\end{align}
Weiterhin gilt für die Konstante $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$
\begin{align*}
- \tilde C_{\zeta_Q,j,k} & \leq 8 e \frac{c_1}{(c_2 \zeta_Q)^s} \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}}.
+ \tilde C_{\zeta_Q,j,k} & \leq 8 e \frac{c_1}{(c_2 \zeta_Q)^s} \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}},
\end{align*}
+ das heißt für $s\leq2$ steigt die Konstante $\tilde C_{\zeta_Q,\j,k}$ gleichmäßig geschwächt.
\end{sat}
\noindent
Da die Konstante $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ durch die Netzverfeinerung, aufgrund der Distanz sehr groß werden könnte, untersuchen wir sie an dieser Stelle noch einmal etwas genauer.
- Mithilfe der folgenden Abschätzung für $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke $T_j,T_k$
+ Es gilt
\begin{align*}
\tilde C_{\zeta_Q,j,k} & = 8 e \frac{c_1 \abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s}\left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\\
& \leq 8 e \frac{c_1 \abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2 \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)
\\
& \leq 8 e \frac{c_1 \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^2}{(c_2 \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}}\\
& = 8 e \frac{c_1}{(c_2 \zeta_Q)^s} \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-s} \left( 1 + \frac{2}{c_2\zeta_Q} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}}
- ,
+ .
\end{align*}
- welche unabhängig von der im Netz auftretenden Distanzen ist, können wir also eine gute Aussage über die Stabilität der Zulässigkeitsbedingung im Zuge der Netzverfeinerung treffen, sofern $s\leq2$. Für das Modellproblem \eqref{math:gal:kap+} gilt beispielsweise $s=1$.
\end{beweis}
\end{align*}
und sei $A_p$ die $A$ approximierende Matrix gemäß Definition \ref{thm:sem:quad:AV}. Dann gilt
\begin{align*}
- \norm{A-A_p}_F &\leq 8 e\frac{c_1(c_2\zeta_Q+2)}{(c_2\zeta_Q)^{s+1}}\Lambda_{2p+1}^4 \frac{2(p+1)}{\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{2(p+1)}} \abs{\Omega} \max_{j,k=1,\ldots,n} {\max\{\diam(T_j),\diam(T_k)\}^{2-s}}.
+ \norm{A-A_p}_F &\leq 8 e\frac{c_1(c_2\zeta_Q+2)}{(c_2\zeta_Q)^{s+1}}\Lambda_{2p+1}^4 \frac{2(p+1)}{\left(1+c_2\zeta_Q\right)^{2(p+1)}} \abs{\Omega} \max_{\ell=1,\ldots,n} {\diam(T_\ell)^{2-s}}.
\end{align*}
\end{sat}
\begin{sat}\label{thm:sem:quad:E}
Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_E$-zulässige Rechtecke, wobei $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ sei , mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
\begin{align}\label{math:sem:zetaE:c}
- \tilde C_{\zeta_E,j,k}&:=8e\frac{c_1\abs{T_j}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\sqrt 2}{c_2\zeta_E} \right) = \abs{T_j} C_{\zeta_E,j,k}.
+ \tilde C_{\zeta_E,j,k}&:=8e\frac{c_1\abs{T_j}\abs{T_k}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\sqrt 2}{c_2\zeta_E} \right) = \abs{T_j} \abs{T_k} C_{\zeta_E,j,k}.
\end{align}
Dann gilt für das Integral
\begin{align}
\end{align}
Weiterhin gilt für die Konstante $\tilde C_{\zeta_E,j,k}$
\begin{align}
- \tilde C_{\zeta_E,j,k}&\leq 8 e \frac{c_1 }{(c_2 \zeta_E)^s} \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{1-s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\max\{\abs{T_j},\abs{T_k}\}}.
+ \tilde C_{\zeta_E,j,k}&\leq 8 e \frac{c_1 }{(c_2 \zeta_E)^s} \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k} },
\end{align}
+das heißt für $s\leq2$ steigt die Konstante $\tilde C_{\zeta_E,j,k}$ gleichmäßig geschwächt.
