\tableofcontents
\clearpage
-\section{Einleitung}
+\section{Einleitung}\label{sec:intro}
\todo{ \scriptsize
\begin{itemize}
\item kurz + praegnant, worum es geht (vgl. Mayr-Bakk, wo das exakt eine Seite ist)
\begin{align}
\begin{aligned}
- \varDelta u &= 0 \quad\text{ in } \Omega \subset \R^3,\\
-u &= g \quad \text{ auf }\Gamma,
+u &= g \quad \text{ auf }\Gamma := \partial \Omega,
\end{aligned}
\end{align}
-wobei $\varDelta u := \partial_x^2u+\partial_y^2u+\partial_z^2u$ den Laplace-Operator bezeichnet und $\Omega \subset \R^3$ eine beschränkte Teilmenge von $\R^3$ mit Lipschitz-Rand $\Gamma := \partial \Omega$ ist.\\
-In Abschnitt 2 stellen wir zunächst die Randelementmethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen vor. Dabei verwenden wir den indirekten Ansatz, um anschließend mithilfe des Galerkin-Verfahrens die Gleichung zu lösen. An dieser Stelle werden wir auch kurz die Parametrisierung des Randes vorstellen. Denn wir werden im Folgenden den Rand in affine achsenorientierte Rechtecke $T$ zerlegen, das heißt die Punkte in einem Rechteck liegen in einer zu den Achsen des Koordinatensystem parallelen Ebene.\\
-In Abschnitt 3 werden wir uns mit der approximativen Berechnung des Doppelintegrals
+wobei $\varDelta u := \partial_x^2u+\partial_y^2u+\partial_z^2u$ den Laplace-Operator bezeichnet und $\Omega \subset \R^3$ eine beschränkte Teilmenge von $\R^3$ mit Lipschitz-Rand $\Gamma$ ist.\\
+In Abschnitt \ref{sec:bem} stellen wir zunächst die Randelementmethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen vor. Dabei verwenden wir den indirekten Ansatz, um anschließend mithilfe des Galerkin-Verfahrens die Gleichung zu lösen. An dieser Stelle werden wir auch kurz die Parametrisierung des Randes vorstellen. Wir werden im Folgenden den Rand in affine achsenorientierte Rechtecke $T$ zerlegen, das heißt die Punkte in einem Rechteck liegen in einer zu den Achsen des Koordinatensystem parallelen Ebene.\\
+In Abschnitt \ref{sec:semi} werden wir uns mit der approximativen Berechnung des Doppelintegrals
\begin{align}\label{math:intro:int}
\int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x, \bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
\end{align}
-beschäftigen. $\kappa(\bs x, \bs y)$ sei hierbei eine asymptotisch glatte Kernfunktion. Speziell interessieren wir uns hierbei für die asymptotisch glatte Funktion $\abs{\bs x - \bs y}^{-1}$. Ziel wird es sein, das äußere Integral durch eine Gauss-Quadratur zu ersetzen. Unter bestimmten Zulässigkeits\-beding\-ungen werden wir zeigen, dass die Energienorm durch die Gauss-Quadratur bei steigendem Quadraturgrad exponentiell schnell gegen den exakten Wert konvergiert. Weiterhin betrachten wir die in Abschnitt 2 auftretende Matrix $A \in \R^{n\times n}$, deren Einträge $A_{jk}$ durch \eqref{math:intro:int} bestimmt werden. Denn wir werden eine approximative Matrix $A_p$ aufstellen, welche das durch Quadratur approximierte Integral für die zulässigen Einträge und für alle anderen das exakte Integral verwendet. Hiermit können wir dann Zeigen, dass die approximative Matrix unter der Frobeninusnorm exponentiell schnell gegen $A$ konvergiert.\\
-In Abschnitt 4 fassen wir kurz zusammen, wie wir das Doppelintegral in einfache Integrale zerlegen und anschließend voll analytisch berechnen können. Hierzu werden wir uns weitgehend an \cite{mai:3dbem} orientieren.\\
+beschäftigen. $\kappa(\bs x, \bs y)$ sei hierbei eine asymptotisch glatte Kernfunktion. Speziell interessieren wir uns hierbei für die asymptotisch glatte Funktion $\kappa(\bs x, \bs y) = \abs{\bs x - \bs y}^{-1}$. Ziel wird es sein, das äußere Integral durch eine Gauss-Quadratur zu ersetzen. Unter bestimmten Zulässigkeits\-beding\-ungen werden wir zeigen, dass der Quadraturfehler exponentiell schnell gegen 0 konvergiert. Weiterhin betrachten wir die in Abschnitt \ref{sec:bem} auftretende Matrix $A \in \R^{n\times n}$, deren Einträge $A_{jk}$ durch \eqref{math:intro:int} bestimmt werden. Denn wir werden eine approximative Matrix $A_p$ aufstellen, welche das durch Quadratur approximierte Integral für die zulässigen Einträge und für alle anderen das exakte Integral verwendet. Hiermit können wir dann zeigen, dass die approximative Matrix $A_p$ in der Frobeninusnorm exponentiell schnell gegen $A$ konvergiert.\\
+In Abschnitt \ref{sec:analyt} fassen wir kurz zusammen, wie wir das Doppelintegral in einfache Integrale zerlegen und anschließend voll analytisch berechnen können. Hierzu werden wir uns weitgehend an \cite{mai:3dbem} orientieren.\\
Abschließend werden wir kurz die numerische Umsetzung der Techniken vorstellen und anhand von numerischen Beispielen vergleichen. Hierbei wird uns die voll analytische und approximative Berechnung, sowie die adaptive und uniforme Netzverfeinerung besonders interessieren.
