\begin{bem}
Weiterhin werden wir die vier Ecken des Rechtecks
\begin{align*}
- \K_T&:=\{\gamma_T(x,y) ~|~ x,y \in \{0,1\}\}
+ \K_T&:=\{k = \gamma_T(x,y) ~|~ x,y \in \{0,1\}\}
\end{align*}
als Menge der Knoten des Rechtecks $T$ bezeichnen und als Kanten von $T$ nennen wir die Menge
\begin{align*}
- \E_T&:= \{[k_T, \tilde k_T] ~|~ k_T,\tilde k_T\in \K_T, k_T\neq\tilde k_T\}.
+ \E_T&:= \{e = [k_T, \tilde k_T] ~|~ k_T,\tilde k_T\in \K_T, k_T\neq\tilde k_T\}.
\end{align*}\todo{Diagonalen sind dabei!!!}
\end{bem}
\begin{defi}Sei $a,b\in\R$ für $T$ definiert wie in Def. \ref{math:def:T}, dann heißt
\end{align*}
die Abschätzung
\begin{align}
- \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&= \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}
+ \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&\leq \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}
\end{align}
\end{sat}
\beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta$ zulässige Rechtecke. Ist $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ so kann Satz (\ref{thm:sem:quad:V}) angewendet werden um $A_{jk}$ zu approximieren. Im Fall $\diam(T_j) > \diam(T_k)$ können wir $A_{jk}$ approximieren indem wir mithilfe von $A_{jk} = A_{kj}$ und Satz (\ref{thm:sem:quad:V}), $A_{kj}$ berechnen.
\end{bem}
-\todo{\begin{bem}
- $\Lambda_p$ wächst für Chebyshev-Polynome im wesentlichen logarithmisch in $p$. Daher konvergiert $(A_p)_{jk}$ für wachsenden Quadraturgrad $p$ exponentiell schnell gegen $A_{jk}$
- Zusammenhang von Quadraturgrad und Konvergenz
+\begin{bem}
+ $\Lambda_p$ wächst für Chebyshev-Polynome im wesentlichen logarithmisch in $p$. Daher konvergiert $(A_p)_{jk}$ für wachsenden Quadraturgrad $p$ exponentiell schnell gegen $A_{jk}$.
\end{bem}
-}
+
\subsection{Approximierende Matrix}
\begin{defi} \label{thm:sem:quad:Ap}
\begin{align*}
\norm{A}_F := \left( \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n A_{ij}^2 \right)^{1/2} \quad \text{für} \quad A \in \R^{n \times n}.
\end{align*}
-\todo{Dieser Satz ist wahrscheinlich unnötig
+
\begin{sat}
Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke. Sei $\kappa : \R^2\times \R^2 \to \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2$ und Singularitätsordung $s \geq 0$. Sei $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ wie in \eqref{math:sem:zetaQ:c}. Seien $A\in \R^{n \times n}$ eine Matrix, deren Einträge gegeben sind durch
\begin{align*}
&= n^2 \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\right)^2.
\end{align*}
Durch ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung. \hfill$\square$
-}
+
% \subsection{Quadratur über eine Achse}
% \subsubsection{Quadratur}
% \begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_A > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-zulässig, genau dann wenn
\end{itemize}
}
\noindent
-In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der analytischen Berechnung der Galerkin-Matrix
+In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der analytischen Berechnung des Integrals
\begin{align}\label{math:analy:int}
-\frac{1}{4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x} \in \R^3.
+ A_{jk} = \int_{T_j} \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x- \bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x} \in \R^3.
\end{align}
mit zwei beschränkten, achsenorientierten Rechtecken $T_j,T_k \subseteq\R^3$ beschäftigen. Die im Folgenden auftretenden Stammfunktionen $\int f(x) dx$ werden wir der Einfachheit halber jeweils mit additiver Verschiebung $0$ schreiben.
Dazu wollen wir \cite{mai:3dbem} folgend, zwei Stammfunktionen zitieren, welche durch das Aufspalten des Integrals \eqref{math:analy:int} auftreten werden.
