $A$ konvergiert.\\
In Abschnitt 4 fassen wir kurz zusammen, wie wir das Doppelintegral in einfache Integrale zerlegen und andschließend voll analytisch berechnen können. Hierzu werden wir uns weitgehend an \cite{mai:3dbem} orientieren.\\
-Abschließend werden wir kurz die numerische Umsetzung der Techniken vorstellen und anhand von numerischen Beispielen vergleiche. Hierbei wird uns die voll analytische und approximative Berechnung, sowie die adaptive und uniforme Netzverfeinerung besonders Interessieren.
+Abschließend werden wir kurz die numerische Umsetzung der Techniken vorstellen und anhand von numerischen Beispielen vergleichen. Hierbei wird uns die voll analytische und approximative Berechnung, sowie die adaptive und uniforme Netzverfeinerung besonders interessieren.
\clearpage
\end{align*}
die zu $T$ zugehörige Parametrisierung.
\end{defi}
-\begin{bem}Weiterhin werden wir die vier Ecken des achsenorientierten Rechtecks, beginnend in $\bs v$, mit $k_1,\ldots,k_4$ bezeichnen, wobei die Menge aller Knoten des Rechtecks $\K_T$ sei. Die Reihenfolge der Knoten sei dabei so gewählt, dass der Normalenvektor $\bs n$ auf das Element $T$ nach außen zeigt. Außerdem benennen wir die Menge der Kanten mit $\E_T$, bestehend aus den vier Kanten $e_1,\ldots,e_4$. In Abb. \ref{fig:net:single} wurde ein Rechteck mit den Bezeichnungen kurz skizziert.
+\begin{bem}Weiterhin werden wir die vier Ecken des achsenorientierten Rechtecks, beginnend in $\bs v$, mit $k_1,\ldots,k_4$ bezeichnen, wobei die Menge aller Knoten des Rechtecks $\K_T$ sei. Die Reihenfolge der Knoten sei dabei so gewählt, dass der Normalenvektor $\bs n$ auf das Element $T$ nach außen zeigt. Außerdem benennen wir die Menge der Kanten mit $\E_T$, bestehend aus den vier Kanten $e_1,\ldots,e_4$. In Abbildung~\ref{fig:net:single} wurde ein Rechteck mit den Bezeichnungen kurz skizziert.
\end{bem}
\begin{figure}[ht]
\centering
\psfrag{k4}{\scriptsize $k_4$}
\psfrag{n}{\scriptsize $\bs n$}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/net_single}
-\caption{achsenorientiertes Rechteck \todo{(Skizze noch doof)}}
+\caption{achsenorientiertes Rechteck}
\label{fig:net:single}
\end{figure}
Des Weiteren werden wir für die Berechnungen noch Aussagen über die Größe eines Elements, sowie über den Abstand zweier Elemente festhalten.
-\begin{defi}Sei $a,b\in\R$ für $T$ definiert wie in Def. \ref{math:def:T}, dann heißt
+\begin{defi}Sei $a,b\in\R$ für $T$ definiert wie in Definition~\ref{math:def:T}, dann heißt
\begin{align*}
\diam (T) &= (a^2+b^2)^{1/2}
\end{align*}
Hier bezeichne $\abs{\cdot}$ das 2-dimensionale Oberflächenmaß. Weiterhin sei der Schnitt $T_j \cap T_k$ zweier Elemente $T_j,T_k\in\T_{\ell}$ mit $T_j\neq T_k$
\begin{itemize}
\item leer,
- \item Knoten von $T_j$ und $T_k$,
- \item Kante von $T_j$ oder $T_k$.
+ \item oder ein gemeinsamer Knoten von $T_j$ und $T_k$,
+ \item oder eine (nicht zwingend gemeinsame) Kante von $T_j$ oder $T_k$.
\end{itemize}
Ferner liegen auf jeder Kante von $\T_{\ell}$ maximal 3 Knoten.
\end{defi}
\subsection{Verfeinern}
\begin{defi}[Lokale Verfeinerung]
-Ein Element $T \in \T$ wird isotrop in vier Elemente $T_1,\ldots,T_4$ geteilt, wenn $T = \bigcup_{n=1}^4 T_n$ gilt und alle Söhne $T_1,\ldots,T_4$ ähnlich sind zum Vaterelement $T$. Weiterhin wird ein Element $T \in \T$ anisotrop in zwei Elemente $T_1,T_2$ geteilt, wenn ebenfalls $T = T_1 \cup T_2$ gilt und $T_1,T_2$ untereinander gleich sind. Hierbei kann $T$ entweder horizontal oder vertikal geteilt werden, wie in Abb.~\ref{fig:refType} gezeigt ist.