\clearpage
-\section{Randelementmethode}
+\section{Randelementmethode}\label{sec:bem}
\todo{ \scriptsize
\begin{itemize}
\item kuerzer als in Ferraz-DA \cite{fer:errbem}
\begin{align}\label{math:slp:lapGLS}
\begin{aligned}
- \varDelta u &= 0 \quad\text{ in } \Omega \subset \R^3, \\
-u &= g \quad \text{ auf }\Gamma,
+u &= g \quad \text{ auf }\Gamma := \partial \Omega,
\end{aligned}
\end{align}
-wobei $\varDelta u := \partial_x^2u+\partial_y^2u+\partial_z^2u$ den Laplace-Operator bezeichnet und $\Omega$ eine beschränkte Teilmenge von $\R^3$ mit Lipschitz-Rand $\Gamma := \partial \Omega$ ist.
+wobei $\varDelta u := \partial_x^2u+\partial_y^2u+\partial_z^2u$ den Laplace-Operator bezeichnet und $\Omega$ eine beschränkte Teilmenge von $\R^3$ mit Lipschitz-Rand ist.
% \begin{align}
% V \phi := \frac 1 {4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac {1}{\abs{\bs x - \bs y}} \phi(\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
\begin{align*} % \label{math:slp:fundamental}
G(\bs z) := \frac 1 {4 \pi \abs{\bs z}}.
\end{align*}
-Weiterhin sei $\tilde V$ gegeben durch
+Weiterhin sei das Einfachschicht Potential $\tilde V$ gegeben durch
\begin{align*} % \label{math:slp:tildeV}
- \tilde V\phi(\bs x) := \int_{\Gamma} G(\bs x -\bs y)\phi(\bs y) ds_{\bs y} \quad \text{für } \bs x \in \Omega
+ \tilde V\phi(\bs x) := \int_{\Gamma} G(\bs x -\bs y)\phi(\bs y) ds_{\bs y} \quad \text{für } \bs x \in \Omega.
\end{align*}
-und bezeichne $\gamma_0 \in L(H^1(\Omega)),H^{1/2}(\Gamma))$ den Spuroperator, der einer $C^{\infty}(\Omega)$-Funktion eine Funktion zuordnet sodass
+Das Integral ist hier als Oberflächenintegral zu verstehen. Mit $\gamma_0$, bezeichnen wir den Spuroperator, der für $C^{\infty}(\bar\Omega)$ Funktionen über
\begin{align*} % \label{math:slp:spurOp}
- \gamma_0 u = u|_{\Gamma}.
+ \gamma_0 u = u|_{\Gamma}
\end{align*}
+definiert ist und durch stetige Fortsetzung zu einem Operator $\gamma_0 \in L(H^1(\Omega)),H^{1/2}(\Gamma))$ wird.
In der schwachen Formulierung lautet die Laplace-Gleichung
\begin{align*} % \label{math:slp:lapGLS:weak}
- \varDelta u &= 0 \quad \text{ in } H^{-1}(\Omega), \\
\begin{align*}
-\varDelta\tilde V\phi = 0 \in H^{-1}(\Omega) \quad \text{für alle }\phi \in H^{-1/2}(\Gamma)
\end{align*}
-Insbesondere ist auch der Spuroperator
+Insbesondere ist auch die Spur
\begin{align*}
\gamma_0 \tilde V \in L(H^{-1/2}(\Gamma),H^{1/2}(\Gamma))
\end{align*}
\begin{align}\label{math:slp:gls}
V \phi = g
\end{align}
-mit $V := \gamma_0\tilde V$ gilt. Ziel ist es nun, aus \eqref{math:slp:gls} eine Funktion $\phi$ zu bestimmen, die die obige Gleichung erfüllt, denn dann ist mit festen Dirichlet-Daten $g$ $\tilde V\phi$ die eindeutige Lösung des Problems \eqref{math:slp:lapGLS}.
