\subsection{Netze}
-Für die Diskretisierung des Problems wollen wir nun einige Begriffe definieren.
-
+Für die Diskretisierung des Problems wollen wir nun einige Begriffe definieren. Zunächst wollen wir ein achsenorientiertes Rechteck beschreiben, dessen Seiten parallel zu den Achsen des kartesischen Koordinatensystems liegen.
\begin{defi}\label{math:def:T} Sei $\bs v \in \R^3$, $\bs a,\bs b \in \{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T\}$ mit $\bs a\neq \bs b$ und $a,b \in \R$ mit $a,b > 0$. Dann heißt
\begin{align*}
T := \{\bs v + \lambda_1 a {\bs a} + \lambda_2 b {\bs b} ~|~ \lambda_1,\lambda_2 \in[0,1]\}
\end{align*}
die zu $T$ zugehörige Parametrisierung.
\end{defi}
-\todo{
-\begin{bem}
-Hier Knoten und Seiten definieren mit Text und Skizze
+\begin{bem}Weiterhin werden wir die vier Ecken des achsenorientierten Rechtecks, beginnend in $\bs v$, mit $k_1,\ldots,k_4$ bezeichnen, wobei die Menge aller Knoten des Rechtecks $\K_T$ sei. Die Reihenfolge der Knoten sei dabei so gewählt, dass der Normalenvektor $\bs n$ auf das Element $T$ nach außen zeigt. Außerdem benennen wir die Menge der Kanten mit $\E_T$, bestehend aus den vier Kanten $e_1,\ldots,e_4$. In Abb. \ref{fig:net:single} wurde ein Rechteck mit den Bezeichnungen kurz skizziert.
\end{bem}
\begin{figure}[ht]
\centering
-\subfloat[gültige Partition]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/net_single}}
-\caption{Rechteck}
+\psfrag{e1}{\scriptsize $e_1$}
+\psfrag{e2}{\scriptsize $e_2$}
+\psfrag{e3}{\scriptsize $e_3$}
+\psfrag{e4}{\scriptsize $e_4$}
+\psfrag{k1}{\scriptsize $k_1$}
+\psfrag{k2}{\scriptsize $k_2$}
+\psfrag{k3}{\scriptsize $k_3$}
+\psfrag{k4}{\scriptsize $k_4$}
+\psfrag{n}{\scriptsize $\bs n$}
+\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/net_single}
+\caption{achsenorientiertes Rechteck \todo{(Skizze noch doof)}}
\label{fig:net:single}
-\end{figure}}
-
+\end{figure}
+Des Weiteren werden wir für die Berechnungen noch Aussagen über die Größe eines Elements, sowie über den Abstand zweier Elemente festhalten.
\begin{defi}Sei $a,b\in\R$ für $T$ definiert wie in Def. \ref{math:def:T}, dann heißt
\begin{align*}
\diam (T) &= (a^2+b^2)^{1/2}
\end{align*}
wobei das Minimum aufgrund der Kompaktheit von $T_j, T_k$ angenommen wird.
\end{defi}
+Mit diesen Vorüberlegungen definieren wir uns die Diskretisierung des Randes $\Gamma$.
\begin{defi}
Sei $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine endliche Menge von achsenorientierten Rechtecken. Es bezeichne $\K_{\ell}:=\bigcup_{T\in\T} k_T$ die Menge der Knoten von $\T_{\ell}$ und $\E_{\ell}:=\bigcup_{T\in\T} e_T$ die Menge der Kanten. Wir nennen $\T_{\ell}$ eine Partition von $\Gamma$, falls
\begin{itemize}
\subsection{Verfeinern}
\begin{defi}[Lokale Verfeinerung]
-Ein Element $T \in \T$ wird isotrop in vier Elemente $T_1,\ldots,T_4$ geteilt, wenn $T = \bigcup_{n=1}^4 T_n$ gilt und alle Söhne $T_1,\ldots,T_4$ ähnlich sind zum Vaterelement $T$. Weiterhin wird ein Element $T \in \T$ anisotrop in zwei Elemente $T_1,T_2$ geteilt, wenn ebenfalls $T = T_1 \cup T_2$ gilt und $T_1,T_2$ gleich große Seitenlängen haben. Hierbei kann $T$ entweder horizontal oder vertikal geteilt werden, wie in Abb.~\ref{fig:refType} gezeigt ist.
+Ein Element $T \in \T$ wird isotrop in vier Elemente $T_1,\ldots,T_4$ geteilt, wenn $T = \bigcup_{n=1}^4 T_n$ gilt und alle Söhne $T_1,\ldots,T_4$ ähnlich sind zum Vaterelement $T$. Weiterhin wird ein Element $T \in \T$ anisotrop in zwei Elemente $T_1,T_2$ geteilt, wenn ebenfalls $T = T_1 \cup T_2$ gilt und $T_1,T_2$ untereinander gleich sind. Hierbei kann $T$ entweder horizontal oder vertikal geteilt werden, wie in Abb.~\ref{fig:refType} gezeigt ist.
\end{defi}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{defi}
Für eine Partition $\T_{\ell}$ bezeichnen wir mit $\widehat \T_{\ell}$ jene Partition die entsteht, wenn alle Elemente isotrop verfeinert werden.
\end{defi}
-\todo{
-Text der die Idee des Alg beschreibt + Vorüberlegungen}
+
+Für das Verständnis des folgenden Algorithmus benötigen wir noch einige Beobachtungen:
+\begin{itemize}
+ \item Sind $e,\tilde e \in \E_T$ Kanten von $T \in \T_{\ell}$ mit $e \cap \tilde e = \emptyset$, so liegen diese gegenüber und haben insbesondere dieselbe Länge. Falls $e$ verfeinert werden soll, muss zwingend auch $\tilde e$ verfeinert werden.
+ \item Es bezeichnet $\S_{\ell} := \{ e_T ~|~ T \in \T_{\ell}, e_T \in \E_T \}$ die Menge aller Kanten von $\T_{\ell}$, wobei es aufgrund der maximal drei Knoten auf einer Kante vorkommen kann, dass eine Kante $e \in \S_{\ell}$, die im inneren von $\Gamma$ liegt, nur zu einem Element $T\in\T_{\ell}$ gehört und nicht zu zwei. In diesem Fall gibt es eine Kante $\tilde e \in \S_{\ell}$ in der $e$ ganz enthalten ist. Sollte $e$ verfeinert werden, so muss zwingend auch $\tilde e$ verfeinert werden, damit nicht mehr als drei Knoten auf einer Kante entstehen.
+\end{itemize}
\begin{alg}[Verfeinern] \label{alg:refine} Sei $\T_{\ell}$ eine Partition und $\sqcap_{\ell} \subseteq \S_{\ell}$ eine Menge markierter Kanten. Nun sei $\sqcap_{\ell}^{(0)}:=\sqcap_{\ell}$ und $i=0$. Dann gehe so vor:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{(\roman{enumi})}
projects / bacc.git / commitdiff