+Ein Element $T \in \T$ wird isotrop in vier Elemente $T_1,\ldots,T_4$ geteilt, wenn $T = \bigcup_{n=1}^4 T_n$ gilt und alle Söhne $T_1,\ldots,T_4$ ähnlich sind zum Vaterelement $T$. Weiterhin wird ein Element $T \in \T$ anisotrop in zwei Elemente $T_1,T_2$ geteilt, wenn ebenfalls $T = T_1 \cup T_2$ gilt und $T_1,T_2$ untereinander gleich sind. Hierbei kann $T$ entweder horizontal oder vertikal geteilt werden, wie in Abbildung~\ref{fig:refType} gezeigt ist.
\end{defi}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{defi}
Für eine Partition $\T_{\ell}$ bezeichnen wir mit $\widehat \T_{\ell}$ jene Partition die entsteht, wenn alle Elemente isotrop verfeinert werden.
\end{defi}
-
Für das Verständnis des folgenden Algorithmus benötigen wir noch einige Beobachtungen:
\begin{itemize}
\item Sind $e,\tilde e \in \E_T$ Kanten von $T \in \T_{\ell}$ mit $e \cap \tilde e = \emptyset$, so liegen diese gegenüber und haben insbesondere dieselbe Länge. Falls $e$ verfeinert werden soll, muss zwingend auch $\tilde e$ verfeinert werden.
- \item Es bezeichnet $\S_{\ell} := \{ e_T ~|~ T \in \T_{\ell}, e_T \in \E_T \}$ die Menge aller Kanten von $\T_{\ell}$, wobei es aufgrund der maximal drei Knoten auf einer Kante vorkommen kann, dass eine Kante $e \in \S_{\ell}$, die im inneren von $\Gamma$ liegt, nur zu einem Element $T\in\T_{\ell}$ gehört und nicht zu zwei. In diesem Fall gibt es eine Kante $\tilde e \in \S_{\ell}$ in der $e$ ganz enthalten ist. Sollte $e$ verfeinert werden, so muss zwingend auch $\tilde e$ verfeinert werden, damit nicht mehr als drei Knoten auf einer Kante entstehen.
+ \item Es bezeichnet $\S_{\ell} := \{ e_T ~|~ T \in \T_{\ell}, e_T \in \E_T \}$ die Menge aller Kanten von $\T_{\ell}$, wobei es aufgrund der maximal drei Knoten auf einer Kante vorkommen kann, dass eine Kante $e \in \S_{\ell}$, die im inneren von $\Gamma$ liegt, nur zu einem Element $T\in\T_{\ell}$ gehört und nicht zu zwei. In diesem Fall gibt es eine Kante $\tilde e \in \S_{\ell}$ in der $e$ ganz enthalten ist. Sollte $e$ verfeinert werden, so muss zwingend auch $\tilde e$ verfeinert werden, damit nicht mehr als drei Knoten auf der Kante $\tilde e$ entstehen.
\end{itemize}
\begin{alg}[Verfeinern] \label{alg:refine} Sei $\T_{\ell}$ eine Partition und $\sqcap_{\ell} \subseteq \S_{\ell}$ eine Menge markierter Kanten. Nun sei $\sqcap_{\ell}^{(0)}:=\sqcap_{\ell}$ und $i=0$. Dann gehe so vor:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{(\roman{enumi})}
\item \label{alg:refine:first}
- $\sqcap_{\ell}^{(i+1)} := \sqcap_{\ell}^{(i)} \cup \{ e_{T'} \in \S_{\ell}\backslash\sqcap_{\ell}^{(i)} ~|~ \exists e_T \in \sqcap_{\ell}^{(i)}: e_{T'} \supsetneq e_T \}\\ \hfill \cup \{e_{T'}' \in \S_{\ell} ~|~ \exists \tilde e_{T'}\in\E_{T'} : e'_{T'}\cap e_{T'}=\emptyset\}$
+ $\sqcap_{\ell}^{(i+1)} := \sqcap_{\ell}^{(i)} \cup \{ e_{T'} \in \S_{\ell}\backslash\sqcap_{\ell}^{(i)} ~|~ \exists e_T \in \sqcap_{\ell}^{(i)}: e_{T'} \supsetneq e_T \}\\ \hfill \cup \{\tilde e_{T'} \in \S_{\ell} ~|~ \exists \tilde e_{T'}\in\E_{T'} : \tilde e_{T'}\cap e_{T'}=\emptyset\}$
\item
Falls $\sqcap_{\ell}^{(i)} \subsetneqq \sqcap_{\ell}^{(i+1)}$, erhöhe Zähler $i \mapsto i+1$ und gehe zu Schritt \ref{alg:refine:first}
\item Teile alle Elemente aus $\T_{\ell}$ bezüglich der markierten Kanten $\sqcap_{\ell}^{(i)}$, wie in der lokalen Verfeinerung vorgegeben
An dieser stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. Ferner wollen wir mithilfe von Chebyshev-Knoten einen Fehlerschätzer für die Chebyshev'sche Interpolation auf Intervallen $[0,1]^d$ mit $d \in \N$ definieren. Im Folgenden bezeichnet $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$.
