\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\arsinh}{arsinh}
-\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
+% \DeclareMathOperator{\diam}{diam}
+\newcommand{\diam}{\mathcal{D}}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\len}{len}
\end{align*}
Durchmesser von T. Weiterhin nennen wir
\begin{align*}
- \diam_{|\bs a} (T) = a
+ \diam_{\bs a} (T) = a
\end{align*}
die Seitenlänge des Rechtecks $T$ in Richtung $\bs a$. Die Seitenlänge in Richtung $\bs b$ definieren wir analog.
\end{defi}
% Das Integral über $T_j$ kann durch die analytische Doppelintegral Funktion ersetzt werden. Die Quadratur über $T_k$ wird nun mittels einer doppelten Gauss-Quadratur berechnet.
\begin{defi}
- Die Kern-Funktion $\kappa(\bs x,\bs y)$ heißt asymptotisch glatt, falls sie glatt ist für $\bs x \neq \bs y$ und Konstanten $c_1,c_2>0$ und eine Ordnung der Singularität $s \in \R$ existieren, sodass
+ Die Kern-Funktion $\kappa(\bs x,\bs y)$ heißt asymptotisch glatt , falls sie glatt ist für $\bs x \neq \bs y$ und Konstanten $c_1,c_2>0$ und eine Ordnung der Singularität $s \in \R$ existieren, sodass
\begin{align}\label{math:sem:glatt} % Glatter KERN
\abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\partial_{\bs y}^{\beta}\kappa(\bs x, \bs y)}
&\leq c_1(c_2(\abs{\bs x - \bs y})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha} + \abs{\beta})!
\end{align}
\end{lem}
\hfill$\square$
-\subsubsection{volle Quadratur}
+\subsubsection{Quadratur}
\begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_Q > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_Q$-zulässig, genau dann wenn
\begin{align}\label{math:sem:zetaQ}
\dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}.
schreiben.\\
Bezeichnet $\gamma$ die Parametrisierung von $T$, so gilt aufgrund der Kettenregel
\begin{align*}
- \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa}&=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
- &=\diam(T_j)^{\alpha} \diam(T_k)^{\beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}.
+ \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa}
+ &=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\
+ &=\diam(T_j)^{\alpha} \diam(T_k)^{\beta}
+ \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}.
\end{align*}
Ferner gilt mit \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
\begin{align*}
womit der Beweis abgeschlossen ist.
\hfill$\square$
-% \subsection{1D Integral}
-% \begin{lem}
-% Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_1$-zulässige, affine Randstücke mit $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$. Weiterhin sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit den Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$.
-% Dann gilt mit
-% \begin{align}
-% C_{\zeta,j,\kappa} &:= 4 e\frac{c_1}{(c_2 \todo{\dist(T_j,T_k)})^s}\left(1+\frac{\zeta}{c_2}\right)
-% \end{align}
-% die Abschätzung
-% \begin{align*}
-% \sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\cdot,\bs y)-\I_p\kappa(\cdot,\bs y)}_{\infty,T_{j| x_{\bs b}}}
-% &\leq C_{\zeta,j,\kappa}(1+\Lambda_p)(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)}.
-% \end{align*}
-% \end{lem}
-% \beweis Wir definieren die Konstanten
-% \begin{align}
-% C_{\kappa} &:= \frac{c_1}{(c_2 \todo{\dist(T_j,T_k)})^s}\geq 0 \quad \text{und} \quad
-% \rho_{\kappa} := \frac{\zeta}{c_2}\geq 0
-% \end{align}
-% und können die Konstante $C_{\zeta,j,\kappa}$ dann schreiben als:
-% \begin{align}
-% C_{\zeta,j,\kappa} &= C_{\kappa} 4 e(1+\rho_{\kappa}).
-% \end{align}
-% Sei $\bs y \in T_k$ fest gewählt. Ist $\gamma_{j | x_{\bs b}}$ die Parametrisierung von $T_{j| x_{\bs b}}$, so gilt aufgrund $\abs{\gamma_{j|x_{\bs b}}'}=\abs{a_j\bs a_j}=\diam_{|\bs a}(T_j)$ und der Kettenregel
-% \begin{align*}
-% \abs{\partial_{\bs x}^{\alpha}\kappa}
-% &= \abs{\partial_{x_{\bs a}}^n(\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y))}
-% = (\diam_{|\bs a}(T_j))^n\abs{(\partial_{x_{\bs a}}^n\kappa)(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)}.
