\usepackage{color} %Farben benutzen und Definieren
\usepackage{subfig} %mehrere Figuren in einer
-%\usepackage{bibgerm} %Zitate und Referenzen Style
+%\usepackage{bibgerm} %Zitate und Referenzen Stil
\usepackage{babelbib}
\usepackage{lstings} %Code Einbinden (Private)
\end{aligned}
\end{align}
wobei $\varDelta u := \partial_x^2u+\partial_y^2u+\partial_z^2u$ den Laplace-Operator bezeichnet und $\Omega \subset \R^3$ eine beschränkte Teilmenge von $\R^3$ mit Lipschitz-Rand $\Gamma$ ist.\\
-In Abschnitt \ref{sec:bem} stellen wir die Randelementemethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen vor. Dabei verwenden wir den indirekten Ansatz, um anschließend mithilfe des Galerkin-Verfahrens die Gleichung zu lösen. An dieser Stelle werden wir auch kurz die Parametrisierung des Randes vorstellen. Wir werden im Folgenden den Rand in affine achsenorientierte Rechtecke $T$ zerlegen, das heißt die Punkte in einem Rechteck liegen in einer zu den Achsen des Koordinatensystems parallelen Ebene.\\
+In Abschnitt \ref{sec:bem} stellen wir die Randelementemethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen vor. Dabei verwenden wir den indirekten Ansatz, um anschließend mithilfe des Galerkin-Verfahrens die Gleichung zu lösen. An dieser Stelle werden wir auch kurz die Parametrisierung des Randes vorstellen. Wir werden im Folgenden den Rand in affine achsenorientierte Rechtecke $T$ zerlegen, das heißt, die Punkte in einem Rechteck liegen in einer zu den Achsen des Koordinatensystems parallelen Ebene.\\
In Abschnitt \ref{sec:semi} werden wir uns mit der approximativen Berechnung des Doppelintegrals
\begin{align}\label{math:intro:int}
\int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x, \bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
% \begin{align}
% -\varDelta \tilde V \phi = 0 \quad \text{für alle }\phi \in H^{1/2}(\Gamma).
% \end{align}
-% Wir machen nun den sogenannten indirekten Ansat $u = \tilde V\phi$. Wegen \todo{$(4)$} ist die Laplace-Gleichung erfüllt, und es gilt
+% Wir machen nun den sogenannten indirekten Ansat $u = \tilde V\phi$. Wegen \todo{$(4)$} ist die Laplace-Gleichung erfüllt und es gilt
% \begin{align}
% V\phi=g,
% \end{align}
- \varDelta u &= 0 \quad \text{ in } H^{-1}(\Omega), \\
\gamma_0 u &= g \quad \text{ auf }H^{1/2}(\Gamma).
\end{align*}
-Gemäß \cite[Kapitel 6.2 und 6.3]{stb:fem} kann $\tilde V$ auch als Operator $\tilde V \in L(H^{-1/2}(\Gamma),H^{1}(\Omega))$ aufgefasst werden, und es gilt
+Gemäß \cite[Kapitel 6.2 und 6.3]{stb:fem} kann $\tilde V$ auch als Operator $\tilde V \in L(H^{-1/2}(\Gamma),H^{1}(\Omega))$ aufgefasst werden und es gilt
\begin{align*}
-\varDelta\tilde V\phi = 0 \in H^{-1}(\Omega) \quad \text{für alle }\phi \in H^{-1/2}(\Gamma)
\end{align*}
Dann ist $\tilde V\phi$ die Lösung des Problems \eqref{math:slp:lapGLS}.
\noindent
-Da wir das Problem \eqref{math:slp:gls} im allgemeinen nicht lösen können, werden wir es mithilfe des Galerkin-Verfahrens näherungsweise lösen. Die Idee dabei ist $H^{-1/2}(\Gamma)$ durch einen endlich dimensionalen Unterraum zu ersetzen.
+Da wir das Problem \eqref{math:slp:gls} im Allgemeinen nicht exakt lösen können, werden wir es mithilfe des Galerkin-Verfahrens näherungsweise lösen. Die Idee dabei ist $H^{-1/2}(\Gamma)$ durch einen endlich dimensionalen Unterraum zu ersetzen.
\noindent
-Bezeichne nun $\langle \cdot, \cdot \rangle$ das erweiterte $L^2$-Skalarprodukt, so existiert, da das Einfachschichtpotential $V$ ein symmetrischer, und mit geeigneter Skalierung elliptischer Isomorphismus ist, auf $\widetilde H^{-1/2}$ ein äquivalentes Skalarprodukt $\llangle \cdot, \cdot \rrangle$ mit $\llangle \phi, \psi \rrangle := \langle V\phi,\psi\rangle$ und der induzierten Norm $\enorm{\cdot}$.
+Bezeichne nun $\langle \cdot, \cdot \rangle$ das erweiterte $L^2$-Skalarprodukt, so existiert, da das Einfachschichtpotential $V$ ein symmetrischer und mit geeigneter Skalierung elliptischer Isomorphismus ist, auf $\widetilde H^{-1/2}$ ein äquivalentes Skalarprodukt $\llangle \cdot, \cdot \rrangle$ mit $\llangle \phi, \psi \rrangle := \langle V\phi,\psi\rangle$ und der induzierten Norm $\enorm{\cdot}$.
Sei nun $\phi$ die eindeutige Lösung von \eqref{math:slp:gls} und bezeichne $g$ die Dirichlet-Daten am Rand. Dann gilt
\begin{align}
\llangle \phi,\psi\rrangle = \langle g,\psi\rangle \quad \text{für alle }\psi \in \widetilde H^{-1/2}.
1&\text{für alle }\bs x \in T_i\\
0&\text{sonst}
\end{cases}
- \quad \text{für alle } i\in\{1,2,\ldots,N\},
+ \quad \text{für alle } i\in\{1,2,\ldots,N\}
\end{align*}
und sei $P^0(\T_{\ell}) := span\{\chi_i : i=1,\ldots,N\}$ der aufgespannte Teilraum von $\tilde H^{-1/2}(\Gamma)$. Wir suchen also die Lösung $\phi_{\ell} \in P^0(\T_{\ell})$ für
\begin{align*}
\subsection{Netze} \label{sec:bem:net}
Für die Diskretisierung des Problems wollen wir nun einige Begriffe definieren. Zunächst wollen wir ein achsenorientiertes Rechteck beschreiben, dessen Seiten parallel zu den Achsen des kartesischen Koordinatensystems liegen.
-\begin{defi}\label{thm:def:T} Sei $\bs v \in \R^3$, $\bs a,\bs b \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$ mit $\bs a\neq \bs b$ und $a, b \in \R$ mit $a, b > 0$. Dann heißt
+\begin{defi}\label{thm:def:T} Sei $\bs v \in \R^3$, $\bs a,\bs b \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$ mit $\bs a\neq \bs b$ und $a, b \in \R$ mit $a, b > 0$. Dann nennen wir
\begin{align*}
T := \{\bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b} ~|~ \lambda_1,\lambda_2 \in[0,1]\}
\end{align*}
-achsenorientiertes Rechteck. Ferner heißt
+achsenorientiertes Rechteck. Ferner sei
\begin{align*}
\gamma_T := [0,1]^2 \to T: \lambda_1,\lambda_2 \mapsto \bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b}
\end{align*}
\caption{achsenorientiertes Rechteck}
\label{fig:net:single}
\end{figure}
-Des Weiteren werden wir für die Berechnungen noch Aussagen über die Größe eines Elements, sowie über den Abstand zweier Elemente festhalten.
+Des Weiteren werden wir für die Berechnungen noch Aussagen über die Größe eines Elements sowie über den Abstand zweier Elemente festhalten.
\begin{defi}\label{thm:def:diam}Sei $a,b\in\R$ für $T$ definiert wie in Definition~\ref{thm:def:T}, dann heißt
\begin{align*}
\diam (T) &= (a^2+b^2)^{1/2}
\end{align*}
-Durchmesser von $T$. Weiterhin nennen wir
+Durchmesser von $T$. Weiterhin bezeichne
\begin{align*}
\diam_{\bs a} (T) = a
\end{align*}
\end{align*}
wobei das Minimum aufgrund der Kompaktheit von $T_j, T_k$ angenommen wird. Weiterhin definieren wir auch den Abstand in einer bestimmten Richtung $\bs a$ durch
\begin{align*}
- \dist_{\bs a}(T_j,T_k) &= \min \{\abs{\bs a^T \cdot (\bs x-\bs y)} ~|~ \bs x \in T_j,\bs y \in T_k\},
+ \dist_{\bs a}(T_j,T_k) &= \min \{\abs{\bs a^T \cdot (\bs x-\bs y)} ~|~ \bs x \in T_j,\bs y \in T_k\}
\end{align*}
mit dem Skalarprodukt $\cdot$ und $\bs a \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$.
\end{defi}
\begin{itemize}
\item $\overline{\Gamma} = \bigcup_{j=1}^NT_j$
% \item alle Elemente aus $T_{\ell}$ sind abgeschlossene achsenorientierte Rechtecke
-\item $\abs{T_j \cap T_k}=0$ für den Schnitt zweier Elemente $T_j,T_k\in\T_{\ell}$ mit $T_j\neq T_k$
+\item $\abs{T_j \cap T_k}=0$ für den Schnitt zweier Elemente $T_j,T_k\in\T_{\ell}$ mit $T_j\neq T_k$.
\end{itemize}
Hier bezeichne $\abs{\cdot}$ das 2-dimensionale Oberflächenmaß. Weiterhin sei der Schnitt $T_j \cap T_k$ zweier Elemente $T_j,T_k\in\T_{\ell}$ mit $T_j\neq T_k$
\begin{itemize}
\begin{itemize}
\item Sind $e,\tilde e \in \E_T$ Kanten von $T \in \T_{\ell}$ mit $e \cap \tilde e = \emptyset$, so liegen diese gegenüber und haben insbesondere dieselbe Länge. Falls $e$ verfeinert werden soll, muss zwingend auch $\tilde e$ verfeinert werden.
\item Es bezeichnet $\S_{\ell} := \{ (e,T) ~|~ T \in \T_{\ell}, e \in \E_T \}$ die Menge aller Elemente mit zugehörigen Kanten.
- Hierbei kann es aufgrund der maximal drei Knoten auf einer Kante vorkommen, dass eine Kante $e \in \E_{\ell}$, die im inneren von $\Gamma$ liegt, nur zu einem Element $T\in\T_{\ell}$ gehört und nicht zu zwei. In diesem Fall gibt es ein Element $\hat T\in \T_{\ell}$ mit Kante $\hat e \in \E_{\ell}$ in der $e$ ganz enthalten ist. Sollte $(e,T)$ verfeinert werden, so muss zwingend auch $(\hat e,\hat T)$ verfeinert werden, damit nicht mehr als drei Knoten auf der Kante $\hat e$ entstehen.
+ Hierbei kann es aufgrund der maximal drei Knoten auf einer Kante vorkommen, dass eine Kante $e \in \E_{\ell}$, die im Inneren von $\Gamma$ liegt, nur zu einem Element $T\in\T_{\ell}$ gehört und nicht zu zwei. In diesem Fall gibt es ein Element $\hat T\in \T_{\ell}$ mit Kante $\hat e \in \E_{\ell}$ in der $e$ ganz enthalten ist. Sollte $(e,T)$ verfeinert werden, so muss zwingend auch $(\hat e,\hat T)$ verfeinert werden, damit nicht mehr als drei Knoten auf der Kante $\hat e$ entstehen.
\end{itemize}
\begin{alg}[Verfeinern] \label{alg:refine} Sei $\T_{\ell}$ eine Partition und $\sqcap_{\ell} \subseteq \S_{\ell}$ eine Menge markierter Kanten. Nun sei $\sqcap_{\ell}^{(0)}:=\sqcap_{\ell}$ und $i=0$. Dann gehe so vor:
\begin{enumerate}
Weiterhin wollen wir uns kurz die Ableitung der asymptotisch glatten Kernfunktion mit einer Parametrisierung anschauen.
\begin{lem} \label{thm:sem:kett}
- Sei $\kappa(\cdot , \cdot) : \R^3\times\R^3 \rightarrow \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion und sei weiterhin $ g: \R^4 \rightarrow \R^6$ die Parametrisierung zweier achsenorientierten Rechtecke $T_j$ und $T_k$, mit $T_j \cap T_k = \emptyset$, sowie
+ Sei $\kappa(\cdot , \cdot) : \R^3\times\R^3 \rightarrow \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion und sei weiterhin $ g: \R^4 \rightarrow \R^6$ die Parametrisierung zweier achsenorientierten Rechtecke $T_j$ und $T_k$, mit $T_j \cap T_k = \emptyset$ sowie
\begin{align}
g(\lambda) = (\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4)),
\end{align}
\partial_4 g_{\ell}(\lambda) &= \tilde b \tilde{ \bs b}_{\ell -3}
\end{align*}
für $\ell \in \{4,5,6\}$ erhalten.\\
-Mit diesen Vorüberlegungen können wir, da $\kappa$ asymptotisch glatt ist, den Gradient $AB \in \R^{1 \times 4}$ anschreiben
+Mit diesen Vorüberlegungen erhalten wir, da $\kappa$ asymptotisch glatt ist, den Gradient $AB \in \R^{1 \times 4}$
\begin{align}
AB =
\begin{pmatrix}
ind : \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\} &\rightarrow \{ 1 , 2 , 3 \}\\
\bs x &\mapsto (1, 2, 3) \cdot \bs x
\end{align*}
-für die Einheitsvektoren mit dem Skalarprodukt $\cdot$, können wir den Gradient
+für die Einheitsvektoren mit dem Skalarprodukt $\cdot$ vereinfachen wir den Gradient zu
% \begin{equation}
\begin{align*}
% \begin{split}
\partial_1 (\kappa \circ g)(\lambda) &= a \partial_{ind(\bs a)}\kappa(g(\lambda))&
\partial_3 (\kappa \circ g)(\lambda) &= \tilde a \partial_{ind(\tilde{\bs a})+3}\kappa(g(\lambda))\\
\partial_2 (\kappa \circ g)(\lambda) &= b \partial_{ind(\bs b)}\kappa(g(\lambda))&
- \partial_4 (\kappa \circ g)(\lambda) &= \tilde b \partial_{ind(\tilde{\bs b})+3}\kappa(g(\lambda))
+ \partial_4 (\kappa \circ g)(\lambda) &= \tilde b \partial_{ind(\tilde{\bs b})+3}\kappa(g(\lambda)),
% \end{split}
\end{align*}
% \end{equation}
-genau anschreiben, wobei auch hier wieder auf die richtige Indizierung geachtet werden muss.\\
+wobei auch hier wieder auf die richtige Indizierung geachtet werden muss.\\
Des Weiteren bestehen die ersten Ableitungen nur aus einem Skalar und dem asymptotisch glatten Kern $\partial_{\ell}\kappa(g(\lambda))$, weshalb wir die Kettenregel beliebig oft anwenden können.