+mit $V := \gamma_0\tilde V$ gilt. Ziel ist es nun, aus \eqref{math:slp:gls} eine Funktion $\phi$ zu bestimmen, die die obige Gleichung erfüllt. Dann ist $\tilde V\phi$ die eindeutige Lösung des Problems \eqref{math:slp:lapGLS}.
\noindent
Da wir das Problem \eqref{math:slp:gls} im allgemeinen nicht Lösen können, werden wir es mithilfe des Galerkin-Verfahrens näherungsweise lösen. Die Idee dabei ist $H^{-1/2}(\Gamma)$ durch einen endlich dimensionalen Unterraum zu ersetzen.
\noindent
-Bezeichne nun $\langle \cdot, \cdot \rangle$ das erweiterte $L^2$-Skalarprodukt, so existiert, da $V$ ein symmetrischer und elliptischer Isomorphismus ist, auf $\widetilde H^{-1/2}$ ein äquivalentes Skalarprodukt $\llangle \cdot, \cdot \rrangle$ mit $\llangle \phi, \psi \rrangle := \langle V\phi,\psi\rangle$ und der induzierten Norm $\enorm{\cdot}$.
-Sei nun $\phi$ die eindeutige Lösung und bezeichne $g$ die Dirichlet-Daten am Rand. Dann gilt für die schwache Formulierung \eqref{math:slp:gls}
+Bezeichne nun $\langle \cdot, \cdot \rangle$ das erweiterte $L^2$-Skalarprodukt, so existiert, da $V$ ein symmetrischer, und mit geeigneter Skalierung ein elliptischer Isomorphismus ist, auf $\widetilde H^{-1/2}$ ein äquivalentes Skalarprodukt $\llangle \cdot, \cdot \rrangle$ mit $\llangle \phi, \psi \rrangle := \langle V\phi,\psi\rangle$ und der induzierten Norm $\enorm{\cdot}$.
+Sei nun $\phi$ die eindeutige Lösung von \eqref{math:slp:gls} und bezeichne $g$ die Dirichlet-Daten am Rand. Dann gilt
\begin{align}
\llangle \phi,\psi\rrangle = \langle g,\psi\rangle \quad \text{für alle }\psi \in \widetilde H^{-1/2}.
\end{align}
\noindent
-Sei nun $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\ldots,T_N\}$ eine Partition des Randes $\Gamma$ in $N$ Randstücke $T_1,T_2,\ldots,T_N$ mit der charakteristischen Funktion
+Sei nun $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\ldots,T_N\}$ eine Partition des Randes $\Gamma$ in $N$ Randstücke mit den charakteristischen Funktionen
\begin{align}
\chi_i(\bs x) &=
\begin{cases}
1&\text{für alle }\bs x \in T_i\\
0&\text{sonst}
\end{cases}
+ \quad \text{für alle } i\in\{1,2,\ldots,N\},
\end{align}
-für alle $i\in\{1,2,\ldots,N\}$. Dann kann die Funktion $\chi_i$ als Basis vom Raum $\P^0(\T_{\ell})$ verstanden werden. Wir suchen also die Lösung $\psi_{\ell} \in P^0(\T_{\ell})$ für
+und sei $\P^0(\T_{\ell}) := span\{\chi_i : i=1,\ldots,N\}$ der aufgespannte Teilraum von $\tilde H^{-1/2}(\Gamma)$. Wir suchen also die Lösung $\phi_{\ell} \in \P^0(\T_{\ell})$ für
\begin{align}
- \llangle \phi_{\ell},\psi_{\ell} \rrangle & = \langle f,\psi_{\ell} \rangle\quad\text{für alle } \psi_{\ell} \in P^0(\T_{\ell}),
+ \llangle \phi_{\ell},\psi_{\ell} \rrangle & = \langle f,\psi_{\ell} \rangle\quad\text{für alle } \psi_{\ell} \in \P^0(\T_{\ell}),
\end{align}
was aufgrund der Basiseigenschaft von $\chi_i$ eindeutig und äquivalent ist zu
\begin{align}
\begin{align}
\sum_{j=1}^N x_{\ell,j} \llangle \chi_j,\chi_i\rrangle = \langle g, \chi_i\rangle,
\end{align}
-wobei $\bs x_{\ell} = \{x_{\ell,1},x_{\ell,2},\ldots,x_{\ell,N}\}$ der Koordinatenvektor zur Basis $\chi_1,\ldots,\chi_N$ ist.