-% \end{align*}
-% Mithilfe von \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_k$ gilt die Abschätzung\\
-% \todo{Ist $\abs{\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a})-\bs y}$ wirklich $\abs{\bs x -\bs y} \Rightarrow \dist(T_j,T_k)$}
-% \begin{align*}
-% (\diam_{|\bs a}(T_j))^n&\abs{(\partial_{x_{\bs a}}^n\kappa)(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)}\\
-% &\leq \diam_{|\bs a}(T_j))^n c_1(c_2 \abs{\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a})-\bs y})^{-n-s}n!\\
-% &= \diam_{|\bs a}(T_j))^n c_1(c_2 \todo{\abs{\bs x-\bs y}})^{-n-s}n!\\
-% &= \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x-\bs y})^s} \left(\frac{\diam_{|\bs a}(T_j))}{c_2 \abs{\bs x-\bs y}} \right)^nn!\\
-% &\leq C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!
-% \end{align*}
-% Da $T_j$ und $T_k$ zulässig sind ist $\kappa$ auf $T_j \times T_k$ glatt. Daher sind die Voraussetzungen für \eqref{math:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt
-% \begin{align*}
-% \min_{v \in \P^p} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-v}_{\infty,[0,1]}
-% &\leq C_{\kappa} 4 e(1+\rho_{\kappa})(p+1)\left( 1+ \frac{2}{\rho_{\kappa}} \right)^{-(p+1)}\\
-% &= C_{\zeta,j,\kappa}(p+1)\left( 1+ \frac{2}{\rho_{\kappa}} \right)^{-(p+1)}
-% \end{align*}
-% für alle $p \in \N_0$, wobei $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad $p$ ist. Daraus folgt also
-% \begin{align*}
-% \min_{v \in \P^p} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-v}_{\infty,[0,1]}
-% &\leq C_{\zeta,j,\kappa}(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)}
-% \end{align*}
-% und mithilfe von Satz \ref{math:ipol} gilt
-% \begin{align*}
-% \norm{\kappa(\cdot,\bs y)-\I_p\kappa(\cdot,\bs y)}_{\infty,T_{j| x_{\bs b}}}
-% &\leq C_{\zeta,j,\kappa}(1+\Lambda_p)(p+1)\left( 1+ \frac{2c_1}{\zeta} \right)^{-(p+1)}.
-% \end{align*}
-% Da $\bs y$ und $x_{\bs b}$ beliebig war und die rechte Seite unabhängig von $\bs y,x_{\bs b}$ ist, folgt die Behauptung für das Supremum.
-% \hfill$\square$
-
\subsubsection{Matrix}
\begin{sat}
-Seien $Tj,Tk$ zwei $\zeta_1$-zulässige affine Randstücke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$ und $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
+Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
\begin{align}
- \tilde C_{\zeta,j,\kappa}.
+ \tilde C_{\zeta,j,\kappa}
+\end{align}
+und
+\begin{align}
+ D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k).
\end{align}
Dann gilt für das Integral
\begin{align}
A_{jk}
&= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
- &=\diam(T_j) \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y) ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}
+ &= D_{j,k}
+ \int_{[0,1]^2} \int_{[0,1]^2} \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
\end{align}
und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Term
-\begin{align}
- (A_p)_{jk}
- &=\diam(T_j) \sum_{i=0}^p w_i \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a,i}),\bs y) ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}
-\end{align}
+\begin{align*}
+ (A_p)_{jk}&=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))
+\end{align*}
die Abschätzung
\begin{align}
.
\beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
\begin{align*}
(A_p)_{jk}
- &=\diam(T_j) \sum_{i=0}^p w_i \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a,i}),\bs y) ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}\\
- &=\diam(T_j) \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k} \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y),
+ &=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\
+ &=D_{j,k} \int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \I_{2p+1}^2\I_{2p+1}^2 \kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) dx dy,
\end{align*}
wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\bs a}$ bezeichnet. Wegen der Additivität des Integrals und durch Hineinziehen des Betrags erhält man
\begin{align*}
\abs{A_{jk} &- (A_p)_{jk}}\\
- &=\diam(T_j) \Abs{ \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k}
- \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)- \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}}\\
- &\leq \diam(T_j) \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k}
- \abs{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)- \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)} ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}\\
+ &=D_{j,k} \Abs{\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) - \int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \I_{2p+1}^2\I_{2p+1}^2 \kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) dx dy}\\
+ &\leq D_{j,k}\int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \Abs{\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) - \I_{2p+1}^2\I_{2p+1}^2 \kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))} dx dy\\
&=\why{\sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]}}
\end{align*}
\todo{\hfill$\square$\\}
+
+
\begin{lem}
Seien $Tj,T_k$ zwei Randstücke, $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion und
\begin{align}
\end{lem}
+\subsection{Quadratur über eine Achse}
+\subsubsection{Quadratur}
+\begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_A > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-zulässig, genau dann wenn
+ \begin{align}\label{math:sem:zetaQ}
+ \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_A \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)).