-Mithilfe der Funktion $t_{jk} : \N^4 \rightarrow \N^6$ können wir abschließend für Multiindex $\alpha \in \N_0^4$ die partiellen Ableitungen $\partial^{\alpha} (\kappa \circ g)(\lambda)$ anschreiben
+Mithilfe der Funktion $t_{jk} : \N^4 \rightarrow \N^6$ erhalten wir abschließend für Multiindex $\alpha \in \N_0^4$ die partiellen Ableitungen % $\partial^{\alpha} (\kappa \circ g)(\lambda)$
\begin{align*}
\partial^\alpha (\kappa \circ g)(\lambda) &= a^{\alpha_1} b^{\alpha_2} \tilde a^{\alpha_3} \tilde b^{\alpha_4} \partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g(\lambda)).
\end{align*}
\end{beweis}
\noindent
-Für die Interpolation werden wir folgenden Bedingung verwenden.
+Für die Interpolation werden wir folgende Bedingung verwenden.
-\begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke und sei $\zeta_Q > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_Q$-zulässig, genau dann wenn
+\begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke und sei $\zeta_Q > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_Q$-zulässig genau dann, wenn
\begin{align}\label{math:sem:zetaQ}
\dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}.
\end{align}
\end{defi}
\noindent
-Mit diesen Vorüberlegungen können wir nun den folgenden Satz über die Interpolation der asymptotisch glatten Kernfunktion unter der Parametrisierung zeigen.
+Mit diesen Vorüberlegungen zeigen wir nun den folgenden Satz über die Interpolation der asymptotisch glatten Kernfunktion unter der Parametrisierung.
\begin{sat} \label{thm:sem:pol:V} Seien $T_j,T_k \subseteq \R^3$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa(\cdot,\cdot)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
= & \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\max(\diam(T_j),\diam(T_k))}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
\leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
\end{align*}
-wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ und $\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4) \in T_k$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt die Abschätzung
+wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ und $\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4) \in T_k$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt die Abschätzung
\begin{align*}
\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))&-\I_p^4\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot))}_{\infty,[0,1]^4}\\
&\leq C_{\kappa} 8e(1+2\rho_{\kappa})\Lambda_p^4(p+1)\left(1+\frac{1}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
% MatrixEINTRAG -------------------------------------------------
\noindent
-Da sich wie gezeigt die Kernfunktion besonders gut durch Polynome Interpolieren lässt, wollen wir dieses Wissen auf die Quadratur übertragen und werden die vier Integrale im Folgenden durch die Gauss-Quadratur approximieren.
+Da sich wie gezeigt die Kernfunktion besonders gut durch Polynome interpolieren lässt, wollen wir dieses Wissen auf die Quadratur übertragen und werden die vier Integrale im Folgenden durch die Gauss-Quadratur approximieren.
\begin{sat}\label{thm:sem:quad:V}
Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
\begin{align} \label{math:sem:zetaQ:c}
- \tilde C_{\zeta_Q,j,k}&:=2^3e\frac{c_1\abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)
+ \tilde C_{\zeta_Q,j,k}&:=2^3e\frac{c_1\abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{2}{c_2\zeta_Q} \right).
\end{align}
Dann gilt mit $\bs \lambda_j = (\lambda_1,\lambda_2)$ und $\bs \lambda_k = (\lambda_3,\lambda_4)$ für das Integral
\begin{align}
\noindent
Da die Konstante $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ durch die Netzverfeinerung, aufgrund der Distanz sehr groß werden könnte, untersuchen wir sie an dieser Stelle noch einmal etwas genauer.
- Mitithilfe der folgenden Abschätzung für $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke $T_j,T_k$
+ Mithilfe der folgenden Abschätzung für $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke $T_j,T_k$
\begin{align*}
\tilde C_{\zeta_Q,j,k} & = 2^3 e \frac{c_1 \abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s}\left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\\
& \leq 2^3 e \frac{c_1 \abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2 \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\\
Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke. Sei $\kappa : \R^3\times \R^3 \to \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2$ und Singularitätsordung $s \geq 0$. Sei $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ wie in \eqref{math:sem:zetaQ:c} für $\zeta_Q$-zulässsige Rechtecke $T_j,T_k$ und für unzulässige sei $\tilde C_{\zeta_Q,j,k} = 0$ . Sei $A\in \R^{n \times n}$ eine Matrix, deren Einträge gegeben sind durch
\begin{align*}
A_{jk}
- &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}.
+ &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
\end{align*}
und sei $A_p$ die $A$ approximierende Matrix gemäß Definition \ref{thm:sem:quad:AV}. Dann gilt
\begin{align*}
&\leq \sum_{j,k=1}^n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_{2p+1}^4 2(p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-2(p+1)}\right)^2\\
&= n^2 \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_{2p+1}^4 2(p+1)\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{-2(p+1)}\right)^2.
\end{align*}
-Durch ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung.
+Durch Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung.
\end{beweis}
\subsection{Quadratur über ein Element}\label{sec:semi:QE}
-\begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke und sei $\zeta_E > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_E$-zulässig, genau dann wenn
+\begin{defi} Seien $T_j,T_k \in \R^3$ achsenorientierte Rechtecke und sei $\zeta_E > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_E$-zulässig genau dann, wenn
\begin{align}\label{math:sem:zetaE}
\dist(T_j, T_k)&\geq \zeta_E \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}.
\end{align}
= & \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\diam(T_j)}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
\leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
\end{align*}
-wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt schließlich die Abschätzung
+wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt schließlich die Abschätzung
\begin{align*}
\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\bs y)-\I_p^2\kappa(\gamma_j(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]^2}
&\leq C_{\kappa} 8e(1+\sqrt 2 \rho_{\kappa})\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\frac{\sqrt 2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
\begin{sat}\label{thm:sem:quad:E}
Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_E$-zulässige Rechtecke, wobei $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ sei , mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
\begin{align}\label{math:sem:zetaE:c}
- \tilde C_{\zeta_E,j,k}&:=2^3e\frac{c_1\abs{T_j}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\sqrt 2}{c_2\zeta_E} \right)
+ \tilde C_{\zeta_E,j,k}&:=2^3e\frac{c_1\abs{T_j}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\sqrt 2}{c_2\zeta_E} \right).
\end{align}
Dann gilt für das Integral
\begin{align}
\end{align*}
die Abschätzung
\begin{align}
- \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&\leq \tilde C_{\zeta_E,j,k}\Lambda^2_{2p+1} 2(p+1)\left(1+ \sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-2(p+1)}
+ \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&\leq \tilde C_{\zeta_E,j,k}\Lambda^2_{2p+1} 2(p+1)\left(1+ \sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-2(p+1)}.
\end{align}
\end{sat}
\begin{bem}
- Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_E$ zulässige Rechtecke. Ist $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ so kann Satz \ref{thm:sem:quad:E} angewendet werden um $A_{jk}$ zu approximieren. Im Fall $\diam(T_j) > \diam(T_k)$ können wir, da für $\zeta_E$-zulässige Elemente auch $\dist(T_j,T_k)>0$ gilt, $A_{jk}$ approximieren indem wir mithilfe von $A_{jk} = A_{kj}$ und Satz \ref{thm:sem:quad:E}, $A_{kj}$ berechnen.
+ Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_E$ zulässige Rechtecke. Ist $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$, so kann Satz \ref{thm:sem:quad:E} angewendet werden um $A_{jk}$ zu approximieren. Im Fall $\diam(T_j) > \diam(T_k)$ können wir, da für $\zeta_E$-zulässige Elemente auch $\dist(T_j,T_k)>0$ gilt, $A_{jk}$ approximieren, indem wir mithilfe von $A_{jk} = A_{kj}$ und Satz \ref{thm:sem:quad:E}, $A_{kj}$ berechnen.
\end{bem}
\begin{defi} \label{thm:sem:quad:AE}
\end{align*}
\item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta_E$-zulässig und $\diam(T_j) \leq \diam (T_k)$, so ist
\begin{align*}
- (A_p)_{jk} := \abs{T_j}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \int_{T_k} \kappa(\gamma_j( \lambda_{a},\lambda_{b}),\bs y)d\bs y,
+ (A_p)_{jk} := \abs{T_j}\sum_{a=0}^p w_a \sum_{b=0}^p w_b \int_{T_k} \kappa(\gamma_j( \lambda_{a},\lambda_{b}),\bs y)d\bs y.
\end{align*}
\item Sind $T_j$ und $T_k$ $\zeta_E$-zulässig und $\diam(T_j) > (T_k)$, so ist
\begin{align*}
Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke. Sei $\kappa : \R^3\times \R^3 \to \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2$ und Singularitätsordung $s \geq 0$. Sei $\tilde C_{\zeta_E,j,k}$ wie in \eqref{math:sem:zetaE:c} für $\zeta_E$-zulässsige Rechtecke $T_j,T_k$ und für unzulässige sei $\tilde C_{\zeta_E,j,k} = 0$ . Sei $A\in \R^{n \times n}$ eine Matrix, deren Einträge gegeben sind durch
\begin{align*}
A_{jk}
- &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}.
+ &= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
\end{align*}
und sei $A_p$ die $A$ approximierende Matrix gemäß Definition \ref{thm:sem:quad:AE}. Dann gilt
\begin{align*}
&\leq \sum_{j,k=1}^n \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_E,j,k}\Lambda_{2p+1}^2 2(p+1)\left(1+ \sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-2(p+1)}\right)^2\\
&= n^2 \max_{j=1,\ldots,n} \max_{k=1,\ldots,n} \left(\tilde C_{\zeta_E,j,k}\Lambda_{2p+1}^2 2(p+1)\left(1+ \sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-2(p+1)}\right)^2.
\end{align*}
-Durch ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung.
+Durch Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung.
\end{beweis}
\begin{bem}
- Bei der Randelementemethode mit Galerkin-Verfahren tritt die Stetigkeitsmatrix auf,deren Einträge $A_{jk}$ bis auf einen konstanten Faktor gegeben sind durch
+ Bei der Randelementemethode mit Galerkin-Verfahren tritt die Steifigkeitsmatrix auf, deren Einträge $A_{jk}$ bis auf einen konstanten Faktor gegeben sind durch
\begin{align}\label{math:sem:approx}
\int_{T_j} \int_{T_k} \frac 1 {\abs{\bs x -\bs y}} ds_{\bs y} ds_{\bs y}.
\end{align}
- Wir werden anstelle der exakten Matrix die approximative Matrix $A_p$ berechnen, da hierbei Auslöschungseffekte vermieden werden können, welche insbesondere für kleinen Randelementen auftreten.\\
+ Wir werden anstelle der exakten Matrix die approximative Matrix $A_p$ berechnen, da hierbei Auslöschungseffekte vermieden werden können, welche insbesondere für kleine Randelemente auftreten.\\
Diese Auslöschungseffekte lassen sich durch ein kleines Beispiel leicht erklären.