\end{sat}
\abs{&A_{jk} - (A_p)_{jk}}\\
&=\abs{T_j} \Big|\int_{[0,1]^2}\int_{T_k}\kappa(\gamma_j(\bs \lambda),\bs y) d{\bs y} d{\bs \lambda_j} - \int_{[0,1]^2}\int_{T_k} \I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(\bs \lambda),\bs y) d{\bs y} d{\bs \lambda}\Big|\\
&\leq \abs{T_j}\int_{[0,1]^2}\int_{T_k}\Big|\kappa(\gamma_j(\bs \lambda),\bs y) - \I_{2p+1} \kappa(\gamma_j(\bs \lambda),\bs y) \Big|d{\bs y} d{\bs \lambda}\\
- &\leq \abs{T_j} \sup_{ \bs y \in T_k} \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_j(\cdot,\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]^2}
+ &\leq \abs{T_j} \abs{T_k} \sup_{ \bs y \in T_k} \norm{\kappa(\gamma_j(\cdot,\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_j(\cdot,\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]^2}
\end{align*}
Mithilfe von Satz \ref{thm:sem:pol:E} für den Grad $2p+1$ erhalten wir die Behauptung
\begin{align*}
\abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}
- &\leq \abs{T_j}C_{\zeta_E,j,k}\Lambda^2_{2p+1} 2(p+1)\left(1+ \sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-2(p+1)}\\
+ &\leq \abs{T_j} \abs{T_k} C_{\zeta_E,j,k}\Lambda^2_{2p+1} 2(p+1)\left(1+ \sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-2(p+1)}\\
&= \tilde C_{\zeta_E,j,k}\Lambda^2_{2p+1} 2(p+1)\left(1+ \sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-2(p+1)}.
\end{align*}
\noindent
Da die Konstante $\tilde C_{\zeta_E,j,k}$ durch die Netzverfeinerung, aufgrund der Distanz sehr groß werden könnte, untersuchen wir sie an dieser Stelle noch einmal etwas genauer.
-Mithilfe der folgenden Abschätzung für $\zeta_E$-zulässige Rechtecke $T_j,T_k$
+Es gilt
\begin{align*}
- \tilde C_{\zeta_E,j,k} & = 8 e \frac{c_1 \abs{T_j}}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s}\left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\\
- & \leq 8 e \frac{c_1 \diam(T_j)}{(c_2 \zeta_E \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\abs{T_j}}
+ \tilde C_{\zeta_E,j,k} & = 8 e \frac{c_1 \abs{T_j}\abs{T_k} }{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s}\left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\\
+ & \leq 8 e \frac{c_1 \diam(T_j)\diam(T_k)}{(c_2 \zeta_E \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\})^s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}}
\\
- & \leq 8 e \frac{c_1 }{(c_2 \zeta_E)^s} \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{1-s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\max\{\abs{T_j},\abs{T_k}\}}\\
-% & = 8 e \frac{c_1}{(c_2 \zeta_E)^s} \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}}
- ,
+ & \leq 8 e \frac{c_1 }{(c_2 \zeta_E)^s} \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right)\sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k} }
+ .
\end{align*}
- welche unabhängig von der im Netz auftretenden Distanzen ist, können wir also eine gute Aussage über die Stabilität der Zulässigkeitsbedingung im Zuge der Netzverfeinerung treffen, sofern $s\leq 1$. Für das Modellproblem \eqref{math:gal:kap+} gilt beispielsweise $s=1$.
\end{beweis}
\end{align*}
und sei $A_p$ die $A$ approximierende Matrix gemäß Definition \ref{thm:sem:quad:AE}. Dann gilt
\begin{align*}
- \norm{A-A_p}_F \leq 8 e \frac{c_1(c_2 \zeta_E+\sqrt{2}) }{(c_2 \zeta_E)^{s+1}} \frac{\Lambda_{2p+1}^2 2(p+1)\sqrt{2 \abs{\Omega}n}}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}} \max_{j,k=1,\ldots,n} {\min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{1-s}}.
+ \norm{A-A_p}_F \leq 8 e \frac{c_1(c_2 \zeta_E+\sqrt{2}) }{(c_2 \zeta_E)^{s+1}} \Lambda_{2p+1}^2 \frac{ 2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\abs{\Omega} \max_{\ell=1,\ldots,n} {\diam(T_\ell)^{2-s}}.
