\clearpage
\section{Einleitung}\label{sec:intro}
-\todo{ \scriptsize
-\begin{itemize}
-\item kurz + praegnant, worum es geht (vgl. Mayr-Bakk, wo das exakt eine Seite ist)
-\end{itemize}
-}
-
+% \todo{ \scriptsize
+% \begin{itemize}
+% \item kurz + praegnant, worum es geht (vgl. Mayr-Bakk, wo das exakt eine Seite ist)
+% \end{itemize}
+% }
+%
\noindent
In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Randelementmethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen
\begin{align}
\clearpage
\section{Randelementmethode}\label{sec:bem}
-\todo{ \scriptsize
-\begin{itemize}
-\item kuerzer als in Ferraz-DA \cite{fer:errbem}
-\item insbesondere fastregulaere Triangulierung + K-Gitter (vgl. Ferraz-DA \cite{fer:errbem})
-\end{itemize}
-}
-
+% \todo{ \scriptsize
+% \begin{itemize}
+% \item kuerzer als in Ferraz-DA \cite{fer:errbem}
+% \item insbesondere fastregulaere Triangulierung + K-Gitter (vgl. Ferraz-DA \cite{fer:errbem})
+% \end{itemize}
+% }
+%
\noindent
An dieser Stelle betrachten wir die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-\-Rand\-bedingungen
\begin{align}\label{math:slp:lapGLS}
% wobei $V := \gamma_0\tilde V \in L(H^{-1/2}(\Gamma),H^{1/2}(\Gamma))$. Ziel ist es nun aus \todo{$(5)$} eine Funktion $\phi$ zu bestimmen, die die obige Gleichung erfüllt, denn dann ist $\tilde V\phi$ die Lösung des Problems.
\subsection{Galerkin-Verfahren}
-Die Fundamentallösung des Laplaceoperators \todo{\cite[Theorem 12]{stb:fem}} ist für $\Omega \subset \R^3$ gegeben durch
+Die Fundamentallösung des Laplaceoperators \cite[Kapitel 5.1]{stb:fem} ist für $\Omega \subset \R^3$ gegeben durch
\begin{align*} % \label{math:slp:fundamental}
G(\bs z) := \frac 1 {4 \pi \abs{\bs z}}.
\end{align*}
- \varDelta u &= 0 \quad \text{ in } H^{-1}(\Omega), \\
\gamma_0 u &= g \quad \text{ auf }H^{1/2}(\Gamma).
\end{align*}
-Gemäß \todo{\cite[Kapitel 6.2 und 6.3]{stb:fem}} kann $\tilde V$ auch als Operator $\tilde V \in L(H^{-1/2}(\Gamma),H^{1}(\Omega))$ aufgefasst werden, und es gilt
+Gemäß \cite[Kapitel 6.2 und 6.3]{stb:fem} kann $\tilde V$ auch als Operator $\tilde V \in L(H^{-1/2}(\Gamma),H^{1}(\Omega))$ aufgefasst werden, und es gilt
\begin{align*}
-\varDelta\tilde V\phi = 0 \in H^{-1}(\Omega) \quad \text{für alle }\phi \in H^{-1/2}(\Gamma)
\end{align*}
\begin{align}\label{math:slp:gls}
V \phi = g
\end{align}
-mit $V := \gamma_0\tilde V$ gilt. Ziel ist es nun, aus \eqref{math:slp:gls} eine Funktion $\phi$ zu bestimmen, die die obige Gleichung erfüllt. Dann ist $\tilde V\phi$ die eindeutige Lösung des Problems \eqref{math:slp:lapGLS}.
+mit $V := \gamma_0\tilde V$ gilt. Ziel ist es nun, aus \eqref{math:slp:gls} eine Funktion $\phi$ zu bestimmen, die die obige Gleichung erfüllt.
+Dann ist $\tilde V\phi$ die Lösung des Problems \eqref{math:slp:lapGLS}.