\end{align*}
benötigen, welches sich für den den Fall $p = -3/2$ lässt als
\begin{align*}
- G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,0) &= - \frac{\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}}{(y_1-x_1)(y_2-x_2)} \quad \text{ für } \lambda = 0,\\
- G(-3/2;y_1,y_2;x_1,x_2,\lambda) &=- \frac{\sgn\{(y_1-x_1)(y_2-x_2)\}}{2|\lambda|} \quad \text{ für } \lambda \neq 0\\
- &\cdot \arccos\left( \frac{-2(y_1-x_1)^2(y_2-x_2)^2}{\{(y_1-x_1)^2+\lambda^2\}\{(y_2-x_2)^2+\lambda^2\}} +1 \right).
+ G(-3/2;y_1,y_2;&x_1,x_2,0) = - \frac{\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}}{(y_1-x_1)(y_2-x_2)} \quad \text{ für } \lambda = 0,\\
+ G(-3/2;y_1,y_2;&x_1,x_2,\lambda) =- \frac{\sgn\{(y_1-x_1)(y_2-x_2)\}}{2|\lambda|} \\
+ &\cdot \arccos\left( \frac{-2(y_1-x_1)^2(y_2-x_2)^2}{\{(y_1-x_1)^2+\lambda^2\}\{(y_2-x_2)^2+\lambda^2\}} +1 \right)\quad \text{ für } \lambda \neq 0.
\end{align*}
Für alle weiteren relevanten Fälle $p = -3/2 +k$ mit $k \in \N$ können wir folgende Rekursionsformel aufstellen
\begin{align*}
\end{align}
\end{lem}
-\todo{
+
\subsection{Bestimmtes Integral}
+Mithilfe der Stammfunktionen $F_p$ und $F_o$ können wir nun das Integral aus \eqref{math:analy:int} für orthogonal und parrallel liegenden achsenorientierte Rechtecke $T$ und $\tilde T$ berechnen.
\begin{align*}
\int_T& \int_{\tilde T} \frac{1}{|x-y|} ds_y ds_x\\
-&\approx \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}\int_0^{\tilde k_2}
+&= \int_0^{k_1}\int_0^{k_2}\int_0^{\tilde k_1}\int_0^{\tilde k_2}
\dif{}{y_2} \dif{}{y_1} \dif{}{x_2} \dif{}{x_1}
F_{p/o}(x_1,x_2,y_1,y_2)
dy_2 dy_1 dx_2 dx_1\\
-
F_{p/o}(0,0,0,0)
\end{align*}
-}
+
\clearpage
end
kap3 = 0;
%times mal verfeinern
-for j = 1:times
+for j = 1:times
if(exist('coo_fine','var'))
old_C_fine = coo_fine;
old_F_fine = f2s;
%data -> ErgebnisVektor
dataS = size(elements,1);
+ %zeta Vorbereiten
+ if(~iscell(zeta))
+ zeta_tmp = zeta;
+ clear zeta;
+ for i = 1:length(typ)
+ zeta{i} = zeta_tmp;
+ end
+ end
+
%Alle MatrixBrechenungsArten mit dem selben Netz berechnen
for i = 1:length(typ)
disp([num2str(size(elements,1)) ' : ' t2str(toc) ' ->' num2str(i)])
%Matrix aufbauen -> MEX
- V_fine = mex_build_V(coo_fine,ele_fine,zeta,typ(i));
+ V_fine = mex_build_V(coo_fine,ele_fine,zeta{i},typ(i));
%Testet auf Fehlerhafte Eintraege (NaN +/-Inf)
[r c] = find(isnan(V_fine)~=isinf(V_fine));
sum((x_fine(f2s)'-repmat(sum(x_fine(f2s)',1)/4,4,1)).^2)' /4;
%Fehlerschaetzer 2 aufbauen
- V = mex_build_V(coordinates,elements,zeta,typ(i));
+ V = mex_build_V(coordinates,elements,zeta{i},typ(i));
if(~vcon)
x = V\b;
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