+wobei $\bs x_{\ell} = \{x_{\ell,1},x_{\ell,2},\ldots,x_{\ell,N}\}$ der Koordinatenvektor von $\phi_{\ell}$ zur Basis $\chi_1,\ldots,\chi_N$ ist.
So schreiben wir
\begin{align}
\bs V \bs x_{\ell} = \bs g_{\ell},
\end{align}
-mit Bezeichnungen $\bs V = \llangle \chi_j,\chi_i\rrangle$ und sei $\bs g_{\ell}\in\R^N$ mit den Koeffizienten $g_{\ell,i} = \langle g, \chi_j\rangle$.
+mit $\bs V = (\llangle \chi_j,\chi_i\rrangle)_{ij}$ und $\bs g_{\ell}= (\langle g, \chi_j\rangle)_j$.
In Integralschreibweise können wir $\bs V$ anschreiben als
\begin{align}
- V := \frac 1 {4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac {1}{\abs{\bs x - \bs y}} ds_{\bs y} ds_{\bs x}
+ \bs V_{ij} := \frac 1 {4\pi} \int_{T_j} \int_{T_k} \frac {1}{\abs{\bs x - \bs y}} ds_{\bs y} ds_{\bs x}
\end{align}
\end{align*}
die zu $T$ zugehörige Parametrisierung.
\end{defi}
-\begin{bem}Weiterhin werden wir die vier Ecken des achsenorientierten Rechtecks, beginnend in $\bs v$, mit $k_1,\ldots,k_4$ bezeichnen, wobei die Menge aller Knoten des Rechtecks $\K_T$ sei. Die Reihenfolge der Knoten sei dabei so gewählt, dass der Normalenvektor $\bs n$ auf das Element $T$ nach außen zeigt. Außerdem benennen wir die Menge der Kanten mit $\E_T$, bestehend aus den vier Kanten $e_1,\ldots,e_4$. In Abbildung~\ref{fig:net:single} wurde ein Rechteck mit den Bezeichnungen kurz skizziert.
+\begin{bem}Weiterhin werden wir die vier Ecken des achsenorientierten Rechtecks, beginnend in $\bs v$, mit $\bs k_1,\ldots,\bs k_4$ bezeichnen, wobei die Menge aller Knoten des Rechtecks $\K_T$ sei. Die Reihenfolge der Knoten sei dabei so gewählt, dass der Normalenvektor $\bs n = \overline {\bs k_1\bs k_2}\times\overline {\bs k_1\bs k_4}$ nach außen zeigt. Außerdem benennen wir die Menge der Kanten mit $\E_T$, bestehend aus den vier Kanten $e_1,\ldots,e_4$. In Abbildung~\ref{fig:net:single} wurde ein Rechteck mit den Bezeichnungen kurz skizziert.
\end{bem}
\begin{figure}[ht]
\centering
\psfrag{e2}{\scriptsize $e_2$}
\psfrag{e3}{\scriptsize $e_3$}
\psfrag{e4}{\scriptsize $e_4$}
-\psfrag{k1}{\scriptsize $k_1$}
-\psfrag{k2}{\scriptsize $k_2$}
-\psfrag{k3}{\scriptsize $k_3$}
-\psfrag{k4}{\scriptsize $k_4$}
+\psfrag{k1}{\scriptsize $\bs k_1$}
+\psfrag{k2}{\scriptsize $\bs k_2$}
+\psfrag{k3}{\scriptsize $\bs k_3$}
+\psfrag{k4}{\scriptsize $\bs k_4$}
\psfrag{n}{\scriptsize $\bs n$}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/net_single}
\caption{achsenorientiertes Rechteck}
\end{defi}
Mit diesen Vorüberlegungen definieren wir uns die Diskretisierung des Randes $\Gamma$.