\noindent
Da wir das Problem \eqref{math:slp:gls} im allgemeinen nicht Lösen können, werden wir es mithilfe des Galerkin-Verfahrens näherungsweise lösen. Die Idee dabei ist $H^{-1/2}(\Gamma)$ durch einen endlich dimensionalen Unterraum zu ersetzen.
\begin{align*}
\llangle \phi_{\ell},\psi_{\ell} \rrangle & = \langle f,\psi_{\ell} \rangle\quad\text{für alle } \psi_{\ell} \in P^0(\T_{\ell}),
\end{align*}
-was aufgrund der Basiseigenschaft von $\chi_i$ eindeutig und äquivalent ist zu
+was aufgrund der Basiseigenschaft von $\chi_i$ und dem Lemma von Lax-Milgram eindeutig und äquivalent ist zu
\begin{align}\label{math:slp:gls:galerkin}
\llangle \phi_{\ell},\chi_j \rrangle & = \langle f,\chi_j \rangle\quad\text{für alle } j\in\{1,2,\ldots,N\}.
\end{align}
\clearpage
\section{Analytische und Semi-analytische Berechnung} \label{sec:semi}
-\todo{ \scriptsize
-\begin{itemize}
-\item Modellproblem $A_{kj} = \int_{Tj}\int_{Tk} \kappa(x,y) ds_y ds_x$
-mit $\kappa(.,.)$ asymptotisch glatt und $Tj, Tk$ achsenorientiertes
-Rechtecke.
-\item Das ist das Kernstueck der Arbeit (Uebertragung der Mayr-Bakk auf 3D).
-\item Warum erwarten man Instabilitaet bei analytischer Berechnung?
-\item Beweis von exponentieller Konvergenz bei semidiskreter/volldiskreter
-Berechnung von gewissen Matrix-Eintraegen
-\item Was fuer Faelle sollte man betrachten? Wann rechnet man
-analytisch/semidiskret/volldiskret
-\end{itemize}
-}
-
+% \todo{ \scriptsize
+% \begin{itemize}
+% \item Modellproblem $A_{kj} = \int_{Tj}\int_{Tk} \kappa(x,y) ds_y ds_x$
+% mit $\kappa(.,.)$ asymptotisch glatt und $Tj, Tk$ achsenorientiertes
+% Rechtecke.
+% \item Das ist das Kernstueck der Arbeit (Uebertragung der Mayr-Bakk auf 3D).
+% \item Warum erwarten man Instabilitaet bei analytischer Berechnung?
+% \item Beweis von exponentieller Konvergenz bei semidiskreter/volldiskreter
+% Berechnung von gewissen Matrix-Eintraegen
+% \item Was fuer Faelle sollte man betrachten? Wann rechnet man
+% analytisch/semidiskret/volldiskret
+% \end{itemize}
+% }
+%
\noindent
Ziel dieses Abschnitts ist die approximative Berechnung des Integrals
\begin{align}\label{math:gal:kap}
\begin{align}
g(\lambda) = (\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4)),
\end{align}
- wobei $\gamma_j,\gamma_k$ die Parametrisierungen aus Definition \ref{thm:def:T} seien.
+ wobei $\gamma_j,\gamma_k$ die Parametrisierungen aus Definition \ref{thm:def:T} seien.\\
Mit der Hilfsfunktion $t_{jk} : \N^4 \rightarrow \N^6$
\begin{align}
t_{jk}(\alpha) =
\clearpage
\section{Analytische Berechnung} \label{sec:analyt}
-\todo{ \scriptsize
-\begin{itemize}
-\item Zusammenfassung des Maischak-Papers \cite{mai:3dbem}
-\item Ergebnisse ohne Beweise
-\item Betonen, wo Sie im Maischak-Paper einen Fehler gefunden haben
-\end{itemize}
-}
+% \todo{ \scriptsize
+% \begin{itemize}
+% \item Zusammenfassung des Maischak-Papers \cite{mai:3dbem}
+% \item Ergebnisse ohne Beweise
+% \item Betonen, wo Sie im Maischak-Paper einen Fehler gefunden haben
+% \end{itemize}
+% }
\noindent
In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der analytischen Berechnung des Integrals
\begin{align}\label{math:analy:int}
\clearpage
\section{Fastreguläre Partionierung in \Matlab} \label{sec:implement}
-\todo{ \scriptsize
-\begin{itemize}
-\item Datenstruktur
-\item Netzverfeinerung
-\item Code + kurze Dokumentation des Codes (was passiert wie/wo)
-\end{itemize}
-}
-
+% \todo{ \scriptsize
+% \begin{itemize}
+% \item Datenstruktur
+% \item Netzverfeinerung
+% \item Code + kurze Dokumentation des Codes (was passiert wie/wo)
+% \end{itemize}
+% }
+%
\noindent
In diesem Abschnitt werden wir die Implementierung etwas genauer betrachten.