Hierzu betrachten wir beispielsweise die Stammfunktion des Integrals über ein Element von \eqref{math:sem:approx}
\begin{align*}
= \int_{[0,1]^2} \frac 1 {\abs{\bs x -\gamma_k(\bs \lambda)}} d\bs \lambda = \int_{T_k} \frac 1 {\abs{\bs x -\bs y}} ds_{\bs y}
\end{align*}
starke Auslöschungseffekte auftreten.\\
- Deshalb werden wir für zulässige Randelemente Integrale geeignet durch Gauss-Quadratur ersetzen. Dabei wird der Integrand mehrfach ausgewehrtet und mit stets positiven Quadraturgewichten multipliziert. Da der Integrand in der Praxis immer das gleiche Vorzeichen hat, werden während der Gauss-Quadratur lediglich Werte gleichen Vorzeichens addiert, wodurch keine Auslöschung auftritt. Deshalb lässt sich beobachten, dass die Auswertung mittels Gauss-Quadratur für zulässige Randstücke genauer ist als die Berechnung mithilfe der Stammfunktion.\\
- Da wir die Integrationsreihenfolge laut Satz \ref{thm:sem:switch} beliebig vertauschen dürfen, ist es sinnvoll über die großen Integrationsbereiche zu erst zu integrieren und die Integration über die kleinen nach außen zu stellen. Denn dadurch wird jene Operation, durch die starke Auslöschungseffekte auftreten, ans Ende der Berechnung gestellt.\\
- Weiterhin kann die Berechnung durch Quadratur abhängig vom gewählten Quadraturgrad sehr aufwändig werden, welches auf die hohe Anzahl der Auswertungsstellen zurückzuführen ist. Für die Quadratur über beispielsweise zwei Integrale mit einem Quadraturgrad von 8 werden dann schon $8^2 = 64$ Auswertungen benötigt, über vier Integrale hingegen schon $8^4 = 4096$. Deshalb werden wir nicht nur die Strategie betrachten in der für alle zulässigen Randelemente alle Integrale durch Quadratur ersetzt werden, sondern auch eine in der nur ein Teil der auftretenden Integrale geeignet durch Gauss-Quadratur ersetzt wird.
+ Deshalb werden wir für zulässige Randelemente Integrale geeignet durch Gauss-Quadratur ersetzen. Dabei wird der Integrand mehrfach ausgewertet und mit stets positiven Quadraturgewichten multipliziert. Da der Integrand in der Praxis immer das gleiche Vorzeichen hat, werden während der Gauss-Quadratur lediglich Werte gleichen Vorzeichens addiert, wodurch keine Auslöschung auftritt. Deshalb lässt sich beobachten, dass die Auswertung mittels Gauss-Quadratur für zulässige Randstücke genauer ist, als die Berechnung mithilfe der Stammfunktion.\\
+ Da wir die Integrationsreihenfolge laut Satz \ref{thm:sem:switch} beliebig vertauschen dürfen, ist es sinnvoll, über die großen Integrationsbereiche zuerst zu integrieren und die Integration über die kleinen nach außen zu stellen. Dadurch wird jene Operation, durch die starke Auslöschungseffekte auftreten, ans Ende der Berechnung gestellt.\\
+ Weiterhin kann die Berechnung durch Quadratur abhängig vom gewählten Quadraturgrad sehr aufwändig werden, welches auf die hohe Anzahl der Auswertungsstellen zurückzuführen ist. Für die Quadratur über beispielsweise zwei Integrale mit einem Quadraturgrad von 8 werden dann schon $8^2 = 64$ Auswertungen benötigt, über vier Integrale hingegen schon $8^4 = 4096$. Deshalb werden wir nicht nur die Strategie betrachten, in der für alle zulässigen Randelemente alle Integrale durch Quadratur ersetzt werden, sondern auch eine, in der nur ein Teil der auftretenden Integrale geeignet durch Gauss-Quadratur ersetzt wird.
\end{bem}
% =& \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\diam_{\bs a}(T_j)}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
% \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
% \end{align*}
-% wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ und $\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4) \in T_k$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt abschließend die Abschätzung
+% wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ und $\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4) \in T_k$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt abschließend die Abschätzung
% \begin{align*}
% \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\bs y)&-\I_p\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\bs y)}_{\infty,[0,1]}\\
% &\leq C_{\kappa} 8e(1+\rho_{\kappa})\Lambda_p(p+1)\left(1+\frac{2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
% = & \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\max\{\diam_{\bs a}(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
% \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
% \end{align*}
-% wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt abschließend die Abschätzung
+% wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt abschließend die Abschätzung
% \begin{align*}
% &\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\gamma_k(\cdot,y_2))-\I_p^2\kappa(\gamma_j(\cdot,x_2),\gamma_k(\cdot,y_2))}_{\infty,[0,1]^2}\\
% &\leq C_{\kappa} 8e(1+\sqrt 2 \rho_{\kappa})\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\frac{\sqrt 2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
% = & \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\max\{\diam(T_j),\diam_{\bs a}(T_k)\}}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
% \leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
% \end{align*}
-% wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt abschließend die Abschätzung
+% wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt und es gilt abschließend die Abschätzung
% \begin{align*}
% &\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot,y_2))-\I_p^3\kappa(\gamma_j(\cdot),\gamma_k(\cdot,y_2))}_{\infty,[0,1]^3}\\
% &\leq C_{\kappa} 8e(1+\sqrt 3 \rho_{\kappa})\Lambda_p^3(p+1)\left(1+\frac{2}{\sqrt 3\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
\end{align}
auf zwei beschränkten, achsenorientierten Rechtecken $T_j,T_k \subseteq\R^3$ beschäftigen.
Die im Folgenden auftretenden Stammfunktionen $\int f(x) dx$ werden wir der Einfachheit halber jeweils mit additiver Verschiebung $0$ schreiben.
-Dazu wollen wir, \cite{mai:3dbem} folgend, zwei Stammfunktionen zitieren, welche durch das Aufspalten des Integrals \eqref{math:analy:int} auftreten werden.
+Dazu wollen wir \cite{mai:3dbem} folgend zwei Stammfunktionen zitieren, welche durch das Aufspalten des Integrals \eqref{math:analy:int} auftreten werden.
\\\noindent
\begin{lem}
-Für Die Stammfunktion
+Für die Stammfunktion
\begin{align*}
g(p;y;x;\lambda) &:= \int \{(x-y)^2 + \lambda^2 \}^p dy
\end{align*}
\begin{align*}
(2p+1)g(p;y;x;\lambda) &= (y-x) \{(y-x)^2+\lambda^2\}^p + 2p\lambda g(p-1;y;x;\lambda).
\end{align*}
-Im weiteren werden wir noch die Formeln für $p \in \{1/2 , 0 , -1/2 , -1, -3/2\}$
+Im Weiteren benötigen wir noch die Formeln für $p \in \{1/2 , 0 , -1/2 , -1, -3/2\}$
\begin{align*}
g(1/2;y;x;\lambda) &= \frac{y-x}{2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{1/2} + \frac{\lambda^2}{2} \arsinh \frac{y-x}{|\lambda|},\\
g(0;y;x;\lambda) &= y-x,\\
g(-1/2;y;x;\lambda) &= \arsinh \frac{y-x}{|\lambda|},\\
g(-1;y;x;\lambda) &= \frac 1 {\abs{\lambda}} \arctan \frac{y-x}{|\lambda|},\\
-g(-3/2;y;x;\lambda) &= \frac{y-x}{\lambda^2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{-1/2}
+g(-3/2;y;x;\lambda) &= \frac{y-x}{\lambda^2}\{(y-x)^2+\lambda^2\}^{-1/2},
\end{align*}
-benötigen, welche alle in \cite[Seite 2-3]{mai:3dbem} bewiesen wurden.
+welche alle in \cite[Seite 2-3]{mai:3dbem} bewiesen wurden.
\end{lem}
Hierbei wollen wir darauf hinweisen, dass wir für $p=-1$ nicht die in \cite[Seite 3]{mai:3dbem} vorgeschlagene Formel verwenden, sondern eine selbst hergeleitete. Mithilfe von Substitution durch $z = \frac{y-x}{\abs{\lambda}}$ und $dz = \frac 1 {\abs{\lambda}} dy$ gilt
\begin{align*}
\begin{align*}
G(p;y_1;y_2;x_1;x_2;\lambda) &:= \int \int \{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \lambda^2\}^p dy_2 dy_1
\end{align*}
-benötigen, welches sich für den den Fall $p = -3/2$ lässt als
+benötigen, welche sich für den Fall $p = -3/2$ schreiben lässt als
\begin{align*}
G(-3/2;y_1,y_2;&x_1,x_2,0) = - \frac{\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}}{(y_1-x_1)(y_2-x_2)} \quad \text{ für } \lambda = 0,\\
G(-3/2;y_1,y_2;&x_1,x_2,\lambda) =- \frac{\sgn\{(y_1-x_1)(y_2-x_2)\}}{2|\lambda|} \\
\end{lem}
\subsection{Integral über zwei Elemente}\label{sec:analyt:int}
-Bei der Berechnung von \eqref{math:analy:int} werden wir Aufgrund der speziellen Form des Kerns geometrisch zwischen zwei Fällen unterscheiden. Entweder die beiden Elemente liegen geometrisch in parallelen Ebenen oder in orthogonalen Ebenen.
+Bei der Berechnung von \eqref{math:analy:int} werden wir, aufgrund der speziellen Form des Kerns geometrisch zwischen zwei Fällen unterscheiden. Entweder die beiden Elemente liegen geometrisch in parallelen Ebenen oder in orthogonalen Ebenen.
% \subsubsection{Parallele Elemente}
\noindent
-Das heißt für parallele Elemente $T_j,T_k$ können wir o.B.d.A annehmen, dass mit Definition \ref{thm:def:T}
+Das heißt, für parallele Elemente $T_j,T_k$ können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass mit Definition \ref{thm:def:T}
\begin{align*}
T_j &= \{\bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b} ~|~ \lambda_1,\lambda_2 \in[0,1]\}\\
T_k &= \{\tilde {\bs v} + \tilde \lambda_1 \tilde a \tilde {\bs a} + \tilde \lambda_2 \tilde b \tilde {\bs b} ~|~ \tilde \lambda_1,\tilde \lambda_2 \in[0,1]\}
\subsection{Bestimmtes Integral}
-Mithilfe der Stammfunktionen $F_p$ und $F_o$ können wir nun das Integral aus \eqref{math:analy:int} für orthogonal und parallel liegenden achsenorientierte Rechtecke $T$ und $\tilde T$ analytisch exakt lösen. Die Lösung ist für $F_{p/o} \in \{F_p,F_o\}$, geeignete Grenzen $s_1,s_2,\tilde s_1,\tilde s_2\in\R^+$ und $\bs \delta \in \R^3$ gegeben durch
+Mithilfe der Stammfunktionen $F_p$ und $F_o$ können wir nun das Integral aus \eqref{math:analy:int} für orthogonal und parallel liegende achsenorientierte Rechtecke $T$ und $\tilde T$ analytisch exakt lösen. Die Lösung ist für $F_{p/o} \in \{F_p,F_o\}$, geeignete Grenzen $s_1,s_2,\tilde s_1,\tilde s_2\in\R^+$ und $\bs \delta \in \R^3$ gegeben durch
\begin{align*}
\int_{T_j}& \int_{T_k} \frac{1}{|\bs x-\bs y|} ds_{\bs y} ds_{\bs x}\\
&= \int_0^{s_1}\int_0^{s_2}\int_0^{\tilde s_1}\int_0^{\tilde s_2}
%
\noindent
In diesem Abschnitt werden wir die Implementierung etwas genauer betrachten.
-Hierzu werden wir kurz Festhalten wie die Diskretisierung des Netzes aus Kapitel \ref{sec:bem:net} in \Matlab~und \Cpp umgesetzt wurde.
-Weiterhin gehen wir auch auf die Implementierung des Verfeinern Algorithmus aus Kapitel \ref{sec:bem:ref} ein.
+Hierzu werden wir kurz festhalten wie die Diskretisierung des Netzes aus Kapitel \ref{sec:bem:net} in \Matlab~und \Cpp umgesetzt wurde.
+Weiterhin gehen wir auch auf die Implementierung des Verfeinern-Algorithmus aus Kapitel \ref{sec:bem:ref} ein.
Dabei werden wir wichtige Schritte anhand des Codes und kleinen Beispielen hervorheben.
\subsection{Datenstruktur}\label{sec:implement:daten}
\begin{align}
COO[j,1:3] = k_j := (x_j,y_j,z_j)^{T} \text{ wobei } x_j,y_j,z_j \in \R.
\end{align}
-Die Elemente $\T_{\ell}$ werden wir ebenfalls Zeilenweise in einer $N \times 4$ Matrix $ELE$ abspeichern. Dabei soll die $i$-te Zeile den Indizes der Knoten $\{k_j,k_k,k_{\ell},k_m\}$ des Elements $T_i$ entsprechen, also:
+Die Elemente $\T_{\ell}$ werden wir ebenfalls zeilenweise in einer $N \times 4$ Matrix $ELE$ abspeichern. Dabei soll die $i$-te Zeile den Indizes der Knoten $\{k_j,k_k,k_{\ell},k_m\}$ des Elements $T_i$ entsprechen, also:
\begin{align}
ELE[i,1:4] = T_i := (j,k,l,m).
\end{align}
\begin{align}
NEI[i,1:8] = N_i := (n_1,\ldots,n_8)
\end{align}
-Offensichtlich ist $i \notin N_i$. Wir wollen uns aber noch genauer eine geeignete Anordnung für die Nachbarelemente überlegen. Hierbei bezeichnen wir die Seite $[j,k]$ eines Elements als Seite 1 und gegen den Uhrzeigersinn alle weiteren $[k,l], [l,m]$ und $[m,j]$ mit 2,3,4. Für den einfacheren Zugriff auf die Elemente einer Seite $s \in \{1,2,3,4\}$, seien die Nachbarelemente zur Seite $s$ unter den Indizes $n_s$ und $n_{s+4}$ abgespeichert. Die Nachbarelemente $\{T_{n_s}, T_{n_{s+4}}\}$ liegen also an der Seite $s$ des Elements. Für Seiten die nur einen Nachbarn $T_{n_s}$ besitzen setzen wir $n_{s+4}=0$ und für Seiten mit keinem Nachbarn setzen wir $n_s = n_{s+4} = 0$. Daraus folgt unmittelbar, dass für $n_s =0$ auch $n_{s+4} = 0$ gilt, die Seite $s$ also keine Nachbarelemente besitzt und umgekehrt folgt aus $n_{s+4} \neq 0$ $n_s \neq 0$, womit die Seite $s$ genau zwei Nachbarelemente hat.