\begin{defi}
-Sei $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine endliche Menge von achsenorientierten Rechtecken. Es bezeichne $\K_{\ell}:=\bigcup_{T\in\T} k_T$ die Menge der Knoten von $\T_{\ell}$ und $\E_{\ell}:=\bigcup_{T\in\T} e_T$ die Menge der Kanten. Wir nennen $\T_{\ell}$ eine Partition von $\Gamma$, falls
+Sei $\T_{\ell} = \{T_1,T_2,\dots,T_N\}$ eine endliche Menge von achsenorientierten Rechtecken. Es bezeichne $\K_{\ell}:=\bigcup_{T\in\T} \K_T$ die Menge aller Knoten von $\T_{\ell}$ und $\E_{\ell}:=\bigcup_{T\in\T} \E_T$ die Menge aller Kanten. Wir nennen $\T_{\ell}$ eine Partition von $\Gamma$, falls
\begin{itemize}
\item $\overline{\Gamma} = \bigcup_{j=1}^NT_j$
% \item alle Elemente aus $T_{\ell}$ sind abgeschlossene achsenorientierte Rechtecke
\end{figure}
\subsection{Verfeinern} \label{sec:bem:ref}
-\begin{defi}[Lokale Verfeinerung]
-Ein Element $T \in \T$ wird isotrop in vier Elemente $T_1,\ldots,T_4$ geteilt, wenn $T = \bigcup_{n=1}^4 T_n$ gilt und alle Söhne $T_1,\ldots,T_4$ ähnlich sind zum Vaterelement $T$. Weiterhin wird ein Element $T \in \T$ anisotrop in zwei Elemente $T_1,T_2$ geteilt, wenn ebenfalls $T = T_1 \cup T_2$ gilt und $T_1,T_2$ untereinander gleich sind. Hierbei kann $T$ entweder horizontal oder vertikal geteilt werden, wie in Abbildung~\ref{fig:refType} gezeigt ist.
+\begin{defi}[Lokale Verfeinerung] \label{thm:bem:localREF}
+Ein Element $T \in \T$ wird isotrop in vier Elemente $T_1,\ldots,T_4$ geteilt, wenn $T = \bigcup_{n=1}^4 T_n$ gilt und alle Söhne $T_1,\ldots,T_4$ ähnlich sind zum Vaterelement $T$. Weiterhin wird ein Element $T \in \T$ anisotrop in zwei Elemente $T_1,T_2$ geteilt, wenn ebenfalls $T = T_1 \cup T_2$ gilt und $T_1,T_2$ untereinander ähnlich sind. Hierbei kann $T$ entweder horizontal oder vertikal geteilt werden, wie in Abbildung~\ref{fig:refType} gezeigt ist.
\end{defi}
\begin{figure}[ht]
\centering
Für das Verständnis des folgenden Algorithmus benötigen wir noch einige Beobachtungen:
\begin{itemize}
\item Sind $e,\tilde e \in \E_T$ Kanten von $T \in \T_{\ell}$ mit $e \cap \tilde e = \emptyset$, so liegen diese gegenüber und haben insbesondere dieselbe Länge. Falls $e$ verfeinert werden soll, muss zwingend auch $\tilde e$ verfeinert werden.
- \item Es bezeichnet $\S_{\ell} := \{ e_T ~|~ T \in \T_{\ell}, e_T \in \E_T \}$ die Menge aller Kanten von $\T_{\ell}$, wobei es aufgrund der maximal drei Knoten auf einer Kante vorkommen kann, dass eine Kante $e \in \S_{\ell}$, die im inneren von $\Gamma$ liegt, nur zu einem Element $T\in\T_{\ell}$ gehört und nicht zu zwei. In diesem Fall gibt es eine Kante $\tilde e \in \S_{\ell}$ in der $e$ ganz enthalten ist. Sollte $e$ verfeinert werden, so muss zwingend auch $\tilde e$ verfeinert werden, damit nicht mehr als drei Knoten auf der Kante $\tilde e$ entstehen.
+ \item Es bezeichnet $\S_{\ell} := \{ (e,T) ~|~ T \in \T_{\ell}, e \in \E_T \}$ die Menge aller Kanten von $\T_{\ell}$, wobei es aufgrund der maximal drei Knoten auf einer Kante vorkommen kann, dass eine Kante $e \in \S_{\ell}$, die im inneren von $\Gamma$ liegt, nur zu einem Element $T\in\T_{\ell}$ gehört und nicht zu zwei. In diesem Fall gibt es eine Kante $\tilde e \in \S_{\ell}$ in der $e$ ganz enthalten ist. Sollte $e$ verfeinert werden, so muss zwingend auch $\tilde e$ verfeinert werden, damit nicht mehr als drei Knoten auf der Kante $\tilde e$ entstehen.