Hierzu werden wir kurz Festhalten wie die Diskretisierung des Netzes aus Kapitel \ref{sec:bem:net} in \Matlab~und \Cpp umgesetzt wurde.
\label{exmpl13:nei:part}
\end{figure}
-\subsection{Verfeinern}
+\subsection{Verfeinern} \label{sec:implement:refine}
Diese Funktion sei die Implementierung von Algorithmus \ref{alg:refine}.
Da wir im weiteren Verlauf sowohl adaptive also auch anisotrope Netzverfeinerung zulassen wollen, ist es sinnvoll eine Verfeinerungsfunktion zu implementieren, die alle möglichen Teilungsprozesse auf einem Element realisiert. Dabei sind vier nur wirklich relevant:
\begin{enumerate}
\clearpage
\section{Numerische Experimente}\label{sec:numexp}
-\todo{ \scriptsize
-\begin{itemize}
- \item Zusammenfassung der h-h/2 Strategie (Ergebnisse aus Ferraz-DA und Paper), interessant sind nur eta und tilde-mu
- \item adaptiver Algorithmus als Algorithmus und MATLAB-Code
-\item Warum braucht man Adaptivitaet? Warum reicht isotrope Verfeinerung nicht aus? ggf. anhand numerischem Beispiel
-\item Beispiele, bei denen anisotrop gerechnet wird, bis Instabilitaet auftritt, verschiedene Strategien (voll-analytisch + ...)
-\item in Plots: Fehler/eta/tilde-mu
-\item genau beschreiben: Was ist das Beispiel? Was sieht man im Plot? Wie interpretiert man das?
-\end{itemize}
-}
-
+% \todo{ \scriptsize
+% \begin{itemize}
+% \item Zusammenfassung der h-h/2 Strategie (Ergebnisse aus Ferraz-DA und Paper), interessant sind nur eta und tilde-mu
+% \item adaptiver Algorithmus als Algorithmus und MATLAB-Code
+% \item Warum braucht man Adaptivitaet? Warum reicht isotrope Verfeinerung nicht aus? ggf. anhand numerischem Beispiel
+% \item Beispiele, bei denen anisotrop gerechnet wird, bis Instabilitaet auftritt, verschiedene Strategien (voll-analytisch + ...)
+% \item in Plots: Fehler/eta/tilde-mu
+% \item genau beschreiben: Was ist das Beispiel? Was sieht man im Plot? Wie interpretiert man das?