+ \end{align}
+ Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_A$-unzulässig.
+\end{defi}
+
+\begin{sat} Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
+ \begin{align*}
+ C_{\zeta_A,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_A}{c_2} \right)
+ \end{align*}
+die Abschätzung
+ \begin{align*}
+ \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
+ &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}.
+ \end{align*}
+\end{sat}
+\beweis Zunächst definieren wir die Konstanten
+\begin{align*}
+ C_{\kappa} &=\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \quad \text{und} \quad \rho_{\kappa} = \frac{\zeta_A}{c_2}
+\end{align*}
+und können dann die Konstante $C_{\zeta_A,j,k}$ kurz
+\begin{align*}
+ C_{\zeta_A,j,k} &= 8eC_{\kappa} (1+\rho_{\kappa})
+\end{align*}
+schreiben.\\
+Sei $x_b,y_b \in [0,1]$ fest gewählt. Bezeichnet $\gamma$ die Parametrisierung von $T$, so gilt aufgrund der Kettenregel
+\begin{align*}
+ \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa}
+ &=\Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\
+ &=\diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta}
+ \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}.
+\end{align*}
+Ferner gilt mit \eqref{math:sem:glatt} und den Konstanten $C_{\kappa},\rho_{\kappa}$ die Abschätzung
+\begin{align*}
+ \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha}& \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x,x_b),\gamma_k(y,y_b))}\\
+ \leq& \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha} \diam_{\bs a}(T_k)^{\beta} c_1 (c_2 \abs{\gamma_j(x,x_b)-\gamma_k(y,y_b))})^{-(\abs{\alpha}+\abs{\beta}+s)}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
+ \leq & \max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))^{\alpha+\beta} c_1 (c_2 \abs{\bs x - \bs y})^{-(\alpha+\beta+s)}(\alpha+\beta)!\\
+ = & \frac{c_1}{(c_2 \abs{\bs x - \bs y})^s} \left( \frac{\max(\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k))}{c_2 \abs{\bs x - \bs y}} \right)^{\alpha+\beta}(\abs{\alpha}+\abs{\beta})!\\
+ \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^nn!.
+\end{align*}
+Laut Voraussetzung sind $T_j,T_k$ $\zeta_A$-zulässig, weshalb $\kappa$ auf $T_j,T_k$ definitionsgemäß glatt ist. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt die Abschätzung mithilfe von \eqref{math:sem:zetaQ}
+\begin{align*}
+ \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))&-\I_p^{[0,1]^2}\kappa(\gamma_j(\cdot,x_b),\gamma_k(\cdot,y_b))}_{\infty,[0,1]^2}\\
+ &\leq C_{\kappa} 8e(1+\rho_{\kappa})\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
+% &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
+ &= C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)}.
+\end{align*}
+Weiterhin folgt für $T_j \times T_k$
+\begin{align*}
+ \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
+ &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^2(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_A}\right)^{-(p+1)},
+\end{align*}
+womit der Beweis abgeschlossen ist.
+\hfill$\square$
+
+\subsubsection{Matrix}
+\begin{sat}
+Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_A$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
+\begin{align}
+ \tilde C_{\zeta,j,\kappa}
+\end{align}
+und
+\begin{align}
+ D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k).
+\end{align}
+Dann gilt für das Integral
+\begin{align}
+ A_{jk}
+ &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
+ &= D_{j,k}
+ \int_{[0,1]^2} \int_{[0,1]^2} \kappa(\gamma_j(\bs x),\gamma_k(\bs y)) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
+\end{align}
+und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Term
+\begin{align*}
+ (A_p)_{jk}&=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))
+\end{align*}
+die Abschätzung
+\begin{align}
+.
+\end{align}
+\end{sat}
+\beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
+\begin{align*}
+ (A_p)_{jk}
+ &=D_{j,k}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \sum_{c=0}^p w_c \sum_{d=0}^p w_d \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d))\\
+ &=D_{j,k} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d,
+\end{align*}
+wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\bs a}$ bezeichnet. Wegen der Additivität des Integrals und durch Hineinziehen des Betrags erhält man
+\begin{align*}
+ \abs{A_{jk} &- (A_p)_{jk}}\\
+ &=D_{j,k} \Abs{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1
+ \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) - \I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1}\I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(x_a,x_b),\gamma_k(y_c,y_d)) dx_a dx_b dy_c dy_d}\\
+ &\leq D_{j,k} \int_0^1 \int_{T_{j | x_{\bs a}}} \int_{T_k}
+ \abs{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)- \I_{2p+1} \kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(x_{\bs a}),\bs y)} ds_{\bs y} ds_{x_{\bs b}}\\
+ &=\why{\sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]}}
+\end{align*}
+
+\todo{\hfill$\square$\\}
+
+
\clearpage
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