\end{itemize}
\begin{alg}[Verfeinern] \label{alg:refine} Sei $\T_{\ell}$ eine Partition und $\sqcap_{\ell} \subseteq \S_{\ell}$ eine Menge markierter Kanten. Nun sei $\sqcap_{\ell}^{(0)}:=\sqcap_{\ell}$ und $i=0$. Dann gehe so vor:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{(\roman{enumi})}
\item \label{alg:refine:first}
- $\sqcap_{\ell}^{(i+1)} := \sqcap_{\ell}^{(i)} \cup \{ e_{T'} \in \S_{\ell}\backslash\sqcap_{\ell}^{(i)} ~|~ \exists e_T \in \sqcap_{\ell}^{(i)}: e_{T'} \supsetneq e_T \}\\ \hfill \cup \{\tilde e_{T'} \in \S_{\ell} ~|~ \exists \tilde e_{T'}\in\E_{T'} : \tilde e_{T'}\cap e_{T'}=\emptyset\}$
+ $\sqcap_{\ell}^{(i+1/2)} := \sqcap_{\ell}^{(i)} \cup \{ (e,T) \in \S_{\ell}\backslash\sqcap_{\ell}^{(i)} ~|~ \exists (\tilde e,\tilde T) \in \sqcap_{\ell}^{(i)}$ mit $e \supsetneqq \tilde e \}$
+ \item
+ $\sqcap_{\ell}^{(i+1)} := \sqcap_{\ell}^{(i+1/2)} \cup \{(e,T) \in \S_{\ell}\backslash\sqcap_{\ell}^{(i+1/2)} ~|~ \exists (\tilde e,\tilde T) \in \sqcap_{\ell}^{(i+1/2)}$ mit $T=\tilde T$ und $e\cap \tilde e=\emptyset\}$
\item
Falls $\sqcap_{\ell}^{(i)} \subsetneqq \sqcap_{\ell}^{(i+1)}$, erhöhe Zähler $i \mapsto i+1$ und gehe zu Schritt \ref{alg:refine:first}
- \item Teile alle Elemente aus $\T_{\ell}$ bezüglich der markierten Kanten $\sqcap_{\ell}^{(i)}$, wie in der lokalen Verfeinerung vorgegeben
+ \item Teile alle Elemente aus $\T_{\ell}$ bezüglich der markierten Kanten $\sqcap_{\ell}^{(i)}$, wie in Definition \ref{thm:bem:localREF}.
\end{enumerate}
\end{alg}
\clearpage
-\section{Analytische und Semi-analytische Berechnung}
+\section{Analytische und Semi-analytische Berechnung} \label{sec:semi}
\todo{ \scriptsize
\begin{itemize}
\item Modellproblem $A_{kj} = \int_{Tj}\int_{Tk} \kappa(x,y) ds_y ds_x$
unter bestimmten Voraussetzungen an die affinen Randstücke $T_j,T_k$ und den asymptotisch glatten Integranden $\kappa : \R^3 \times \R^3 \to \R$.
\subsection{Interpolation}
-An dieser Stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. Ferner wollen wir mithilfe von Chebyshev-Knoten einen Fehlerschätzer für die Chebyshev'sche Interpolation auf Intervallen $[0,1]^d$ mit $d \in \N$ definieren. Im Folgenden bezeichnet $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad $\leq p$ auf $[0,1]$.
+An dieser Stelle werden wir zunächst den Interpolationsoperator auf dem Intervall $[0,1]$ definieren. Ferner wollen wir mithilfe von Chebyshev-Knoten eine Fehlerabschätzung für die Chebyshev'sche Interpolation auf Intervallen $[0,1]^d$ mit $d \in \N$ definieren. Im Folgenden bezeichnet $\P^p$ die Menge aller Polynome vom Grad höchstens $p$ auf $[0,1]$.
\begin{defi}
Für einen festen Grad $p \in \N$ und paarweise verschiedene Knoten $x_j \in [0,1]$ lautet das Lagrange'sche Interpolationsproblem:
% \begin{align}
% \Lambda_p &:= \max_{x\in[0,1]} \sum_{j=0}^p\abs{L_j(x)}.
% \end{align}
-Wie an der einfachen Fehlerabschätzung aus \cite[Theorem 1.17]{pla:nummat} für den Interpolationsoperator
+Wie an der Fehlerabschätzung aus \cite[Theorem 1.17]{pla:nummat} für den Interpolationsoperator
\begin{align*}
\norm{u-\I_pu}_{\infty,[0,1]} &\leq \frac{\norm{u^{(p+1)}}_{\infty,[0,1]}}{(p+1)!} \max_{x\in[0,1]} \prod_{j=0}^p \abs{x-x_j}
\quad \text{ für alle }u \in \C^{p+1}([0,1])
\end{align*}
durch benutzen von Chebyshev-Knoten minimieren \cite[Definition 1.22]{pla:nummat}. Diese sind für das Intervall $[-1,1]$ gegeben durch
\begin{align*}
- x_j &= \cos \left( \frac{2j-1}{p} \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{ für } j=1,\ldots,p.