+% \end{itemize}
+% }
+%
\noindent
In diesem Abschnitt werden wir anhand von zwei Beispielgeometrien die gezeigten Zusammenhänge genauer untersuchen. Hierzu werden wir zunächst einige Fehlerschätzer definieren, welche auch lokale Aussagen auf den Netzen zulassen. Weiterhin werden wir eine Strategie zum Markieren von Elementen vorstellen, die die Definition eines adaptiven Algorithmus ermöglicht. Da wir durch verschiedene Strategien die Stabilität der Berechnungen sicherstellen wollen, werden wir unsere Berechnungen auf das Lösen der Gleichung
\begin{align*}
% \\
% \subfloat[Kondition der $\hat V_{\ell}$ Matrix \label{fig:2DQuad:quad:cond}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/2222t05n05_2DQuad_cond}}
\subfloat[Berechnungszeit für das Quadrat \label{fig:2DQuad:quad:time}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/2222t05n05_2DQuad_time}}
-\caption{Vergleich der Quadraturgrade auf dem Quadrat}
+\caption{Vergleich der Quadraturgrade auf dem Quadrat \todo{PLOT BESCHRIFTUNGEN}}
\label{fig:2DQuad:quad}
\end{figure}
\noindent
Bei den folgenden Berechnungen werden wir wieder den Algorithmus \ref{alg:adapt} mit Parametern $\theta=0.5,\nu=0.5$ zum Lösen von \eqref{math:bsp:FichCube:gls} verwenden, wobei für alle auftretenden Gauss-Quadraturen der Grad 4 gewählt wurde. Alle Berechnungsarten werden auf den selben Netzen ausgeführt um die Ergebnisse nicht durch die Wahl des Netzes zu beeinflussen.\\
Wir werden nun die Matrix $\hat V_{\ell}$ in der "`analytischen"' Strategie durch die in Kapitel \ref{sec:analyt} vorgestellten Stammfunktionen analytisch berechnen.
+\todo{Strategie SEMIANALYTISCH}
+Weiterhin werden wir in der Strategie "`volle Quadratur"' alle auftretenden Integrale für $\zeta_Q$ zulässige Elemente durch Gauss-Quadratur ersetzen. Da wir annehmen, dass diese Strategie wieder die zuverlässigste sein wird, werden wir den zugehörigen $\tilde \mu$ Schätzer zum Steuern der Netzverfeinerung verwenden.
\begin{figure}[ht]
Die Konditionszahlen der $\hat V_{\ell}$ Matrix sehen wir in Abbildung \ref{fig:3DFichCube:sem:cond}. Bis zu der Elementanzahl 4000 steigt die Kondition der Matrix für alle Strategien auf $10^9$ an. Für feinere Netze, erkennen wir ab der Grenze von 4000 Elementen wieder den sprunghaften Anstieg der Konditionszahl für die "`analytische"' Berechnung in \figLineA[].
\noindent
-\todo{FAZIT}
-
-
-\subsection{Beispiel Neztverfeinerung}
-
-
-
-
+Diese Beobachtungen zeigen für dreidimensionalen Geometrien, dass die analytische Berechnung auf feinen Netzen instabil wird.
+Vergleichen wir unsere Ergebnisse mit denen aus dem Paper \cite[Figur 13]{fer:errbem}, so erreichen wir mit der "`analytischen"' Strategie die gleiche Genauigkeit. Dass das Netz die Ergebnisse beeinflusst können wir fast ausschließen, da wir vergleichbare Forderungen und Parameter an die Netzverfeinerung gestellt haben.
+Durch geeignetes ersetzen der Integrale durch Gauss-Quadratur können wir jedoch die Genauigkeit der Lösung beliebig erhöhen und erreichen bis zur Netzgröße von 9000 Elementen einen Fehler der Galerkin-Lösung von 0.01. Wenn wir den Fehler für feinere Netze berechnen wollen, müssten wir entweder einen größeren Arbeitsspeicher verwenden oder andere Strategien entwickeln, welche zum Beispiel unter Verwendung von $h$-Matrizen, durch Approximation eine Komprimierung der Matrix zulassen.