\begin{defi}
-Für einen festen Grad $p \in \N$ und paarweise verschiedene Knoten $x_j \in [0,1]$ lautet das Lagrange'sche Interpolations Problem:
+Für einen festen Grad $p \in \N$ und paarweise verschiedene Knoten $x_j \in [0,1]$ lautet das Lagrange'sche Interpolationsproblem:
Zu gegebenen Funktionswerten $y_j \in \R$ finde ein Polynom $q \in \P^{p-1}$ so, dass
\begin{align*}
q(x_j) &=y_j \quad \text{ für alle } j=1,\ldots,p.
\end{defi}
Für die Lagrange-Polynome
\begin{align*}
-L_j(x) &= \prod_{i=1,i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-x_i}.
+L_j(x) &= \prod_{i=1 \atop i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-x_i}.
\end{align*}
-wissen wir aus \todo{cite}, dass für das Lagrange'sche Interpolations Problem eine eindeutige Lösung gegeben ist, durch
+wissen wir aus \todo{cite}, dass für das Lagrange'sche Interpolationsproblem eine eindeutige Lösung gegeben ist durch
\begin{align*}
q&=\sum_{j=1}^py_jL_j.
\end{align*}
-Mit diesem Wissen definieren wir uns nun den Interpolationsoperator $\I_p u : \C[0,1]\to\P^{p-1}$
+Mit diesem Wissen definieren wir uns nun den Interpolationsoperator $\I_p : \C[0,1]\to\P^{p-1}$
\begin{align}
\I_pu &:= \sum_{j=1}^p u(x_j)L_j.
\end{align}
\begin{align*}
x_j &= \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{ für } j=1,\ldots,p.
\end{align*}
-Durch affine Transformation der Chebyshev-Knoten, ergibt sich der Fehlerschätzer
+Durch affine Transformation der Chebyshev-Knoten ergibt sich die Fehlerabschätzung
\begin{align}
\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]}
&\leq 4 \frac{4^{-p}}{p!}\norm{u^{(p)}}_{\infty,[0,1]}
für Chebyshev-Polynome.\\
Ferner wollen wir nun die Interpolation auf Boxen der Gestalt $[0,1]^d$ mit $d\in\N$ einführen. Hierzu definieren wir uns mit dem Tensor Produkt den Interpolationsoperator
\begin{align}
- \I_k^{[0,1]^d} := \bigotimes_{i=1}^d \I_k^{[0,1]} \quad \text{ für Boxen } [0,1]^d.
+ \I_p^{d} := \bigotimes_{i=1}^d \I_p \quad \text{ für Boxen } [0,1]^d.
\end{align}
Weiterhin benötigen wir für die Abschätzung die Lebesgue-Konstante
\begin{align}
- \Lambda_k := \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=1}^p \abs{L_j(x)}.
+ \Lambda_p := \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=1}^p \abs{L_j(x)}.
\end{align}
-Dann können wir den Fehlerschätzer für den Interpolationsoperator $\I_k^{[0,10]^d}$ anschreiben \todo{cite}
+Dann können wir eine Fehlerabschätzung für den Interpolationsoperator $\I_k^d$ anschreiben \todo{cite}
\begin{align}
- \norm{u-\I_p^{[0,1]^d}u}_{\infty,[0,1]^d}
- &\leq 4\frac{ 4^{-p}}{p!}\lambda_p^{d-1}\sum_{j=1}^d \norm{\partial_j^d u^{(p)}}_{\infty,[0,1]^d}
+ \norm{u-\I_p^d u}_{\infty,[0,1]^d}
+ &\leq 4\frac{ 4^{-p}}{p!}\lambda_p^{d-1}\sqrt p\sum_{j=1}^d \norm{\partial_j^d u^{(p)}}_{\infty,[0,1]^d}
\quad \text{ für alle }u \in \C^{p+1}([0,1]^d).