+ x_j &= \cos \left( \frac{2j+1}{p+1} \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{ für } j=0,\ldots,p.
\end{align*}
Durch affine Transformation der Chebyshev-Knoten \cite[Theorem 1.25]{pla:nummat} ergibt sich die Fehlerabschätzung
\begin{align*}
wobei $\bs a,\bs b,\tilde{\bs a}, \tilde{\bs b} \in \R^3$ die paarweise verschiedenen Einheitsvektoren zu Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$ sind, gilt dann für die Verknüpfung $\kappa \circ g$ die Kettenregel
\begin{align*}
\abs{\partial^{\alpha}(\kappa \circ g)(\lambda)}
- &= \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha_1}\diam_{\bs b}(T_j)^{\alpha_2} \diam_{\bs a}(T_k)^{\alpha_3}\diam_{\bs b}(T_k)^{\alpha_4} \abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa (g(\lambda))}
+ &= \diam_{\bs a}(T_j)^{\alpha_1}\diam_{\bs b}(T_j)^{\alpha_2} \diam_{\tilde{\bs a}}(T_k)^{\alpha_3}\diam_{\tilde{\bs b}}(T_k)^{\alpha_4} \abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)} \kappa (g(\lambda))}
\end{align*}
für jeden Multiindex $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$, mit $\abs{\alpha} \geq 1$.
\end{lem}
\noindent
-Wir wollen nun zeigen, dass die approximierende Matrix bezüglich der Frobenius-Norm für wachsenden Quadraturgrad exponentiell schnell gegen die gegebene Matrix konvergiert. Die Frobenius-Norm ist hierbei gegeben durch
+Wir wollen nun zeigen, dass die approximierende Matrix bezüglich der Frobenius-Norm für wachsenden Quadraturgrad exponentiell schnell gegen die gegebene Matrix konvergiert. Die Frobenius-Norm ist gegeben durch
\begin{align*}
\norm{A}_F := \left( \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n A_{ij}^2 \right)^{1/2} \quad \text{für} \quad A \in \R^{n \times n}.
\end{align*}
\begin{sat}\label{thm:sem:quad:EAV}
- Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke. Sei $\kappa : \R^3\times \R^3 \to \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2$ und Singularitätsordung $s \geq 0$. Sei $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ wie in \eqref{math:sem:zetaQ:c} für $\zeta_Q$-zulässsige Rechtecke $T_j,T-k$ und für unzulässige sei $\tilde C_{\zeta_Q,j,k} = 0$ . Sei $A\in \R^{n \times n}$ eine Matrix, deren Einträge gegeben sind durch
+ Seien $T_1,T_2,\ldots,T_n$ Rechtecke. Sei $\kappa : \R^3\times \R^3 \to \R$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2$ und Singularitätsordung $s \geq 0$. Sei $\tilde C_{\zeta_Q,j,k}$ wie in \eqref{math:sem:zetaQ:c} für $\zeta_Q$-zulässsige Rechtecke $T_j,T_k$ und für unzulässige sei $\tilde C_{\zeta_Q,j,k} = 0$ . Sei $A\in \R^{n \times n}$ eine Matrix, deren Einträge gegeben sind durch
\begin{align*}
A_{jk}
&= \int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x,\bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}.
= & \frac{c_1}{(c_2 \dist(T_j,T_k))^s} \left( \frac{\diam(T_j)}{c_2 \dist(T_j,T_k)} \right)^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!\\
\leq& C_{\kappa}\rho_{\kappa}^{\abs{\alpha}}\abs{\alpha}!,
\end{align*}
-wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt abschließend die Abschätzung
+wobei $\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2) \in T_j$ sei. Daher sind die Voraussetzungen für Lemma \ref{thm:sem:ipolnD} erfüllt, und es gilt schließlich die Abschätzung
\begin{align*}
\norm{\kappa(\gamma_j(\cdot),\bs y)-\I_p^2\kappa(\gamma_j(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]^2}
&\leq C_{\kappa} 8e(1+\sqrt 2 \rho_{\kappa})\Lambda_p^2(p+1)\left(1+\frac{\sqrt 2}{\rho_{\kappa}}\right)^{-(p+1)}\\
\end{align*}
Dann gilt
\begin{align*}
- A_{jk} = A_{k_j},
+ A_{jk} = A_{kj},
\end{align*}
insbesondere ist auch die Integrationsreihenfolge aller Integrale beliebig.