-% Zum Plotten (Abb.\ref{fig:exmplAA_2DQuad})werden noch folgende Schritte ausgeführt
-% \begin{itemize}
-% \item Berechne Galerkinlösung $\phi_{\ell} \in P^0(\T_{\ell})$
-% % \item $\enorm{\hat \phi_{\ell}}$
-% % \item $\enorm{\phi_{\ell}}$
-% \item $error_{i} = \sqrt{\enorm{\phi}^2 - \enorm{\phi_{\ell}}^2}$
-% \item $\mu_{i} = \norm{\varrho^{1/2}(\hat \phi_{\ell} - \phi_{\ell} )}$
-% \item $\eta_{i} = \enorm{\hat \phi_{\ell} - \phi_{\ell}}$
-% \item $\kappa_{i} = \enorm{\hat \phi_{\ell}}-\enorm{\hat \phi_{\ell-1}}$
-% \item $\kappa2_{i} = \enorm{\phi_{\ell}}-\enorm{\phi_{\ell-1}}$
-% \item $\kappa3_{i} = \enorm{\hat \phi_{\ell}-\hat \phi_{\ell-1}}$
-% \end{itemize}
-%
-% \todo{Viele Bunte Bilder und Testergebnisse}
-% \begin{itemize}
-% \item gerechnet wurde $V\phi = 1$
-% \item Beispiele für verschiedene Figuren
-% \begin{itemize}
-% \item 2D LShape
-% \item 2D Rechteck
-% \item 3D Würfel
-% \item Fischer Würfel
-% \item L Figur
-% \end{itemize}
-% \item Beispiele für verschiedene Berechnungsarten
-% \begin{itemize}
-% \item VollAnalytisch
-% \item SemiAnalytisch über Element
-% \item SemiAnalytisch über Achse
-% \item SemiAnalytisch über Seite
-% \end{itemize}
-% \item Fehlerschätzer untersuchen und prüfen ob sie sich wie erwartet Verhalten
-% \end{itemize}
-
-
-% \showMesh[Beispiel 1.1]{exmpl11}
+\subsection{Beispielnetz mit Verfeinerung}
+An dieser Stellen wollen wir noch einmal das Netz des Quadrats aus Abbildung \ref{fig:mesh:2DQuad:start} betrachten. Wir wenden dazu die Netzverfeinerung aus Kapitel \ref{sec:implement:refine} mit dem Markierungsvektor $marked = (2, 3, 1, 3)$ auf das Startnetz an und erhalten dadurch das Netz aus Abbildung \ref{exmpl12:lage}. Die drei zugehörigen Matrizen $COO$, $ELE$ und $NEI$, welche in Kapitel \ref{sec:implement:daten} genauer beschrieben wurden, finden wir in den Abbildungen \ref{exmpl12:coo},\ref{exmpl12:ele},\ref{exmpl12:nei}.\\
\begin{figure}[ht]
-\caption{Beispiel 1.2}
-\label{exmpl12}
\centering
-\subfloat[Lage]{\includegraphics[width=0.55\textwidth]{fig/exmpl12_ref}}
-\subfloat[Koordinaten]{\input{fig/exmpl12_coo}}\\
-\subfloat[Elemente]{\input{fig/exmpl12_ele}}
-\subfloat[Nachbarn]{\input{fig/exmpl12_nei}}
+\subfloat[Lage \label{exmpl12:lage}]{\includegraphics[width=0.55\textwidth]{fig/exmpl12_ref}}
+\subfloat[Koordinatenmatrix]{\input{fig/exmpl12_coo}}\\
+\subfloat[Elementmatrix]{\input{fig/exmpl12_ele}}
+\subfloat[Nachbarschaftsrelationen]{\input{fig/exmpl12_nei}}
+\caption{{\scriptsize Dieses Beispielnetz entsteht durch die Verfeinerung von Netz \ref{fig:mesh:2DQuad} mit dem Markierungsvektor $marked = (2,3,1,3)$. Zum Verfeinern wurde der Algorithmus \ref{alg:refine} mit der Implementierung aus \ref{code:refineQuad} verwendet. In Schwarz wurde der Index der Elemente und in rot der Index der Koordinaten eingezeichnet.}}
+\label{exmpl12}
\end{figure}
+\noindent
+Wenn wir nun in diesem Netz das Element 7 durch ein Teilung vom Typ 2 weiter verfeinern, muss auch das Element 4 geteilt werden. Abbildung \ref{exmpl13:lage} stellt dieses neue Netz dar und zeigt das der Algorithmus \ref{alg:refine} die nötigen Teilungen vornimmt.