+Offensichtlich ist $i \notin N_i$. Wir wollen uns aber noch genauer eine geeignete Anordnung für die Nachbarelemente überlegen. Hierbei bezeichnen wir die Seite $[j,k]$ eines Elements als Seite 1 und gegen den Uhrzeigersinn alle weiteren $[k,l], [l,m]$ und $[m,j]$ mit 2,3,4. Für den einfacheren Zugriff auf die Elemente einer Seite $s \in \{1,2,3,4\}$ seien die Nachbarelemente zur Seite $s$ unter den Indizes $n_s$ und $n_{s+4}$ abgespeichert. Die Nachbarelemente $\{T_{n_s}, T_{n_{s+4}}\}$ liegen also an der Seite $s$ des Elements. Für Seiten die nur einen Nachbarn $T_{n_s}$ besitzen, setzen wir $n_{s+4}=0$ und für Seiten mit keinem Nachbarn setzen wir $n_s = n_{s+4} = 0$. Daraus folgt unmittelbar, dass für $n_s =0$ auch $n_{s+4} = 0$ gilt, die Seite $s$ also keine Nachbarelemente besitzt und umgekehrt folgt aus $n_{s+4} \neq 0$ $n_s \neq 0$, womit die Seite $s$ genau zwei Nachbarelemente hat.
(Siehe Abbildung \ref{exmpl13:nei:part})
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[Lage]{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{fig/exmpl13_nei_part}}
\subfloat[Nachbarn : vierte Zeile der NEI Matrix]{\input{fig/exmpl13_nei_part}}
-\caption{\scriptsize An dieser Stellen wollen wir die Nachbarschaftsrelationen des Elements 4
+\caption{\scriptsize An dieser Stelle wollen wir die Nachbarschaftsrelationen des Elements 4
% aus Abb.\ref{exmpl13}
-hervorheben, denn das Element hat an den ersten beiden Seiten jeweils einen Nachbarn, an der dritten Seite zwei Nachbarn und an der vierten Seite keinen. Der Index der Nachbarelemente ist jeweils in den Nachbarschaftsrelationen gespeichert. Wobei bei Seiten mit nur einem Nachbar der Nachbar immer im kleineren Index gespeichert wird. Dass das Element 4 selbst Nachbar einer Seite mit zwei Elementen ist geht aus den Informationen für Element 4 nicht hervor, ist aber dafür in Element 9 vermerkt. Sollte beispielsweise das Element 7 oder 12 horizontal geteilt werden, so muss klarer Weise auch Element 4 mindestens horizontal geteilt werden, welches auch eine horizontale Teilung von Element 9 erzwingen würde.}
+hervorheben, denn das Element hat an den ersten beiden Seiten jeweils einen Nachbarn, an der dritten Seite zwei Nachbarn und an der vierten Seite keinen. Der Index der Nachbarelemente ist jeweils in den Nachbarschaftsrelationen gespeichert. Wobei bei Seiten mit nur einem Nachbar der Nachbar immer im kleineren Index gespeichert wird. Dass das Element 4 selbst Nachbar einer Seite mit zwei Elementen ist, geht aus den Informationen für Element 4 nicht hervor, ist aber dafür in Element 9 vermerkt. Sollte beispielsweise das Element 12 oder 13 horizontal geteilt werden, so muss klarerweise auch Element 4 mindestens horizontal geteilt werden, welches auch eine horizontale Teilung von Element 9 erzwingen würde.}
\label{exmpl13:nei:part}
\end{figure}
Zusätzlich wurde auch Typ 5 belegt, welcher als Ergebnis eine volle Teilung vom Typ 2 ausführt, diese aber schrittweise durch eine Teilung vom Typ 3 und anschließend durch jeweils eine Typ 4 Teilung. Aus Sicherheitsgründen wird auch jede vierte Teilung vom Typ 2 durch eine Typ 5 Teilung ausgeführt, da sonst kurzzeitig Seiten mit mehr als zwei Elementen auftreten könnten.
\noindent
-Damit jedem Element $T_i$ eine Teilungsart zugeordnet werden kann, haben wir einen Mar\-kierungs\-vektor $marked \in \{1,2,3,4,5\}^M$ eingeführt. Dabei entspricht $marked_i$ der Art der Teilung für das Element $T_i$. Um isotrope und auch uniforme Teilungen zu erleichtern kann statt dem Vektor $marked$ auch nur ein Skalar übergeben werden $marked \in {1,2\dots5}$, wodurch jedes Element mit der gewählten Art verfeinert wird.
+Damit jedem Element $T_i$ eine Teilungsart zugeordnet werden kann, haben wir einen Mar\-kierungs\-vektor $marked \in \{1,2,3,4,5\}^M$ eingeführt. Dabei entspricht $marked_i$ der Art der Teilung für das Element $T_i$. Um isotrope und auch uniforme Teilungen zu erleichtern, kann statt dem Vektor $marked$ auch nur ein Skalar übergeben werden $marked \in {1,2\dots5}$, wodurch jedes Element mit der gewählten Art verfeinert wird.
\noindent
Relevant zum Verfeinern eines Netzes sind also die Koordinaten $COO$, Elemente $ELE$ sowie die Nachbarschaftsrelationen $NEI$ und der Markierungs\-vektor $marked$.
\noindent
-Da wir später den Fehlerschätzer berechnen wollen, ist es wichtig sich zu jedem Element seine Teilelemente zu merken. Dazu legen wir während der Teilung eine $M \times 4$ Matrix $F2S$ an, in der die maximal vier Elementindizes gespeichert werden. Wenn wir also ein Element in vier gleich große Teile verfeinern, so wird das neue Element links unten das erste sein und alle weiteren folgen gegen den Uhrzeigersinn. Teilen wir ein Element in zwei gleich große Elemente, so werden die doppelt belegten Quadranten auch doppelt eingetragen. Ein gar nicht geteiltes Element wird also vier mal den alten Indizes speichern. Dadurch wird sichergestellt, dass das arithmetische Mittel über die Elemente immer gültig auszuführen ist.
-Vergleiche hierzu Abbildungen \ref{exmpl12} und \ref{exmpl13}.
+Da wir später den Fehlerschätzer berechnen wollen, ist es wichtig, sich zu jedem Element seine Teilelemente zu merken. Dazu legen wir während der Teilung eine $M \times 4$ Matrix $F2S$ an, in der die maximal vier Elementindizes gespeichert werden. Wenn wir also ein Element in vier gleich große Teile verfeinern, so wird das neue Element links unten das erste in der VaterSohn-Matrix sein und alle weiteren folgen gegen den Uhrzeigersinn. Teilen wir ein Element in zwei gleich große Elemente, so werden die doppelt belegten Quadranten auch doppelt eingetragen. Ein gar nicht geteiltes Element wird also vier mal den alten Indizes speichern. Dadurch wird sichergestellt, dass das arithmetische Mittel über die Elemente immer gültig auszuführen ist.
+In Abbildung \ref{exmpl1:f2s:part} stellen wir die VaterSohn-Matrizen der Abbildungen \ref{exmpl12} und \ref{exmpl13} vor.
Durch die Funktion \ref{code:refineQuad}
\begin{lstlisting}[language=M, numbers=none]
[COO_fine, ELE_fine, NEI_fine, F2S] = refineQuad(COO, ELE, NEI, marked);
\centering
\subfloat[VaterSohn aus \ref{exmpl12}]{\input{fig/exmpl12_f2s}}
\subfloat[VaterSohn aus \ref{exmpl13}]{\input{fig/exmpl13_f2s}}
-\caption{VaterSohn}
+\caption{VaterSohn-Matrizen}
\label{exmpl1:f2s:part}
\end{figure}
\subsection[Berechnung der A Matrix]{Berechnung der $A$ Matrix}\label{sec:implement:A}
-An dieser Stelle wenden wir uns noch ein mal der Berechnung der Matrix $A \in \R^{N\times N}$ zu, deren Einträge bestimmt sind durch das Integral
+An dieser Stelle wenden wir uns noch einmal der Berechnung der Matrix $A \in \R^{N\times N}$ zu, deren Einträge bestimmt sind durch das Integral
\begin{align} \label{math:imple:Ajk}
A_{jk} = \int_{T_j} \int_{T_k} \frac 1 {4\pi} \frac 1 {\abs{\bs x - \bs y}} ds_{\bs y} ds_{\bs x}.
\end{align}
-Da die Berechnung aller Einträge sehr aufwändig ist, haben wir die entsprechenden Funktionen nicht direkt in \Matlab~implementiert, sondern mithilfe der {\sc mex}-Schnittstelle in \Cpp. \Matlab~benötigt dazu die Bibliothek "`mex.h"' und eine spezielle {\sc mex}-Funktion als Einstiegspunkt mit der Gestalt
+Da die Berechnung aller Einträge sehr aufwändig ist, haben wir die entsprechenden Funktionen nicht direkt in \Matlab~implementiert, sondern mithilfe der {\sc mex}-Schnittstelle in \Cpp. \Matlab~benötigt dazu die Bibliothek "`mex.h"' und die spezielle {\sc mex}-Funktion als Einstiegspunkt mit der Gestalt
\begin{lstlisting}[language=C++, numbers=none]
-void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[], int nrhs, const mxArray *prhs[]);
+void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[], int nrhs, const mxArray *prhs[]); .
\end{lstlisting}
-Dabei steht \lstinline!nlhs! für die erwartete Anzahl der Rückgabe-Parameter, welche im Array \lstinline!*plhs[]! abgespeichert werden müssen. Im Array \lstinline!*prhs[]! werden die Eingabe-Parameter von \Matlab~übergeben, dessen Anzahl über \lstinline!nrhs! abgefragt werden kann. Weiterhin stehen noch wichtige {\sc mex}-Funktionen zum Umwandeln der Parameter, sowie dem Zugriff auf \Matlab-Funktionen und Ausgaben zur Verfügung.
+Dabei steht \lstinline!nlhs! für die erwartete Anzahl der Rückgabe-Parameter, welche im Array \lstinline!*plhs[]! abgespeichert werden müssen. Im Array \lstinline!*prhs[]! werden die Eingabe-Parameter von \Matlab~übergeben, dessen Anzahl über \lstinline!nrhs! abgefragt werden kann. Weiterhin stehen noch wichtige {\sc mex}-Funktionen zum Umwandeln der Parameter sowie dem Zugriff auf \Matlab-Funktionen und Ausgaben zur Verfügung.
% Innerhalb von \Matlab~kann der Code dann kompiliert werden
% \begin{lstlisting}[language=M, numbers=none]
% mex mexfile.cpp
Die Implementierung des Integrals \eqref{math:imple:Ajk} wurde in \lstinline!mex_build_V! {(Anhang \ref{code:mex_build_V})} mithilfe der beiden Bibliotheken \lstinline!slpRectangle! {(Anhang \ref{code:slpRectangle.cpp}, \ref{code:slpRectangle.hpp})} und \lstinline!gauss! {(Anhang \ref{code:gauss})} umgesetzt.
\noindent
-Innerhalb von \Matlab~kann der Code dann kompiliert werden
+Innerhalb von \Matlab~kann der Code dann kompiliert werden mit
\begin{lstlisting}[language=M, numbers=none]
mex 'mex_build_V.cpp' 'slpRectangle.cpp' CFLAGS="\$CFLAGS -O2 -fopenmp"...
- CXXFLAGS="\$CXXFLAGS -O2 -fopenmp" LDFLAGS="\$LDFLAGS -O2 -fopenmp"
+ CXXFLAGS="\$CXXFLAGS -O2 -fopenmp" LDFLAGS="\$LDFLAGS -O2 -fopenmp".
\end{lstlisting}
Nach erfolgreichem Kompilieren wurde eine \lstinline!mex_build_V.mexa64! Datei für ein 64bit System erstellt, welche dann in \Matlab~über
\begin{lstlisting}[language=M, numbers=none]
A = mex_build_V(coo,ele,zeta,typ);
\end{lstlisting}
-aufgerufen werden kann. Hierbei steht wie in der Datenstruktur beschrieben \lstinline!coo! für die Koordinatenmatrix und \lstinline!ele! für die Elementmatrix. Weiterhin sei \lstinline!zeta! ein Array mit den Einträgen \lstinline!zeta! $=(q,\zeta_Q,\zeta_E)$. Mithilfe des Parameters $q \in \{0,1,2,3,4,5\}$ kann die Anzahl $2^q$ der Auswertungsstellen für die Gauss-Quadratur gewählt werden. Die beiden Parameter $\zeta_Q,\zeta_E \in \R^+$ werden in den Zulässigkeitsbedingungen verwendet. Der Parameter \lstinline!typ! $\in \{1,2,3\}$ steht für die Art der Berechnung.