\end{lem}
\begin{bem}
- Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_E$ zulässige Rechtecke. Ist $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ so kann Satz (\ref{thm:sem:quad:E}) angewendet werden um $A_{jk}$ zu approximieren. Im Fall $\diam(T_j) > \diam(T_k)$ können wir, da für $\zeta_E$-zulässige Elemente auch $\dist(T_j,T_k)>0$ gilt, $A_{jk}$ approximieren indem wir mithilfe von $A_{jk} = A_{kj}$ und Satz (\ref{thm:sem:quad:E}), $A_{kj}$ berechnen.
+ Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_E$ zulässige Rechtecke. Ist $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ so kann Satz \ref{thm:sem:quad:E} angewendet werden um $A_{jk}$ zu approximieren. Im Fall $\diam(T_j) > \diam(T_k)$ können wir, da für $\zeta_E$-zulässige Elemente auch $\dist(T_j,T_k)>0$ gilt, $A_{jk}$ approximieren indem wir mithilfe von $A_{jk} = A_{kj}$ und Satz \ref{thm:sem:quad:E}, $A_{kj}$ berechnen.
\end{bem}
\begin{defi} \label{thm:sem:quad:AE}
Diese Auslöschungseffekte lassen sich durch ein kleines Beispiel leicht erklären.
Hierzu betrachten wir beispielsweise die Stammfunktion des Integrals über ein Element von \eqref{math:sem:approx}
\begin{align*}
- F_{\bs x}(\bs y) = \int_{T_k} \frac 1 {\abs{\bs x -\bs y}} ds_{\bs y}
+ F_{\bs x} = \int \frac 1 {\abs{\bs x -\bs y}} ds_{\bs y}
\end{align*}
für festes $\bs x \in \R^3$, inklusive einer geeigneten Parametrisierung $\gamma_k : [0,1]^2 \to T_k$
\begin{align*}
- \tilde F_{\bs x}(\bs \lambda) = \int_{[0,1]^2} \frac 1 {\abs{\bs x -\gamma_k(\bs \lambda)}} d\bs \lambda.
+ \tilde F_{\bs x}(\bs s) = \int_0^{s_1} \int_0^{s_2} \frac 1 {\abs{\bs x -\gamma_k(\bs \lambda)}} d\lambda_2 d\lambda_1.
\end{align*}
- Die Stammfunktion ist trotz Parametrisierung stetig. Daher gilt für $T_k$ mit geringem Durchmesser $\diam(T_k)$ aber $\tilde F_{\bs x}(\lambda) \approx \tilde F_{\bs x}(\tilde \lambda)$ für alle $\lambda,\tilde \lambda \in [0,1]^2$, wodurch für den Ausdruck
+ Die Stammfunktion ist auch mit der Parametrisierung stetig. Daher gilt für $T_k$ mit geringem Durchmesser $\diam(T_k)$ aber $\tilde F_{\bs x}(\lambda) \approx \tilde F_{\bs x}(\tilde \lambda)$ für alle $\lambda,\tilde \lambda \in [0,1]^2$, wodurch für den Ausdruck
\begin{align*}
\tilde F_{\bs x}(0,0) - \tilde F_{\bs x}(1,0) -\tilde F_{\bs x}(0,1) + \tilde F_{\bs x}(1,1)
= \int_{[0,1]^2} \frac 1 {\abs{\bs x -\gamma_k(\bs \lambda)}} d\bs \lambda = \int_{T_k} \frac 1 {\abs{\bs x -\bs y}} ds_{\bs y}
\clearpage
-\section{Fastreguläre Partionierung in \Matlab}
+\section{Fastreguläre Partionierung in \Matlab} \label{sec:implement}
\todo{ \scriptsize
\begin{itemize}
\item Datenstruktur
\clearpage
-\section{Numerische Experimente}
+\section{Numerische Experimente}\label{sec:numexp}
\todo{ \scriptsize
\begin{itemize}
\item Zusammenfassung der h-h/2 Strategie (Ergebnisse aus Ferraz-DA und Paper), interessant sind nur eta und tilde-mu
% \setcounter{section}{0}
\newcounter{test}
-\setcounter{test}{1}
+\setcounter{test}{0}
\renewcommand{\thesection}{\Alph{test}} %BAD HACK braucht ein /stepcounter{test} nach jeder Section
-\section{Anhang Code}\stepcounter{test}
+\stepcounter{test}
+\section{Anhang Code}\label{sec:code}
\todo{
Die wichtigsten Funktionen
\begin{enumerate}
projects / bacc.git / commitdiff