+
\begin{figure}[ht]
-\caption{Beispiel 1.3}
-\label{exmpl13}
\centering
-\subfloat[Lage]{\includegraphics[width=0.55\textwidth]{fig/exmpl13_ref}}
-\subfloat[Koordinaten]{\input{fig/exmpl13_coo}}\\
-\subfloat[Elemente]{\input{fig/exmpl13_ele}}
-\subfloat[Nachbarn]{\input{fig/exmpl13_nei}}
+% \subfloat[Lage]{
+\includegraphics[width=0.55\textwidth]{fig/exmpl13_ref}
+% }
+% \subfloat[Koordinaten]{\input{fig/exmpl13_coo}}\\
+% \subfloat[Elemente]{\input{fig/exmpl13_ele}}
+% \subfloat[Nachbarn]{\input{fig/exmpl13_nei}}
+\caption{\scriptsize Dieses Netz entsteht durch die Verfeinerung von Element 7 aus dem Netz \ref{exmpl12}. In Schwarz wurde der Index der Elemente und in rot der Index der Koordinaten eingezeichnet. Es zeigt, dass zusätzlich Elemente verfeinert werden um die Forderung von maximal drei Knoten auf einer Kante zu erfüllen.}
+\label{exmpl13:lage}\label{exmpl13}
\end{figure}
+% \begin{figure}[ht]
+% \centering
+% \subfloat[Lage]{\includegraphics[width=0.55\textwidth]{fig/exmpl13_ref}}
+% \subfloat[Koordinaten]{\input{fig/exmpl13_coo}}\\
+% \subfloat[Elemente]{\input{fig/exmpl13_ele}}
+% \subfloat[Nachbarn]{\input{fig/exmpl13_nei}}
+% \caption{Beispiel 1.3}
+% \label{exmpl13}
+% \end{figure}
+
+
% \begin{figure}[ht]
% \caption{Weitere Objekt Beispiele}
% \centering
\stepcounter{test}
\section{Anhang Code}\label{sec:code}
-\todo{
-Die wichtigsten Funktionen
-\begin{enumerate}
-\item compute
-\item refine
-\item mark
-\item build\_V (mit allen Funktionen)
-\item plot
-\end{enumerate}
-}
+% \todo{
+% Die wichtigsten Funktionen
+% \begin{enumerate}
+% \item compute
+% \item refine
+% \item mark
+% \item build\_V (mit allen Funktionen)
+% \item plot
+% \end{enumerate}
+% }
+\noindent
+Abschließend werden wir die für die Numerischen Experimente verwendeten Funktionen vorstellen. Hierbei wollen wir anmerken, dass wir im Laufe der Untersuchungen eine Erweiterung eingeführt haben auf die wir in den vorherigen Kapiteln nicht eingegangen sind.\\
+Um Berechnungsfehler für die Seitenlängen und Flächeninhalte in \Matlab~zu vermeiden, haben wir die zusätzliche Matrix $sites\in\N^{N\times2}$ eingeführt. Eine Zeile $sites_j = (a_{j},b_{j})$ mit $j\in \{1,\ldots,N\}$ der Matrix entspricht der Anzahl der Halbierungen der Seitenlängen $a,b$ aus Definition \ref{thm:def:T} vom Element $T_j$, gelten muss hierbei $a = 2^{-a_j}$ und $b = 2^{-b_j}$.
+Dadurch können wir den Flächeninhalt von $T_j$ durch $\abs{T_j} = 2^{-(a_j+b_j)}$ bestimmen.\\ In der Implementierung für die Berechnung der Matrixeinträge $A_{jk} = \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{\abs{\bs x -\bs y}}ds_{\bs y} ds_{\bs x}$ wurde diese Erweiterung nicht verwendet.
\subsection[C++]{\Cpp}
An dieser Stelle werden wir den Quellcode für die Berechnung der Matrix $A$ aus Kapitel \ref{sec:semi} und \ref{sec:analyt} vorstellen.