\end{align}
\end{align}
durch die Summe
\begin{align}
- \Q(f) &:= \sum_{k=0}^n w_kf(x_k).
+ \Q(f) &:= \sum_{k=0}^n w_kf(t_k).
\end{align}
-Die $x_k$ sind hierbei die Knoten, die $w_k$ Gewichte.
+Die $t_k$ sind hierbei die Knoten, die $w_k$ Gewichte.
Eine Quadratur heißt exakt für eine Funktion $f$, falls $\Q(f) = \int_0^1 f(x) dx$ ist.\\
Eine Quadratur hat den Exaktheitsgrad $m$, wenn sie für alle Polynome bis zum Grad $m$ exakt ist.\\
-Eine Quadratur hießt interpolatorisch (vom Grad $n$), falls für jede integrierbare, auf $(0,1)$ stetige Funktion $f$
+Eine Quadratur heißt interpolatorisch (vom Grad $n$), falls für jede integrierbare, auf $(0,1)$ stetige Funktion $f$
\begin{align}
- \Q_n(f) &:= \sum_{k=0}^n w_kp(x_k)
+ \Q_n(f) &:= \sum_{k=0}^n w_kp(t_k)
\end{align}
-gilt, wobei $p$ das Interpolationspolynom von $f$ vom Grad $n$ zu den Knoten $x_0,\ldots,x_n$ ist.
+gilt, wobei $p$ das Interpolationspolynom von $f$ vom Grad $n$ zu den Knoten $t_0,\ldots,t_n$ ist.
% \todo{\subsection{---}
% \begin{align}
% \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}\\
% \end{lem}
% \hfill$\square$
-\begin{lem}\label{thm:sem:ipolnD} %Interpol über Glatten KERN nD
+\begin{lem}[BG, Theorem 3.2]\label{thm:sem:ipolnD} %Interpol über Glatten KERN nD
Sei ${[0,1]^d} \subseteq \R^d$ eine achsenorientierte Box wobei die Intervalle $[0,1]$ abgeschlossen sind, und vorausgesetzt die Funktion $u$ erfüllt für Konstanten $C_u,\rho_u > 0$
\begin{align}
\norm{\partial_j^nu}_{\infty,{[0,1]^d}} &\leq C_u \rho_u^nn!\quad\text{~für alle~} j \in \{1,\ldots,d\} \text{~und~} n \in \N_0.
\end{align}
-Dann gilt für alle $k\in \N_0$
+Dann gilt für alle $p\in \N_0$
\begin{align}\label{math:sem:ipolnD}
- \norm{u-\I_k^{[0,1]^d}u}_{\infty,{[0,1]^d}} &\leq C_u 8e(1+\rho_u)\Lambda_k^d(k+1)\left(1+\frac{2}{\rho_u}\right)^{-(k+1)}.
+ \norm{u-\I_p^d u}_{\infty,{[0,1]^d}} &\leq C_u 8e(1+\sqrt d\rho_u)\Lambda_k^d(p+1)\left(1+\frac{2}{\sqrt d\rho_u}\right)^{-(p+1)}.
\end{align}
-\end{lem}
-\todo{\beweis Steht eigentlich in ``Low-rank Approximation of integral operators by interpolation'' von Steffen Börm und Lars Grasedyck: Theorem 3.2 \hfill$\square$}
+\end{lem} \hfill$\square$
% Quadratur -----------------------------------------
\begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke und sei $\zeta_Q > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_Q$-zulässig, genau dann wenn
\begin{align}\label{math:sem:zetaQ}
Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_Q$-unzulässig.
\end{defi}
-\begin{sat} \label{thm:sem:pol:V} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa(\cdot,\cdot)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
+\begin{sat} \label{thm:sem:pol:V} Seien $T_j,T_k \subseteq \R^3$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa(\cdot,\cdot)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
\begin{align*}
- C_{\zeta_Q,j,k}&:=2^3e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_Q}{c_2} \right)
+ C_{\zeta_Q,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{2\zeta_Q}{c_2} \right)
\end{align*}
die Abschätzung
\begin{align*}
- \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_p^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
- &\leq C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-(p+1)}.
+ \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))&-\I_p^4\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))}_{\infty,[0,1]^4}
+ \leq C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-(p+1)}.