+aufgerufen werden kann. Hierbei steht, wie in der Datenstruktur beschrieben, \lstinline!coo! für die Koordinatenmatrix und \lstinline!ele! für die Elementmatrix. Weiterhin sei \lstinline!zeta! ein Array mit den Einträgen \lstinline!zeta! $=(q,\zeta_Q,\zeta_E)$. Mithilfe des Parameters $q \in \{0,1,2,3,4,5\}$ kann die Anzahl $2^q$ der Auswertungsstellen für die Gauss-Quadratur gewählt werden. Die beiden Parameter $\zeta_Q,\zeta_E \in \R^+$ werden in den Zulässigkeitsbedingungen verwendet. Der Parameter \lstinline!typ! $\in \{1,2,3\}$ steht für die Art der Berechnung.
\noindent
Insgesamt wurden vier Arten der Berechnung implementiert.
Da der Code sehr umfangreich geworden ist, werden wir an dieser Stelle nur einige Details hervorheben.
\noindent
-Wie schon erwähnt dient die \lstinline!mex_build_V.cpp! als Einstiegspunkt für \Matlab. In ihr haben wir die Auswertung der Parameter, sowie das Ermitteln der Integrationsgrenzen implementiert. Weiterhin iterieren wir hier, mittels \lstinline!for!-Schleifen auch über die Einträge der Matrix, um dann die geeignete Berechnungsfunktion des Eintrags $A_{jk}$ aufzurufen.
+Wie schon erwähnt, dient die \lstinline!mex_build_V.cpp! als Einstiegspunkt für \Matlab. In ihr haben wir die Auswertung der Parameter sowie das Ermitteln der Integrationsgrenzen implementiert. Weiterhin iterieren wir hier mittels \lstinline!for!-Schleifen auch über die Einträge der Matrix, um dann die geeignete Berechnungsfunktion des Eintrags $A_{jk}$ aufzurufen.
\noindent
-Da die Berechnungen der einzelnen Matrixeinträge unabhängig von einander sind, haben wir an dieser Stelle die \lstinline!for!-Schleifen zur Nutzung von paralleler Berechnung auf mehreren Kernen optimiert. Dafür nutzen wir die freie Bibliothek \lstinline!omp.h!.
+Da die Berechnungen der einzelnen Matrixeinträge unabhängig voneinander sind, haben wir an dieser Stelle die \lstinline!for!-Schleifen zur Nutzung von paralleler Berechnung auf mehreren Kernen optimiert. Dafür nutzen wir die freie Bibliothek \lstinline!omp.h!.
\noindent
Die Implementierung der Berechnung eines Eintrags $A_{jk}$ befindet sich in der \lstinline!slpRectangle.cpp!. Auch hier haben wir zwischen parallel und orthogonal liegenden Elementen unterschieden. Weiterhin haben wir versucht die Funktionen möglichst direkt von der Analysis aus Kapitel \ref{sec:analyt} in \Cpp~zu implementieren und auf mögliche Optimierungen zur Fehlervermeidung zu verzichten.
mit konstanter rechter Seite beschränken.
\noindent
-Alle Experimente wurden auf einem Rechner mit acht Intel(R) Xeon(R) Prozessoren mit jeweils 2.5GHz durchgeführt. Auf dem Betriebsystem Ubuntu 3.0.0-32-server mit 32GB verfügbaren Arbeitsspeicher wurde die gcc Version 4.6.1 und \Matlab~R2011a (7.12.0) 64bit verwendet. Während den Berechnungen konnte eine Systemauslastung von etwa 700\% beobachtet werden, welches der Benutzung von sieben Kernen entspricht.
+Alle Experimente wurden auf einem Rechner mit acht Intel(R) Xeon(R) Prozessoren mit jeweils 2.5GHz durchgeführt. Auf dem Betriebsystem Ubuntu 3.0.0-32-server mit 32GB verfügbaren Arbeitsspeicher wurde die gcc Version 4.6.1 und \Matlab~R2011a (7.12.0) 64bit verwendet. Während den Berechnungen konnte eine Systemauslastung von etwa 700 \% beobachtet werden, welches der Benutzung von sieben Kernen entspricht.
Mithilfe des Galerkin-Verfahrens berechnen wir nur eine approximative Lösung von \eqref{math:slp:gls}, für die wir eine Aussage über die Genauigkeit der Lösung treffen wollen. Da wir für den Fehler $\enorm{\phi - \phi_{\ell}}$ nur die Galerkin-Lösung $\phi_{\ell}$ kennen und die exakte Lösung $\phi$ unbekannt ist, werden wir im Folgenden verschiedene Fehlerschätzer betrachten.
% In diesem Abschnitt definieren wir die a-posteriori Fehlerschätzer, die wir zur Steuerung des adaptiven Algorithmus einsetzen werden.
Im Wesentlichen werden wir hierzu die $h-h/2$ Strategie aus \cite{fer:errbem} verwenden.
-Im Folgenden bezeichnen wir mit $\hat \T_{\ell}$ das Gitter welches entsteht, wenn das Gitter $\T_{\ell}$ uniform, also entlang aller Kanten geteilt wird. Weiterhin bezeichne $\phi$ die exakte Lösung des Galerkin-Verfahrens und $\phi_{\ell}$ die Galerkin-Lösung zum Gitter $\T_{\ell}$, sowie $\hat \phi_{\ell}$ die Galerkin-Lösung zum uniformen Gitter $\hat \T_{\ell}$.
+Im Folgenden bezeichnen wir mit $\hat \T_{\ell}$ das Gitter, welches entsteht, wenn das Gitter $\T_{\ell}$ uniform, also entlang aller Kanten geteilt wird. Weiterhin bezeichne $\phi$ die exakte Lösung des Galerkin-Verfahrens und $\phi_{\ell}$ die Galerkin-Lösung zum Gitter $\T_{\ell}$ sowie $\hat \phi_{\ell}$ die Galerkin-Lösung zum uniformen Gitter $\hat \T_{\ell}$.
\begin{defi}Es bezeichne $\phi$ die exakte Lösung von \eqref{math:slp:gls}, $\phi_{\ell}$ die Galerkin-Lösung von \eqref{math:slp:gls:galerkin} auf dem Gitter $\T_{\ell}$ und $\hat \phi_{\ell}$ die Galerkin-Lösung auf dem uniform verfeinerten Gitter $\hat \T_{\ell}$. Dann gilt, der Schätzer
\begin{align*}
\eta_{\ell} &:= \enorm{\hat \phi_{\ell} - \phi_{\ell}}
\begin{align}
\mu_{\ell} &= \norm{\varrho^{1/2}(\hat \phi_{\ell} - \phi_{\ell})}_{L^2(\Gamma)}\\
\tilde\eta_{\ell} &= \enorm{\hat \phi_{\ell} - \Pi_{\ell}\hat \phi_{\ell}}\\
-\tilde\mu_{\ell} &= \norm{\varrho^{1/2}(\hat \phi_{\ell} - \Pi_{\ell}\hat \phi_{\ell})}_{L^2(\Gamma)}
+\tilde\mu_{\ell} &= \norm{\varrho^{1/2}(\hat \phi_{\ell} - \Pi_{\ell}\hat \phi_{\ell})}_{L^2(\Gamma)},
\end{align}
wobei $\Pi_{\ell}$ die $L_2$ Projektion auf $P^0(\T_{\ell})$ ist,
\begin{itemize}
\item sind mit Konstanten $C_3,C_4>0$ äquivalent\\
-$\eta_{\ell} \leq \tilde \eta_{\ell} \leq C_4\norm{(h/\varrho)^{1/2}}_{L^\infty(\Gamma)} \tilde \mu_{\ell}$ und $\tilde \mu_{\ell} \leq \mu_{\ell} \leq \sqrt{2}C_3 \eta_{\ell}$
-\item sie sind effizient
-\item sie sind unter Saturationsannahme auch zuverlässig.
+$\eta_{\ell} \leq \tilde \eta_{\ell} \leq C_4\norm{(h/\varrho)^{1/2}}_{L^\infty(\Gamma)} \tilde \mu_{\ell}$ und $\tilde \mu_{\ell} \leq \mu_{\ell} \leq \sqrt{2}C_3 \eta_{\ell}$,
+\item sind effizient und
+\item sind unter Saturationsannahme auch zuverlässig.
\end{itemize}
\end{defi}
\begin{align*}
\theta \sum_{T\in T_{\ell}} \tilde \mu_{\ell}(T)^2 &\leq \sum_{ T\in M_{\ell}} \tilde \mu_{\ell}(T)^2.
\end{align*}
- Um die Symmetrie des Netzes zu erhalten bestimme weiterhin für feste Konstante $\vartheta \in (0,1)$ die kleinste Teilmenge $\tilde M_{\ell} \subseteq T_{\ell}\backslash M_{\ell}$ für die gilt
+ Um die Symmetrie des Netzes zu erhalten, bestimme weiterhin für feste Konstante $\vartheta \in (0,1)$ die kleinste Teilmenge $\tilde M_{\ell} \subseteq T_{\ell}\backslash M_{\ell}$ für die gilt
\begin{align*}
- \vartheta \sum_{T\in M_{\ell}} \tilde \mu_{\ell}(T)^2 &< \sum_{T\in \tilde M_{\ell}} \tilde \mu_{\ell}(T)^2
+ \vartheta \sum_{T\in M_{\ell}} \tilde \mu_{\ell}(T)^2 &< \sum_{T\in \tilde M_{\ell}} \tilde \mu_{\ell}(T)^2.
\end{align*}
- Die Menge der Markierten Elemente ist dann gegeben durch $M_{\ell} \cup \tilde M_{\ell}$.
+ Die Menge der markierten Elemente ist dann gegeben durch $M_{\ell} \cup \tilde M_{\ell}$.
\end{defi}
Im Folgenden werden wir $\vartheta = 10^{-2}$ wählen.
-Da wir im Adaptiven Algorithmus auch anisotrope Verfeinerungen zulassen wollen, definieren wir an dieser Stelle eine Auswahlstrategie zum bestimmen der Verfeinerungsart für jedes Element.
-\begin{defi}
+Da wir im Adaptiven Algorithmus auch anisotrope Verfeinerungen zulassen wollen, definieren wir an dieser Stelle eine Auswahlstrategie zum Bestimmen der Verfeinerungsart für jedes Element.
+\begin{defi}\label{thm:def:mark2}
Seien $\phi_j^{(1)},\ldots, \phi_j^{(4)}$ die Lösungen der isotropen Verfeinerung $T_j^{(1)},\ldots, T_j^{(4)} \in \hat \T_{\ell}$ von $T_j \in T_{\ell}$,
% das heißt $T_j = \sum_{k=1,\ldots,4} T_j^{(k)}$,
dann sei $C_j$ zum Element $T_j $ definiert durch
\item Verfeinere $T_{\ell}$ um $\hat T_{\ell}$ zu erhalten \label{alg:adapt:begin}
\item Berechne die Galerkin-Lösung $\hat \phi_{\ell} \in P^0(\hat T_{\ell})$ von \eqref{math:slp:gls:galerkin}
\item Berechne Fehlerschätzer $\tilde \mu_{i} := \norm{\varrho^{1/2}(\hat \phi_{\ell} - \Pi_{\ell} \hat \phi_{\ell} )}$
-\item Wähle Teilmenge $M_{\ell} \subseteq T_{\ell}$ wie in Definition \ref{thm:def:mark}
-\item Verfeinere mindestens die Markierten Elemente $M_{\ell}$ durch Algorithmus \ref{alg:refine} um $\T_{\ell+1}$ zu erhalten
+\item Wähle Teilmenge $M_{\ell} \subseteq T_{\ell}$ durch Definition \ref{thm:def:mark} und \ref{thm:def:mark2}
+\item Verfeinere mindestens die markierten Elemente $M_{\ell}$ durch Algorithmus \ref{alg:refine}, um $\T_{\ell+1}$ zu erhalten
\item $\ell \mapsto \ell+1$, gehe zu \ref{alg:adapt:begin}
\end{enumerate}
\end{alg}
u_{|\Gamma} &= 1 \quad \text{ auf }\Gamma,
\end{aligned}
\end{align}
-mit dem Startnetz aus Abbildung \ref{fig:mesh:2DQuad:start}, einem Quadrat in der $z=0$ Ebene genauer betrachten. Die vier Eckpunkte des Quadrats sind hierbei gegeben durch
+mit dem Startnetz aus Abbildung \ref{fig:mesh:2DQuad:start}, einem Quadrat in der $z=0$ Ebene, genauer betrachten. Die vier Eckpunkte des Quadrats sind hierbei gegeben durch
\begin{align*}
\{ (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0) \}.
\end{align*}
\subsubsection{Vergleich verschiedener Verfeinerungsstrategien}
\noindent
-Zunächst wollen wir drei Verfeinerungs-Strategien genauer untersuchen. Hierzu betrachten wir zum einen die Strategie "`uniform"' ($\theta=1,\nu=0$) bei der das verfeinerte Netz $\T_{\ell+1}$ durch isotrope Verfeinerung aller Elemente entsteht, also jedes Element wird in vier gleich Große Elemente geteilt. In der zweiten Strategie "`adaptiv isotrop"' ($\theta=0.5,\nu=0$) werden wir zulassen, dass nicht alle Elemente verfeinert werden, also nur eine Teilmenge wird jeweils in vier gleich große Elemente geteilt. Und in der letzten Strategie "`adaptiv anisotrop"' ($\theta=0.5,\nu=0.5$) werden wir außerdem anisotrope Teilungen zulassen, also ein Teil der Elemente wird geeignet in zwei oder vier gleich Große Elemente geteilt. Für alle drei Strategien werden wir den Algorithmus \ref{alg:adapt} mit entsprechenden Parametern $\theta,\nu$ zum Lösen von \eqref{math:bsp:Quad:gls} verwenden.