\end{align*}
\end{sat}
-\begin{beweis} Betrachten wir zunächst die Differenz zwischen $A$ und $A_p$ in einem festen Eintrag $(A-A_p)_{jk}$. Sind $T_j$ und $T_k$ unzulässig, ist die Differenz laut Definition $0$ und die Abschätzung mit $\tilde C_{\zeta_E,j,k} = 0$ erfüllt. Sind $T_j$ und $T_k$ hingegen zulässig, unterscheiden wir zwei Fälle. Ist $\diam(T_j) \leq \diam (T_k)$, können wir Satz \ref{thm:sem:quad:E} anwenden. Andernfalls ist durch Lemma \ref{thm:sem:switch} $A_{jk}=A_{kj}$, worauf wir dann Satz \ref{thm:sem:quad:E} anwenden können und dadurch die selbe Abschätzung erhalten. Daraus folgt
+\begin{beweis} Betrachten wir zunächst die Differenz zwischen $A$ und $A_p$ in einem festen Eintrag $(A-A_p)_{jk}$. Sind $T_j$ und $T_k$ unzulässig, ist die Differenz laut Definition $0$ und die Abschätzung mit $\tilde C_{\zeta_E,j,k} = 0$ erfüllt. Sind $T_j$ und $T_k$ hingegen zulässig, unterscheiden wir zwei Fälle. Ist $\diam(T_j) \leq \diam (T_k)$, können wir Satz \ref{thm:sem:quad:E} anwenden. Andernfalls ist $A_{jk}=A_{kj}$ durch Lemma \ref{thm:sem:switch}, worauf wir dann Satz \ref{thm:sem:quad:E} anwenden können und dadurch dieselbe Abschätzung erhalten. Daraus folgt
\begin{align*}
&\norm{A-A_p}_F^2 = \sum_{j,k=1}^n (A_{jk} - (A_p)_{jk})^2
\\
&\leq \sum_{j,k=1}^n \left(\tilde C_{\zeta_E,j,k}\Lambda_{2p+1}^2 2(p+1)\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{-2(p+1)}\right)^2
\\
- &\leq \sum_{j,k=1}^n \left( 8 e \frac{c_1 \sqrt{\max\{\abs{T_j},\abs{T_k}\}}}{c_2^s \zeta_E^s \min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{s-1}} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right) \Lambda_{2p+1}^2 \frac{2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\right)^2
+ &\leq \sum_{j,k=1}^n \left( 8 e \frac{c_1 \sqrt{\abs{T_j}\abs{T_k}}}{c_2^s \zeta_E^s \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{s-2}} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right) \Lambda_{2p+1}^2 \frac{2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\right)^2
\\
- &= \left( 8 e \frac{c_1 }{c_2^s \zeta_E^s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right) \Lambda_{2p+1}^2 \frac{2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\right)^2 \sum_{j,k=1}^n \frac{{\max\{\abs{T_j},\abs{T_k}\}}}{\min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2s-2}}
+ &= \left( 8 e \frac{c_1 }{c_2^s \zeta_E^s} \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{c_2\zeta_E} \right) \Lambda_{2p+1}^2 \frac{2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\right)^2 \sum_{j,k=1}^n \frac{{\abs{T_j}\abs{T_k}}}{\max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2s-4}}
\\
- &\leq \left( 8 e \frac{c_1(c_2 \zeta_E+\sqrt{2}) }{(c_2 \zeta_E)^{s+1}} \Lambda_{2p+1}^2 \frac{2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\right)^2 2\abs{\Omega}n \max_{j,k=1,\ldots,n} {\min\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{2-2s}}.
+ &\leq \left( 8 e \frac{c_1(c_2 \zeta_E+\sqrt{2}) }{(c_2 \zeta_E)^{s+1}} \Lambda_{2p+1}^2 \frac{2(p+1)}{\left(1+\sqrt 2 c_2\zeta_E\right)^{2(p+1)}}\right)^2 \abs{\Omega}^2 \max_{j,k=1,\ldots,n} {\max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}^{4-2s}}.
\end{align*}
Durch Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten, folgt dann die Behauptung.
\end{beweis}
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