\subsubsection{mex\_build\_V.cpp}\label{code:mex_build_V}
\end{lstlisting}
\lstinputlisting[language=M,firstline=19,firstnumber=19]{../src/compute.m}
\subsubsection{refineQuad.m}\label{code:refineQuad}
- Diese Funktion implementiert den Verfeinern Algorithmus \ref{alg:refine}. Übergeben werden vom Netz $\T_{\ell}$, die Koordinatenmatrix \lstinline!coordinates! $\in\R^{M\times3}$, die Elementmatrix \lstinline!elements! $\in\{1,\ldots,M\}^{N\times4}$, die Nachbarschaftsrelationen \lstinline!neigh! $\in\{0,1,\ldots,N\}^{N\times8}$. Weiterhin wird auch die Seitenmatrix \lstinline!sites! $\in\N^{N\times2}$ übergeben. Die $j$te Zeile $(a_{j},b_{j})$ entspricht der Anzahl der Halbierungen der Seitenlängen $a,b$ vom Element $T_j$, gelten muss hierbei $a = 2^{a_j}$ und $b = 2^{b_j}$. Außerdem entspricht \lstinline!typ! $\in\{1,\ldots,5\}^N$ der Markierung. Bei der Rückgabe des verfeinerten Netzes $\tilde{\T_{\ell}}$ werden zusätzlich die VaterSohn Beziehungen \lstinline!f2s! zurückgegeben.
+ Diese Funktion implementiert den Verfeinern Algorithmus \ref{alg:refine}. Übergeben werden vom Netz $\T_{\ell}$, die Koordinatenmatrix \lstinline!coordinates! $\in\R^{M\times3}$, die Elementmatrix \lstinline!elements! $\in\{1,\ldots,M\}^{N\times4}$, die Nachbarschaftsrelationen \lstinline!neigh! $\in\{0,1,\ldots,N\}^{N\times8}$. Weiterhin wird auch die Seitenmatrix \lstinline!sites! $\in\N^{N\times2}$ übergeben. Die $j$te Zeile $(a_{j},b_{j})$ entspricht der Anzahl der Halbierungen der Seitenlängen $a,b$ vom Element $T_j$, gelten muss hierbei $a = 2^{-a_j}$ und $b = 2^{-b_j}$. Außerdem entspricht \lstinline!typ! $\in\{1,\ldots,5\}^N$ der Markierung. Bei der Rückgabe des verfeinerten Netzes $\tilde{\T_{\ell}}$ werden zusätzlich die VaterSohn Beziehungen \lstinline!f2s! zurückgegeben.
\begin{lstlisting}[language=M]
function [coo,ele,nei,f2s,sit,err] = refineQuad(coordinates,elements,neigh,sites,typ)
\end{lstlisting}
% \end{lstlisting}
% \lstinputlisting[language=M,firstline=30,firstnumber=30]{../src/areaQuad.m}
\subsubsection{mark.m}\label{code:mark}
- Diese Funktion Implementiert die Definition \ref{thm:def:mark}.
+ Diese Funktion Implementiert die Definition \ref{thm:def:mark}. Die Funktion wird mit der Matrix $xF2S$, dem Fehlerschätzer $\tilde \mu$ und den beiden Parametern $\theta,\nu$ aufgerufen.
+ Hierbei seien die Einträge der Matrix $xF2S \in \R^{N\times4}$ geben durch $(xF2S)_{ij} = \langle\hat\phi_{\ell},\chi_{(F2S_{ij})}\rangle$, wobei $F2S\in\N^{N\times4}$ die Matrix der Vater-Sohnrelationen und $\hat \phi_{\ell}$ die Galerkin-Lösung zum $\hat \T_{\ell}$ Netz ist.
+ Zurück geben wird der Markierungsvektor $marked\in\{1,2,3,4\}^N$.
\begin{lstlisting}[language=M]
function REF = mark(xF2S,ind,theta,nu)
\end{lstlisting}
\lstinputlisting[language=M,firstline=9,firstnumber=9]{../src/mark.m}
\clearpage
+
\bibliographystyle{gerabbrv}
\bibliography{doc}
+\addcontentsline{toc}{section}{Literatur}
\end{document}
\ No newline at end of file
projects / bacc.git / commitdiff