+Zunächst wollen wir drei Verfeinerungs-Strategien genauer untersuchen. Hierzu betrachten wir zum einen die Strategie "`uniform"' ($\theta=1,\nu=0$), bei der das verfeinerte Netz $\T_{\ell+1}$ durch isotrope Verfeinerung aller Elemente entsteht, also jedes Element wird in vier gleich große Elemente geteilt. In der zweiten Strategie "`adaptiv isotrop"' ($\theta=0.5,\nu=0$) werden wir zulassen, dass nicht alle Elemente verfeinert werden, also nur eine Teilmenge wird jeweils in vier gleich große Elemente geteilt. Und in der letzten Strategie "`adaptiv anisotrop"' ($\theta=0.5,\nu=0.5$) werden wir außerdem anisotrope Teilungen zulassen, also ein Teil der Elemente wird geeignet in zwei oder vier gleich große Elemente geteilt. Für alle drei Strategien werden wir den Algorithmus \ref{alg:adapt} mit entsprechenden Parametern $\theta,\nu$ zum Lösen von \eqref{math:bsp:Quad:gls} verwenden.
\begin{figure}[ht]
\end{figure}
\noindent
-In Abbildung \ref{fig:2DQuad:verfeinern:err} betrachten wir für die jeweilige Strategie jeweils die Fehlerschätzer $\tilde \mu$ und $\eta$, sowie den Fehler gegenüber der tatsächlichen Lösung. Die Werte wurden jeweils über die Elementanzahl des $\T_{\ell}$ Netzes aufgetragen. Anhand der \figLineA[en] Linien erkennen wir, dass der Fehler bei der "`uniformen"' Strategie mit etwa $\O(N^{-1/4})$ gegen $0$ strebt. Gerechnet wurde hier bis zu einer Elementanzahl des $\T_{\ell}$ Netzes von etwa 3000, für das der Fehler der Energienorm im Bereich von 1 liegt.
+In Abbildung \ref{fig:2DQuad:verfeinern:err} betrachten wir für die jeweilige Strategie jeweils die Fehlerschätzer $\tilde \mu$ und $\eta$ sowie den Fehler gegenüber der tatsächlichen Lösung. Die Werte wurden jeweils über die Elementanzahl des $\T_{\ell}$ Netzes aufgetragen. Anhand der \figLineA[en] Linien erkennen wir, dass der Fehler bei der "`uniformen"' Strategie mit etwa $\O(N^{-1/4})$ gegen $0$ strebt. Gerechnet wurde hier bis zu einer Elementanzahl des $\T_{\ell}$ Netzes von etwa 3000, für das der Fehler der Energienorm im Bereich von 1 liegt.
\noindent
Anhand der Linien in \figLineB[], beobachten wir eine schnellere Konvergenz der "`adaptiv isotropen"' Strategie. Denn hier lässt sich eine Konvergenzrate von $\O(N^{-1/2})$ gegen 0 erkennen. Bei dieser Strategie erreichen wir für die gleiche Elementanzahl des $\T_{\ell}$ Gitters schon einen Fehler im Bereich von 0.1.
Betrachten wir nun die Strategie "`adaptiv anisotrop"' in \figLineC[], so beobachten wir eine kurzzeitig sehr starke Konvergenz, welche dann gegen eine sehr gute Konvergenzrate von $\O(N^{-3/4})$ strebt. Hierbei erkennen wir, dass der Fehler der Energienorm schon im Bereich von 0.01 für die gleiche Elementanzahl liegt. Jedoch sehen wir auch, dass der Fehlerschätzer $\tilde \mu$ ab dieser Elementanzahl seine Konvergenzrate verliert und damit unzuverlässig wird.
\noindent
-Weiterhin können wir für alle drei Strategien anhand der Parallelität der Fehlerschätzer zum tatsächlichen Fehler, die Effektivität und Zuverlässigkeit der Fehlerschätzer erkennen. Sowie auch die Äquivalents des $h-h/2$ Schätzers zum lokalen $\tilde \mu$ Schätzers aufgrund der Parallelität zu beobachten ist. Außerdem beschreiben die Fehlerschätzer den tatsächlichen Fehler auch in der Größenordnung sehr gut.
+Weiterhin können wir für alle drei Strategien anhand der Parallelität der Fehlerschätzer zum tatsächlichen Fehler, die Effektivität und Zuverlässigkeit der Fehlerschätzer erkennen. Ebenso ist die Äquivalenz des $h-h/2$ Schätzers zum lokalen $\tilde \mu$ Schätzers, aufgrund der Parallelität zu beobachten. Außerdem beschreiben die Fehlerschätzer den tatsächlichen Fehler auch in der Größenordnung sehr gut.
\noindent
-In Abbildung \ref{fig:2DQuad:verfeinern:hminmax} betrachten wir bestimmte Eigenschaften zwischen den Seitenverhältnissen der Elemente aus dem $\T_{\ell}$ Netz für die jeweilige Strategie. $h_{\min}$ steht hierbei für die kürzere Seite eines Rechtecks $T \in \T_{\ell}$ und $h_{\max}$ für die längere der beiden Seiten. Weiterhin verstehen wir das Minimum $\min()$ und Maximum $\max()$ über alle Elemente $T\in\T_{\ell}$. Wir werden nun das Verhältnis der kleinsten kurzen Seite gegenüber der größten langen Seite $\min_{}(h_{\min}) / \max_{}(h_{\max})$, das Verhältnis der kleinsten langen gegenüber der größten langen Seite $\min_{}(h_{\max}) / \max_{}(h_{\max})$, sowie das kleinste Verhältnis der kurzen gegenüber der langen Seiten $\min_{}(h_{\min} /h_{\max})$ für die drei Strategien genauer betrachten.
+In Abbildung \ref{fig:2DQuad:verfeinern:hminmax} betrachten wir bestimmte Eigenschaften zwischen den Seitenverhältnissen der Elemente aus dem $\T_{\ell}$ Netz für die jeweilige Strategie. $h_{\min}$ steht hierbei für die kürzere Seite eines Rechtecks $T \in \T_{\ell}$ und $h_{\max}$ für die längere der beiden Seiten. Weiterhin verstehen wir das Minimum $\min()$ und Maximum $\max()$ über alle Elemente $T\in\T_{\ell}$. Wir werden nun das Verhältnis der kleinsten kurzen Seite gegenüber der größten langen Seite $\min_{}(h_{\min}) / \max_{}(h_{\max})$, das Verhältnis der kleinsten langen gegenüber der größten langen Seite $\min_{}(h_{\max}) / \max_{}(h_{\max})$ sowie das kleinste Verhältnis der kurzen gegenüber der langen Seiten $\min_{}(h_{\min} /h_{\max})$ für die drei Strategien genauer betrachten.
\noindent
-Bei der "`uniformen"' Strategie, dargestellt durch die \figLineA[e] Linien, sind wie erwartet alle Verhältnisse gleich 1 da alle Elemente deckungsgleich sind.
+Bei der "`uniformen"' Strategie, dargestellt durch die \figLineA[e] Linien, sind wie erwartet, alle Verhältnisse gleich 1, da alle Elemente deckungsgleich sind.
\noindent
-Bei der "`adaptiv isotropen"' Strategie in \figLineB[] ist am Verhältnis $\min_{}(h_{\min} /h_{\max}) = 1$ gut zu erkennen, dass alle Elemente Quadrate sind. Die beiden anderen Verhältnisse zeigen, dass für zunehmende Elementanzahl die Differenz der Elementgrößen zunimmt.
+Bei der "`adaptiv isotropen"' Strategie in \figLineB[] ist am Verhältnis $\min_{}(h_{\min} /h_{\max}) = 1$ gut zu erkennen, dass alle Elemente Quadrate sind. Die beiden anderen Verhältnisse zeigen, dass bei zunehmender Elementanzahl die Differenz der Elementgrößen zunimmt.
\noindent
-Anhand der \figLineC[] farbenen Linien, also der "`adaptiv anisotropen"' Strategie beobachten wir, am kleiner werdenden Verhältnis $\min_{}(h_{\min} /h_{\max})$, dass mit zunehmender Elementanzahl lange schmale Elemente entstehen. Am kleiner werden der anderen beiden Verhältnisse erkennen wir auch hier, dass die Differenz der Elementgrößen zunimmt.
+Anhand der \figLineC[] farbenen Linien, also der "`adaptiv anisotropen"' Strategie, beobachten wir am kleiner werdenden Verhältnis $\min_{}(h_{\min} /h_{\max})$, dass mit zunehmender Elementanzahl lange schmale Elemente entstehen. Am kleiner werden der anderen beiden Verhältnisse erkennen wir auch hier, dass die Differenz der Elementgrößen zunimmt.
\noindent
-Um auch die Stabilität der drei Strategien untersuchen zu können, sehen wir in der Abbildung \ref{fig:2DQuad:verfeinern:cond} die Konditionszahlen der $\hat V_{\ell}$ Matrix in Abhängigkeit der Elementanzahl. Für die "`uniforme"' Strategie in \figLineA[] erkennen wir sehr gute Konditionszahlen, wissen aber, dass auch der Fehler der Galerkin-Lösung nur langsam gegen 0 konvergiert. Die Konditionszahlen der "`adaptiv anisotropen"' Strategie in \figLineC[] wachsen hingegen am schnellsten und steigen bei etwa 3000 Elemente sogar sprunghaft an.
+Um auch die Stabilität der drei Strategien untersuchen zu können, sehen wir in der Abbildung \ref{fig:2DQuad:verfeinern:cond} die Konditionszahlen der Matrix $\hat V_{\ell}$ in Abhängigkeit der Elementanzahl. Für die "`uniforme"' Strategie in \figLineA[] erkennen wir sehr gute Konditionszahlen, wissen aber, dass auch der Fehler der Galerkin-Lösung nur langsam gegen 0 konvergiert. Die Konditionszahlen der "`adaptiv anisotropen"' Strategie in \figLineC[] wachsen hingegen am schnellsten und steigen bei etwa 3000 Elementen sogar sprunghaft an.
\noindent
Weiterhin können wir in Abbildung \ref{fig:2DQuad:verfeinern:time} die benötigte Zeit für einen Berechnungsschritt ablesen. In einem Berechnungsschritt wird die Matrix $\hat V_{\ell}$ und $V_{\ell}$ aufgestellt und die Galerkin-Lösung inklusive aller Fehlerschätzer berechnet. Hierbei fällt auf, dass die Wahl der Strategie keinen Einfluss auf die benötigte Zeit hat, sondern nur die Anzahl der Elemente. Für die Berechnung mit 3000 Elementen benötigen alle drei Strategien etwa $10^4$ Sekunden, was fast drei Stunden entspricht.