\end{align*}
\end{sat}
\beweis Zunächst definieren wir die Konstanten
\end{align*}
und können dann die Konstante $C_{\zeta_Q,j,k}$ kurz
\begin{align*}
- C_{\zeta_Q,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\rho_{\kappa})
+ C_{\zeta_Q,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+2\rho_{\kappa})
\end{align*}
schreiben.\\
+Weiterhin können wir das Produkt der Seiten eines Rechtecks $T_j$ mithilfe der Diagonalen abschätzen
+\begin{align*}
+ \diam_{\bs a}(T_j)^{\bs a \alpha}\diam_{\bs b}(T_j)^{\bs b \alpha}
+ \leq \max\{\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs b}(T_j)\}^{\abs \alpha}
+ \leq \diam(T_j)^{\abs \alpha}.
+\end{align*}
Bezeichnet $\gamma_j$ die Parametrisierung von $T_j$, so gilt aufgrund der Kettenregel
\begin{align*}
\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa}
&=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
- &\leq\diam(T_j)^{\alpha} \diam(T_k)^{\beta}
+% &=\diam_{\bs a}(T_j)^{\bs a \alpha}\diam_{\bs b}(T_j)^{\bs b \alpha}\diam_{\bs a}(T_k)^{\bs a \beta}\diam_{\bs b}(T_k)^{\bs b \beta}
+% \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
+ &\leq\diam(T_j)^{\abs \alpha}\diam(T_k)^{\abs \beta}
\Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}.
\end{align*}
Ferner gilt mit \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
\begin{align*}
- \diam(T_j)^{\alpha}& \diam(T_k)^{\beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
- \leq& \diam(T_j)^{\alpha} \diam(T_k)^{\beta} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(x) - \gamma_k(y)})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
- \leq & \max(\diam(T_j),\diam(T_k))^{\alpha+\beta} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(\alpha+\beta+s)}(\alpha+\beta)!\\
- = & \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam(T_j),\diam(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{\alpha+\beta}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
+ \diam(T_j)^{\abs \alpha}& \diam(T_k)^{\abs \beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
+ \leq& \diam(T_j)^{\abs \alpha} \diam(T_k)^{\abs \beta} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(x) - \gamma_k(y)})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
+ \leq & \max(\diam(T_j),\diam(T_k))^{\abs{\alpha+\beta}} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs \alpha+\abs \beta+s)}(\abs \alpha+\abs \beta)!\\
+ = & \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam(T_j),\diam(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{\abs \alpha+\abs \beta}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
\leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!.
\end{align*}
Laut Voraussetzung sind $T_j,T_k$ $\zeta_Q$-zulässig, weshalb $\kappa(\cdot,\cdot)$ auf $T_j\times T_k$ definitionsgemäß glatt ist. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt die Abschätzung mithilfe von \eqref{math:sem:zetaQ}
\begin{align*}
- \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))&-\I_p^{[0,1]^4}\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))}_{\infty,[0,1]^4}\\
- &\leq C_{\kappa} 8e(1+\rho_{\kappa})\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
+ \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))&-\I_p^4\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))}_{\infty,[0,1]^4}\\
+ &\leq C_{\kappa} 8e(1+2\rho_{\kappa})\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{1}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
% &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
- &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-(p+1)}.
+ &= C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-(p+1)}.
\end{align*}
-Weiterhin folgt für $T_j \times T_k$
-\begin{align*}
- \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_p^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
- &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-(p+1)},
-\end{align*}
-womit der Beweis abgeschlossen ist.
+Womit der Beweis abgeschlossen ist.
\hfill$\square$
% MatrixEINTRAG -------------------------------------------------
\begin{sat}\label{thm:sem:quad:V}
Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
-\begin{align}
- D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k)
-\end{align}
-und
\begin{align} \label{math:sem:zetaQ:c}
- \tilde C_{\zeta_Q,j,k}&:=2^4e\frac{c_1D_{j,k}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_Q}{c_2} \right)
+ \tilde C_{\zeta_Q,j,k}&:=2^4e\frac{c_1\abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{2\zeta_Q}{c_2} \right)
\end{align}
Dann gilt für das Integral
\begin{align}
A_{jk}
&= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
- &= D_{j,k}
+ &= \abs{T_j}\abs{T_k}
\int_{[0,1]^2} \int_{[0,1]^2} \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
\end{align}
und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Term
\begin{align*}
- (A_p)_{jk}&=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))
+ (A_p)_{jk}&=\abs{T_j}\abs{T_k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))
\end{align*}
die Abschätzung
\begin{align}
- \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&\leq \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}
+ \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&\leq \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}
\end{align}
\end{sat}
\beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
\begin{align*}
(A_p)_{jk}
- &=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\
- &=D_{j,k} \int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \I_{2p+1}^2\I_{2p+1}^2 \kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) dx dy,
+ &=\abs{T_j}\abs{T_k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\
+ &=\abs{T_j}\abs{T_k} \int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \I_{2p+1}^4 \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x},
\end{align*}
wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\bs a}$ bezeichnet. Wegen der Additivität des Integrals und durch Hineinziehen des Betrags erhält man
\begin{align*}
- \abs{A_{jk} &- (A_p)_{jk}}\\
- &=D_{j,k} \Abs{\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) - \int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \I_{2p+1}^2\I_{2p+1}^2 \kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) dx dy}\\
- &\leq D_{j,k}\int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \Abs{\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) - \I_{2p+1}^2\I_{2p+1}^2 \kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))} dx dy\\
- &\leq D_{j,k} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}^4\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]^4}
+ \abs{A&_{jk} - (A_p)_{jk}}\\
+ &=\abs{T_j}\abs{T_k} \Abs{\int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2}\kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) - \int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \I_{2p+1}^4 \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x}}\\
+ &\leq \abs{T_j}\abs{T_k}\int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \Abs{\kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) - \I_{2p+1}^4 \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y))} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+ &\leq \abs{T_j}\abs{T_k} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}^4\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]^4}
\end{align*}
Mithilfe von Lemma \ref{thm:sem:pol:V} erhalten wir die Behauptung
\begin{align*}
\abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}
- &\leq D_{j,k} C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^42(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\\
- &= \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}.
+ &\leq \abs{T_j}\abs{T_k} C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^42(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\\
+ &= \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}.
\end{align*}
\todo{\hfill$\square$\\}
\end{align*}
und sei $A_p$ die $A$ approximierende Matrix gemäß Definition \ref{thm:sem:quad:Ap}. Dann gilt
\begin{align*}
- \norm{A-A_p}_F \leq n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}.
+ \norm{A-A_p}_F \leq n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}.
\end{align*}
\end{sat}
\beweis Betrachten wir zunächst die Differenz zwischen $A$ und $A_p$ in einem festen Eintrag $(A-A_p)_{jk}$. Sind $T_j$ und $T_k$ unzulässig ist die Differenz laut Definition $0$. Sind $T_j$ und $T_k$ hingegen zulässig so gilt nach Satz \ref{thm:sem:quad:V}
\begin{align*}
\norm{A-A_p}_F^2 &= \sum_{j,k=1}^n (A_{jk} - (A_p)_{jk})^2\\
&\leq \sum_{j,k=1}^n \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2\\
- &\leq \sum_{j,k=1}^n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2\\
- &= n^2 \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2.
+ &\leq \sum_{j,k=1}^n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2\\
+ &= n^2 \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2.
\end{align*}
Durch ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung. \hfill$\square$
% \end{align}
% und
% \begin{align}
-% D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k).
+% \abs{T_j}\abs{T_k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k).
% \end{align}
% Dann gilt für das Integral
% \begin{align}
% A_{jk}
% &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
-% &= D_{j,k}
+% &= \abs{T_j}\abs{T_k}
% \int_{[0,1]^2} \int_{[0,1]^2} \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
% \end{align}
% und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Term
% \begin{align*}
-% (A_p)_{jk}&=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))
+% (A_p)_{jk}&=\abs{T_j}\abs{T_k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))
% \end{align*}
% die Abschätzung
% \begin{align}
% \beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
% \begin{align*}
% (A_p)_{jk}
-% &=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\
-% &=D_{j,k} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d,
+% &=\abs{T_j}\abs{T_k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\
+% &=\abs{T_j}\abs{T_k} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d,
% \end{align*}
% wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\bs a}$ bezeichnet. Wegen der Additivität des Integrals und durch Hineinziehen des Betrags erhält man
% \begin{align*}
% \abs{A_{jk} &- (A_p)_{jk}}\\
-% &=D_{j,k} \Abs{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1
+% &=\abs{T_j}\abs{T_k} \Abs{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1
% \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) - \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d}\\
-% &\leq D_{j,k} \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k}
+% &\leq \abs{T_j}\abs{T_k} \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k}
% \abs{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)- \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)} ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}\\
% &=\why{\sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]}}
% \end{align*}
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