\centering
+
+\psfrag{tmu 2222t05n05 0 QA}{\tiny $\tilde \mu$ (Grad $2^ 0 $)}
+\psfrag{eta 2222t05n05 0 QA}{\tiny $\eta$ (Grad $2^ 0 $)}
+\psfrag{fehler 2222t05n05 0 QA}{\tiny Fehler (Grad $2^ 0 $)}
+\psfrag{Zeit 2222t05n05 0 QA}{\tiny Zeit (Grad $2^ 0 $)}
+\psfrag{cond 2222t05n05 0 QA}{\tiny Kondition (Grad $2^ 0 $)}
+\psfrag{min hmin/max hmax 2222t05n05 0 QA}{\tiny $\min (h_{\min})/\max (h_{\max})$ (Grad $2^ 0 $)}
+\psfrag{min hmax/max hmax 2222t05n05 0 QA}{\tiny $\min (h_{\max})/\max (h_{\max})$ (Grad $2^ 0 $)}
+\psfrag{min hmin/hmax 2222t05n05 QA}{\tiny $\min (h_{\min}/h_{\max})$ (Grad $2^ 0 $)}
+
+\psfrag{tmu 2222t05n05 1 QA}{\tiny $\tilde \mu$ (Grad $2^ 1 $)}
+\psfrag{eta 2222t05n05 1 QA}{\tiny $\eta$ (Grad $2^ 1 $)}
+\psfrag{fehler 2222t05n05 1 QA}{\tiny Fehler (Grad $2^ 1 $)}
+\psfrag{Zeit 2222t05n05 1 QA}{\tiny Zeit (Grad $2^ 1 $)}
+\psfrag{cond 2222t05n05 1 QA}{\tiny Kondition (Grad $2^ 1 $)}
+\psfrag{min hmin/max hmax 2222t05n05 1 QA}{\tiny $\min (h_{\min})/\max (h_{\max})$ (Grad $2^ 1 $)}
+\psfrag{min hmax/max hmax 2222t05n05 1 QA}{\tiny $\min (h_{\max})/\max (h_{\max})$ (Grad $2^ 1 $)}
+\psfrag{min hmin/hmax 2222t05n05 QA}{\tiny $\min (h_{\min}/h_{\max})$ (Grad $2^ 1 $)}
+
+\psfrag{tmu 2222t05n05 2 QA}{\tiny $\tilde \mu$ (Grad $2^ 2 $)}
+\psfrag{eta 2222t05n05 2 QA}{\tiny $\eta$ (Grad $2^ 2 $)}
+\psfrag{fehler 2222t05n05 2 QA}{\tiny Fehler (Grad $2^ 2 $)}
+\psfrag{Zeit 2222t05n05 2 QA}{\tiny Zeit (Grad $2^ 2 $)}
+\psfrag{cond 2222t05n05 2 QA}{\tiny Kondition (Grad $2^ 2 $)}
+\psfrag{min hmin/max hmax 2222t05n05 2 QA}{\tiny $\min (h_{\min})/\max (h_{\max})$ (Grad $2^ 2 $)}
+\psfrag{min hmax/max hmax 2222t05n05 2 QA}{\tiny $\min (h_{\max})/\max (h_{\max})$ (Grad $2^ 2 $)}
+\psfrag{min hmin/hmax 2222t05n05 QA}{\tiny $\min (h_{\min}/h_{\max})$ (Grad $2^ 2 $)}
+
+\psfrag{tmu 2222t05n05 3 QA}{\tiny $\tilde \mu$ (Grad $2^ 3 $)}
+\psfrag{eta 2222t05n05 3 QA}{\tiny $\eta$ (Grad $2^ 3 $)}
+\psfrag{fehler 2222t05n05 3 QA}{\tiny Fehler (Grad $2^ 3 $)}
+\psfrag{Zeit 2222t05n05 3 QA}{\tiny Zeit (Grad $2^ 3 $)}
+\psfrag{cond 2222t05n05 3 QA}{\tiny Kondition (Grad $2^ 3 $)}
+\psfrag{min hmin/max hmax 2222t05n05 3 QA}{\tiny $\min (h_{\min})/\max (h_{\max})$ (Grad $2^ 3 $)}
+\psfrag{min hmax/max hmax 2222t05n05 3 QA}{\tiny $\min (h_{\max})/\max (h_{\max})$ (Grad $2^ 3 $)}
+\psfrag{min hmin/hmax 2222t05n05 QA}{\tiny $\min (h_{\min}/h_{\max})$ (Grad $2^ 3 $)}
+
\subfloat[Fehler und Fehlerschätzer für das Quadrat \label{fig:2DQuad:quad:err}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/2222t05n05_2DQuad_error}}
% \subfloat[Seitenverhältnisse auf dem Quadrat \label{fig:2DQuad:quad:hminmax}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/2222t05n05_2DQuad_hminmax}}
% \\
% \subfloat[Kondition der $\hat V_{\ell}$ Matrix \label{fig:2DQuad:quad:cond}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/2222t05n05_2DQuad_cond}}
\subfloat[Berechnungszeit für das Quadrat \label{fig:2DQuad:quad:time}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/2222t05n05_2DQuad_time}}
-\caption{Vergleich der Quadraturgrade auf dem Quadrat \todo{PLOT BESCHRIFTUNGEN}}
+\caption{Vergleich der Quadraturgrade auf dem Quadrat}
\label{fig:2DQuad:quad}
\end{figure}
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+48 19 52 21 70 27 51 21 90 35 71 28 103 41 123 48
+190 75 254 100 560 221 1183 524 28 MP stroke
DO
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+122 24 107 21 99 20 97 19 94 18 87 18 72 14 55 11
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+48 9 52 10 70 14 51 10 90 18 71 14 103 20 123 24
+190 38 254 50 560 110 1183 764 28 MP stroke
DA
-120 72 122 71 107 64 99 59 97 57 94 55 87 52 72 43
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+122 71 107 64 99 59 97 57 94 55 87 52 72 43 55 32
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+190 113 254 150 560 331 1183 1114 28 MP stroke
gr
c12
( ) s
SO
1 sg
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PP
--1164 0 0 1547 1164 0 0 -1547 665 3165 5 MP stroke
+-1234 0 0 1547 1234 0 0 -1547 665 3165 5 MP stroke
2.77778 w
DO
SO
4.16667 w
0 sg
- 665 3165 mt 1829 3165 L
+ 665 3165 mt 1899 3165 L
665 3165 mt 665 1618 L
- 990 1713 mt
-(tmu 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
+ 988 1713 mt
+(tmu 2222t05n05 0 QA) s
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c8
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-gs 789 1631 103 103 MR c np
- 25 25 840 1682 FO
+248 0 714 1682 2 MP stroke
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+ 25 25 838 1682 FO
gr
gr
c8
0 sg
- 990 1814 mt
-(eta 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
+ 988 1814 mt
+(eta 2222t05n05 0 QA) s
+gs 665 1618 1235 1548 MR c np
c8
-250 0 715 1784 2 MP stroke
-gs 789 1733 103 103 MR c np
+248 0 714 1784 2 MP stroke
+gs 787 1733 103 103 MR c np
0 j
-29 50 -58 0 29 -50 840 1817 4 MP
+29 50 -58 0 29 -50 838 1817 4 MP
DP
gr
c8
0 sg
- 990 1915 mt
-(fehler 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
+ 988 1915 mt
+(fehler 2222t05n05 0 QA) s
+gs 665 1618 1235 1548 MR c np
c8
-250 0 715 1885 2 MP stroke
-gs 789 1834 103 103 MR c np
- 823 1868 mt 857 1902 L
- 857 1868 mt 823 1902 L
+248 0 714 1885 2 MP stroke
+gs 787 1834 103 103 MR c np
+ 821 1868 mt 855 1902 L
+ 855 1868 mt 821 1902 L
gr
gr
c8
0 sg
- 990 2017 mt
-(tmu 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
+ 988 2017 mt
+(tmu 2222t05n05 1 QA) s
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c9
-250 0 715 1986 2 MP stroke
-gs 789 1935 103 103 MR c np
+248 0 714 1986 2 MP stroke
+gs 787 1935 103 103 MR c np
16 W
-840 1986 PD
+838 1986 PD
gr
gr
c9
0 sg
- 990 2118 mt
-(eta 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
+ 988 2118 mt
+(eta 2222t05n05 1 QA) s
+gs 665 1618 1235 1548 MR c np
c9
-250 0 715 2087 2 MP stroke
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+248 0 714 2087 2 MP stroke
+gs 787 2036 103 103 MR c np
0 j
--29 50 -29 -50 58 0 811 2104 4 MP
+-29 50 -29 -50 58 0 809 2104 4 MP
DP
gr
c9
0 sg
- 990 2219 mt
-(fehler 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
+ 988 2219 mt
+(fehler 2222t05n05 1 QA) s
+gs 665 1618 1235 1548 MR c np
c9
-250 0 715 2189 2 MP stroke
-gs 789 2138 103 103 MR c np
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+248 0 714 2189 2 MP stroke
+gs 787 2138 103 103 MR c np
+ 813 2189 mt 863 2189 L
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gr
gr
c9
0 sg
- 990 2321 mt
-(tmu 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
+ 988 2321 mt
+(tmu 2222t05n05 2 QA) s
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c10
-250 0 715 2290 2 MP stroke
-gs 789 2239 103 103 MR c np
+248 0 714 2290 2 MP stroke
+gs 787 2239 103 103 MR c np
0 j
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+6 -17 18 0 814 2282 11 MP
DP
gr
c10
0 sg
- 990 2422 mt
-(eta 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
+ 988 2422 mt
+(eta 2222t05n05 2 QA) s
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c10
-250 0 715 2391 2 MP stroke
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0 j
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+0 -40 -40 0 0 40 40 0 818 2371 5 MP
DP
gr
c10
0 sg
- 990 2523 mt
-(fehler 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
+ 988 2523 mt
+(fehler 2222t05n05 2 QA) s
+gs 665 1618 1235 1548 MR c np
c10
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-25 33 -25 33 -25 -33 25 -33 840 2525 5 MP
+25 33 -25 33 -25 -33 25 -33 838 2525 5 MP
DP
gr
c10
0 sg
- 990 2625 mt
-(tmu 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
+ 988 2625 mt
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c11
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+ 25 25 838 2593 FO
gr
gr
c11
0 sg
- 990 2726 mt
-(eta 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
+ 988 2726 mt
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c11
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0 j
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+29 50 -58 0 29 -50 838 2728 4 MP
DP
gr
c11
0 sg
- 990 2827 mt
-(fehler 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
+ 988 2827 mt
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c11
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-gs 789 2745 103 103 MR c np
- 823 2779 mt 857 2813 L
- 857 2779 mt 823 2813 L
+248 0 714 2796 2 MP stroke
+gs 787 2745 103 103 MR c np
+ 821 2779 mt 855 2813 L
+ 855 2779 mt 821 2813 L
gr
gr
c11
0 sg
- 990 2929 mt
+ 988 2929 mt
(N-12) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
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DD
c12
-250 0 715 2897 2 MP stroke
+248 0 714 2897 2 MP stroke
SO
gr
c12
0 sg
- 990 3030 mt
+ 988 3030 mt
(N-14) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
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DO
c12
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SO
gr
c12
0 sg
- 990 3131 mt
+ 988 3131 mt
(N-34) s
-gs 665 1618 1165 1548 MR c np
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c12
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SO
gr
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gr
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0 j
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DP
DP
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DP
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-DP
gr
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4036 2794 mt 4002 2828 L
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-4156 2915 mt 4122 2949 L
gr
/c9 { 0.000000 0.600000 0.600000 sr} bdef
c9
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-gs 1132 340 3059 2644 MR c np
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16 W
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16 W
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-123 121 190 121 254 121 560 0 1183 391 29 MP stroke
-gs 1132 340 3059 1797 MR c np
+122 121 107 121 99 0 97 121 94 0 87 121 72 121 55 0
+84 121 54 0 64 0 60 121 61 0 61 121 45 0 62 121
+48 0 52 0 70 121 51 0 90 121 71 0 103 0 123 121
+190 121 254 121 560 0 1183 391 28 MP stroke
+gs 1132 340 2939 1797 MR c np
0 j
-29 50 -29 -50 58 0 1154 408 4 MP
DP
DP
-29 50 -29 -50 58 0 3990 2102 4 MP
DP
--29 50 -29 -50 58 0 4110 2102 4 MP
-DP
gr
-120 121 122 121 107 121 99 121 97 121 94 121 87 121 72 0
-55 121 84 121 54 121 64 121 60 0 61 121 61 121 45 121
-62 0 48 121 52 0 70 121 51 121 90 0 71 121 103 121
-123 121 190 0 254 121 560 0 1183 391 29 MP stroke
-gs 1132 340 3059 2644 MR c np
+122 121 107 121 99 121 97 121 94 121 87 121 72 0 55 121
+84 121 54 121 64 121 60 0 61 121 61 121 45 121 62 0
+48 121 52 0 70 121 51 121 90 0 71 121 103 121 123 121
+190 0 254 121 560 0 1183 391 28 MP stroke
+gs 1132 340 2939 2523 MR c np
1158 391 mt 1208 391 L
1183 366 mt 1183 416 L
1718 391 mt 1768 391 L
3897 2665 mt 3897 2715 L
3994 2811 mt 4044 2811 L
4019 2786 mt 4019 2836 L
-4114 2932 mt 4164 2932 L
-4139 2907 mt 4139 2957 L
gr
/c10 { 0.600000 0.000000 0.600000 sr} bdef
c10
-120 121 122 121 107 121 99 121 97 121 94 121 87 121 72 0
-55 121 84 121 54 121 64 121 60 0 61 121 61 121 45 121
-62 0 48 121 52 0 70 121 51 121 90 0 71 121 103 0
-123 121 190 121 254 121 560 0 1183 391 29 MP stroke
-gs 1132 340 3059 2644 MR c np
+122 121 107 121 99 121 97 121 94 121 87 121 72 0 55 121
+84 121 54 121 64 121 60 0 61 121 61 121 45 121 62 0
+48 121 52 0 70 121 51 121 90 0 71 121 103 0 123 121
+190 121 254 121 560 0 1183 391 28 MP stroke
+gs 1132 340 2939 2523 MR c np
0 j
-14 -11 5 -17 -15 10 -14 -10 5 17 -14 11 18 0 5 17
6 -17 18 0 1159 383 11 MP
-14 -11 5 -17 -15 10 -14 -10 5 17 -14 11 18 0 5 17
6 -17 18 0 3995 2803 11 MP
DP
--14 -11 5 -17 -15 10 -14 -10 5 17 -14 11 18 0 5 17
-6 -17 18 0 4115 2924 11 MP
-DP
gr
-120 0 122 121 107 121 99 0 97 121 94 0 87 121 72 121
-55 0 84 121 54 0 64 0 60 121 61 0 61 121 45 0
-62 121 48 0 52 0 70 121 51 0 90 121 71 0 103 0
-123 121 190 121 254 121 560 0 1183 391 29 MP stroke
-gs 1132 340 3059 1797 MR c np
+122 121 107 121 99 0 97 121 94 0 87 121 72 121 55 0
+84 121 54 0 64 0 60 121 61 0 61 121 45 0 62 121
+48 0 52 0 70 121 51 0 90 121 71 0 103 0 123 121
+190 121 254 121 560 0 1183 391 28 MP stroke
+gs 1132 340 2939 1797 MR c np
0 j
0 -40 -40 0 0 40 40 0 1163 371 5 MP
DP
DP
0 -40 -40 0 0 40 40 0 3999 2065 5 MP
DP
-0 -40 -40 0 0 40 40 0 4119 2065 5 MP
-DP
gr
-120 121 122 121 107 121 99 121 97 121 94 121 87 121 72 0
-55 121 84 121 54 121 64 121 60 0 61 121 61 121 45 121
-62 0 48 121 52 0 70 121 51 121 90 0 71 121 103 121
-123 121 190 0 254 121 560 0 1183 391 29 MP stroke
-gs 1132 340 3059 2644 MR c np
+122 121 107 121 99 121 97 121 94 121 87 121 72 0 55 121
+84 121 54 121 64 121 60 0 61 121 61 121 45 121 62 0
+48 121 52 0 70 121 51 121 90 0 71 121 103 121 123 121
+190 0 254 121 560 0 1183 391 28 MP stroke
+gs 1132 340 2939 2523 MR c np
0 j
25 33 -25 33 -25 -33 25 -33 1183 424 5 MP
DP
DP
25 33 -25 33 -25 -33 25 -33 4019 2844 5 MP
DP
-25 33 -25 33 -25 -33 25 -33 4139 2965 5 MP
-DP
gr
/c11 { 0.000000 0.000000 0.900000 sr} bdef
c11
-120 121 122 121 107 121 99 121 97 121 94 121 87 121 72 0
-55 121 84 121 54 121 64 121 60 0 61 121 61 121 45 121
-62 0 48 121 52 0 70 121 51 121 90 0 71 121 103 0
-123 121 190 121 254 121 560 0 1183 391 29 MP stroke
-gs 1132 340 3059 2644 MR c np
+122 121 107 121 99 121 97 121 94 121 87 121 72 0 55 121
+84 121 54 121 64 121 60 0 61 121 61 121 45 121 62 0
+48 121 52 0 70 121 51 121 90 0 71 121 103 0 123 121
+190 121 254 121 560 0 1183 391 28 MP stroke
+gs 1132 340 2939 2523 MR c np
25 25 1183 391 FO
25 25 1743 391 FO
25 25 1997 512 FO
25 25 3790 2569 FO
25 25 3897 2690 FO
25 25 4019 2811 FO
- 25 25 4139 2932 FO
gr
-120 0 122 121 107 121 99 0 97 121 94 0 87 121 72 121
-55 0 84 121 54 0 64 0 60 121 61 0 61 121 45 0
-62 121 48 0 52 0 70 121 51 0 90 121 71 0 103 0
-123 121 190 121 254 121 560 0 1183 391 29 MP stroke
-gs 1132 340 3059 1797 MR c np
+122 121 107 121 99 0 97 121 94 0 87 121 72 121 55 0
+84 121 54 0 64 0 60 121 61 0 61 121 45 0 62 121
+48 0 52 0 70 121 51 0 90 121 71 0 103 0 123 121
+190 121 254 121 560 0 1183 391 28 MP stroke
+gs 1132 340 2939 1797 MR c np
0 j
29 50 -58 0 29 -50 1183 424 4 MP
DP
DP
29 50 -58 0 29 -50 4019 2118 4 MP
DP
-29 50 -58 0 29 -50 4139 2118 4 MP
-DP
gr
-120 121 122 121 107 121 99 121 97 121 94 121 87 121 72 0
-55 121 84 121 54 121 64 121 60 0 61 121 61 121 45 121
-62 0 48 121 52 0 70 121 51 121 90 0 71 121 103 121
-123 121 190 0 254 121 560 0 1183 391 29 MP stroke
-gs 1132 340 3059 2644 MR c np
+122 121 107 121 99 121 97 121 94 121 87 121 72 0 55 121
+84 121 54 121 64 121 60 0 61 121 61 121 45 121 62 0
+48 121 52 0 70 121 51 121 90 0 71 121 103 121 123 121
+190 0 254 121 560 0 1183 391 28 MP stroke
+gs 1132 340 2939 2523 MR c np
1166 374 mt 1200 408 L
1200 374 mt 1166 408 L
1726 374 mt 1760 408 L
3914 2673 mt 3880 2707 L
4002 2794 mt 4036 2828 L
4036 2794 mt 4002 2828 L
-4122 2915 mt 4156 2949 L
-4156 2915 mt 4122 2949 L
gr
gr
4333 300 mt
( ) s
1 sg
-0 1243 1727 0 0 -1243 665 3165 4 MP
+0 1243 1797 0 0 -1243 665 3165 4 MP
PP
--1727 0 0 1243 1727 0 0 -1243 665 3165 5 MP stroke
+-1797 0 0 1243 1797 0 0 -1243 665 3165 5 MP stroke
2.77778 w
DO
SO
4.16667 w
0 sg
- 665 3165 mt 2392 3165 L
+ 665 3165 mt 2462 3165 L
665 3165 mt 665 1922 L
-1015 2017 mt
-(min hmin/max hmax 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1922 1728 1244 MR c np
+1012 2017 mt
+(min hmin/max hmax 2222t05n05 0 QA) s
+gs 665 1922 1798 1244 MR c np
c8
-270 0 718 1986 2 MP stroke
-gs 802 1935 103 103 MR c np
- 25 25 853 1986 FO
+267 0 718 1986 2 MP stroke
+gs 800 1935 103 103 MR c np
+ 25 25 851 1986 FO
gr
gr
c8
0 sg
-1015 2118 mt
-(min hmax/max hmax 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1922 1728 1244 MR c np
+1012 2118 mt
+(min hmax/max hmax 2222t05n05 0 QA) s
+gs 665 1922 1798 1244 MR c np
c8
-270 0 718 2088 2 MP stroke
-gs 802 2037 103 103 MR c np
+267 0 718 2088 2 MP stroke
+gs 800 2037 103 103 MR c np
0 j
-29 50 -58 0 29 -50 853 2121 4 MP
+29 50 -58 0 29 -50 851 2121 4 MP
DP
gr
c8
0 sg
-1015 2219 mt
-(min hmin/hmax 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1922 1728 1244 MR c np
+1012 2219 mt
+(min hmin/hmax 2222t05n05 0 QA) s
+gs 665 1922 1798 1244 MR c np
c8
-270 0 718 2189 2 MP stroke
-gs 802 2138 103 103 MR c np
- 836 2172 mt 870 2206 L
- 870 2172 mt 836 2206 L
+267 0 718 2189 2 MP stroke
+gs 800 2138 103 103 MR c np
+ 834 2172 mt 868 2206 L
+ 868 2172 mt 834 2206 L
gr
gr
c8
0 sg
-1015 2321 mt
-(min hmin/max hmax 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1922 1728 1244 MR c np
+1012 2321 mt
+(min hmin/max hmax 2222t05n05 1 QA) s
+gs 665 1922 1798 1244 MR c np
c9
-270 0 718 2290 2 MP stroke
-gs 802 2239 103 103 MR c np
+267 0 718 2290 2 MP stroke
+gs 800 2239 103 103 MR c np
16 W
-853 2290 PD
+851 2290 PD
gr
gr
c9
0 sg
-1015 2422 mt
-(min hmax/max hmax 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1922 1728 1244 MR c np
+1012 2422 mt
+(min hmax/max hmax 2222t05n05 1 QA) s
+gs 665 1922 1798 1244 MR c np
c9
-270 0 718 2391 2 MP stroke
-gs 802 2340 103 103 MR c np
+267 0 718 2391 2 MP stroke
+gs 800 2340 103 103 MR c np
0 j
--29 50 -29 -50 58 0 824 2408 4 MP
+-29 50 -29 -50 58 0 822 2408 4 MP
DP
gr
c9
0 sg
-1015 2523 mt
-(min hmin/hmax 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1922 1728 1244 MR c np
+1012 2523 mt
+(min hmin/hmax 2222t05n05 1 QA) s
+gs 665 1922 1798 1244 MR c np
c9
-270 0 718 2492 2 MP stroke
-gs 802 2441 103 103 MR c np
- 828 2492 mt 878 2492 L
- 853 2467 mt 853 2517 L
+267 0 718 2492 2 MP stroke
+gs 800 2441 103 103 MR c np
+ 826 2492 mt 876 2492 L
+ 851 2467 mt 851 2517 L
gr
gr
c9
0 sg
-1015 2625 mt
-(min hmin/max hmax 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1922 1728 1244 MR c np
+1012 2625 mt
+(min hmin/max hmax 2222t05n05 2 QA) s
+gs 665 1922 1798 1244 MR c np
c10
-270 0 718 2594 2 MP stroke
-gs 802 2543 103 103 MR c np
+267 0 718 2594 2 MP stroke
+gs 800 2543 103 103 MR c np
0 j
-14 -11 5 -17 -15 10 -14 -10 5 17 -14 11 18 0 5 17
-6 -17 18 0 829 2586 11 MP
+6 -17 18 0 827 2586 11 MP
DP
gr
c10
0 sg
-1015 2726 mt
-(min hmax/max hmax 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1922 1728 1244 MR c np
+1012 2726 mt
+(min hmax/max hmax 2222t05n05 2 QA) s
+gs 665 1922 1798 1244 MR c np
c10
-270 0 718 2695 2 MP stroke
-gs 802 2644 103 103 MR c np
+267 0 718 2695 2 MP stroke
+gs 800 2644 103 103 MR c np
0 j
-0 -40 -40 0 0 40 40 0 833 2675 5 MP
+0 -40 -40 0 0 40 40 0 831 2675 5 MP
DP
gr
c10
0 sg
-1015 2827 mt
-(min hmin/hmax 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1922 1728 1244 MR c np
+1012 2827 mt
+(min hmin/hmax 2222t05n05 2 QA) s
+gs 665 1922 1798 1244 MR c np
c10
-270 0 718 2796 2 MP stroke
-gs 802 2745 103 103 MR c np
+267 0 718 2796 2 MP stroke
+gs 800 2745 103 103 MR c np
0 j
-25 33 -25 33 -25 -33 25 -33 853 2829 5 MP
+25 33 -25 33 -25 -33 25 -33 851 2829 5 MP
DP
gr
c10
0 sg
-1015 2929 mt
-(min hmin/max hmax 2222t05n05 QA) s
-gs 665 1922 1728 1244 MR c np
+1012 2929 mt
+(min hmin/max hmax 2222t05n05 3 QA) s
+gs 665 1922 1798 1244 MR c np
c11
-270 0 718 2897 2 MP stroke
-gs 802 2846 103 103 MR c np
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gr
gr
c11
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c11
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0 j
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DP
gr
c11
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c11
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- 870 3083 mt 836 3117 L
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gr
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DP
DP
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DP
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1200 3052 mt 1166 3086 L
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4036 1049 mt 4002 1083 L
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gr
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gr
c8
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gr
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%%Extensions: CMYK
t0 = ['(' files{i}(p2(1)+1:p2(2)) ')'];
l0 = [files{i}(p1:p2(1)-1) ' '];
l1 = {type2str{data(1,[2+(0:step-1)*rows])}};
+% l00 = l0;
for i = 1:step
+% l0 = [l00 num2str(i-1) ' '];
leg0 = {leg0{:}...
['tmu ' l0 l1{i}]...
... ['tilde \mu_2 ' l0 l1{i}]...
for i= 1:4
load(input)
-
+figure(i)
[coordinates elements neigh f2s sites] = ...
refineQuad(coordinates,elements,neigh,sites,i);
-plotShape(coordinates,elements(:,:),'bet',{'T1','T2','T3','T4'});
+plotShape(coordinates,elements,'bet',{'T1','T2','T3','T4'});
view(2);
-axis off;
+% axis off;
% set(gcf, 'paperpositionmode', 'auto');
print('-r600','-depsc',['../doc/fig/' file '_' num2str(i) '.eps'])
% system(['epstopdf ../doc/fig/' file '_' num2str(i) '.eps']);
end
%% voll Analytisch
-A_plots({'meshSave/1t05n05_3DFichCube_23'},'../doc/fig/1t05n05_3DFichCube')
-A_plots({'meshSave/1t05n05_3DCube_25'},'../doc/fig/1t05n05_3DCube')
-A_plots({'meshSave/1t05n05_2DQuad_32'},'../doc/fig/1t05n05_2DQuad')
-A_plots({'meshSave/1t05n05_2DLShape_30'},'../doc/fig/1t05n05_2DLShape')
+% A_plots({'meshSave/1t05n05_3DFichCube_23'},'../doc/fig/1t05n05_3DFichCube')
+% A_plots({'meshSave/1t05n05_3DCube_25'},'../doc/fig/1t05n05_3DCube')
+% A_plots({'meshSave/1t05n05_2DQuad_32'},'../doc/fig/1t05n05_2DQuad')
+% A_plots({'meshSave/1t05n05_2DLShape_30'},'../doc/fig/1t05n05_2DLShape')
%% Isotrop Uniform
A_plots({'meshSave/1t1n0_2DQuad_6'},'../doc/fig/1t1n0_2DQuad')
-A_plots({'meshSave/1t05n0_2DQuad_16'},'../doc/fig/1t05n0_2DQuad')
+A_plots({'meshSave/1t05n0_2DQuad_17'},'../doc/fig/1t05n0_2DQuad')
A_plots({'meshSave/1t1n0_2DQuad_6',...
'meshSave/1t05n0_2DQuad_16',...
A_plots({'meshSave/1432t05n05_3DFichCube_21'},'../doc/fig/1432t05n05_3DFichCube')
A_plots({'meshSave/1432t05n05_2DQuad_29'},'../doc/fig/1432t05n05_2DQuad')
-A_plots({'meshSave/2222t05n05_2DQuad_28'},'../doc/fig/2222t05n05_2DQuad')
+% A_plots({'meshSave/2222t05n05_2DQuad_28'},'../doc/fig/2222t05n05_2DQuad')
close all
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