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\def\q{\Q}
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\end{aligned}
\end{align}
wobei $\varDelta u := \partial_x^2u+\partial_y^2u+\partial_z^2u$ den Laplace-Operator bezeichnet und $\Omega \subset \R^3$ eine beschränkte Teilmenge von $\R^3$ mit Lipschitz-Rand $\Gamma$ ist.\\
-In Abschnitt \ref{sec:bem} stellen wir zunächst die Randelementmethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen vor. Dabei verwenden wir den indirekten Ansatz, um anschließend mithilfe des Galerkin-Verfahrens die Gleichung zu lösen. An dieser Stelle werden wir auch kurz die Parametrisierung des Randes vorstellen. Wir werden im Folgenden den Rand in affine achsenorientierte Rechtecke $T$ zerlegen, das heißt die Punkte in einem Rechteck liegen in einer zu den Achsen des Koordinatensystem parallelen Ebene.\\
+In Abschnitt \ref{sec:bem} stellen wir die Randelementmethode für die homogene Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen vor. Dabei verwenden wir den indirekten Ansatz, um anschließend mithilfe des Galerkin-Verfahrens die Gleichung zu lösen. An dieser Stelle werden wir auch kurz die Parametrisierung des Randes vorstellen. Wir werden im Folgenden den Rand in affine achsenorientierte Rechtecke $T$ zerlegen, das heißt die Punkte in einem Rechteck liegen in einer zu den Achsen des Koordinatensystem parallelen Ebene.\\
In Abschnitt \ref{sec:semi} werden wir uns mit der approximativen Berechnung des Doppelintegrals
\begin{align}\label{math:intro:int}
\int_{T_j} \int_{T_k} \kappa(\bs x, \bs y) ds_{\bs y} ds_{\bs x}
\end{align*}
wobei die Lagrange-Polynome $L_j$ definiert sind durch
\begin{align*}
-L_j(x) &= \prod_{i=0 \atop i\neq j}^p \frac{x-x_i}{x_j-x_i}.
+L_j(x) &= \prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{i=0}{i\neq j}}^p \frac{x-x_i}{x_j-x_i}.
\end{align*}
Mit diesem Wissen definieren wir uns nun den Interpolationsoperator $\I_p : \C[0,1]\to P^{p}$
\begin{align*}
\begin{align*}
(2p+1)g(p;y;x;0) = \begin{cases} \sgn(y-x) \log \abs{y-x}^{2p} & p=-1/2 \\(y-x) \abs{y-x}^{2p} & \text{sonst} \end{cases}
\end{align*}
-falls $x$ für $p\leq-1/2$ außerhalb des betrachteten Integrationsbereichs liegt.
+falls $x$ für $p\leq-1/2$ außerhalb des betrachteten Integrationsbereichs liegt.\\
Für beliebige $x,p,y, \lambda \in \R$ mit $\lambda \neq 0$ gilt die Rekursionsformel
\begin{align*}
(2p+1)g(p;y;x;\lambda) &= (y-x) \{(y-x)^2+\lambda^2\}^p + 2p\lambda g(p-1;y;x;\lambda).
\enorm{\phi - \phi_{\ell}}&\leq \frac 1{\sqrt{1-C_{sat}^2}}\eta_{\ell}.
\end{align*}
\end{defi}
-Der Schätzer ist berechenbar, liefert aber keine lokalen Beiträge und kann daher nicht unmittelbar verwendet werden, um einen adaptiven Algorithmus zu steuern. Hierzu definieren wir weitere Schätzer. Für jedes $T_j\in\T_{\ell}$ bezeichnen wir mit $\varrho_j>0$ den Durchmesser des größten eingeschriebenen Innenkreises in $T_j$ und mit $h_j:=\diam(T_j)>0$ den maximalen Durchmesser von $T_j$. Weiterhin definieren wir die lokalen Netzweiten $\varrho,h\in L^\infty$ durch $\varrho_{|T_j} = \varrho_j$ und $h_{|T_j} = h_j$.
+Der Schätzer ist berechenbar, liefert aber keine lokalen Beiträge und kann daher nicht unmittelbar verwendet werden, um einen adaptiven Algorithmus zu steuern. Hierzu definieren wir weitere Schätzer. Für jedes $T_j\in\T_{\ell}$ bezeichnen wir mit $\varrho_j>0$ den Durchmesser des größten eingeschriebenen Innenkreises in $T_j$ und mit $h_j:=\diam(T_j)>0$ den Durchmesser von $T_j$. Weiterhin definieren wir die lokalen Netzweiten $\varrho,h\in L^\infty$ durch $\varrho_{|T_j} = \varrho_j$ und $h_{|T_j} = h_j$.
\begin{defi}[A-posteriori Fehlerschätzer] Es bezeichne $\phi$ die exakte Lösung von \eqref{math:slp:gls}, $\phi_{\ell}$ die Galerkin-Lösung von \eqref{math:slp:gls:galerkin} auf dem Gitter $\T_{\ell}$ und $\hat \phi_{\ell}$ die Galerkin-Lösung auf dem uniform verfeinerten Gitter $\hat \T_{\ell}$. Dann gilt nach \cite[Theorem 3.2 und 3.4]{fer:errbem}, die Fehlerschätzer
\begin{align}
Anhand der Linien in \figLineB[], beobachten wir eine schnellere Konvergenz der "`adaptiv isotropen"' Strategie. Denn hier lässt sich eine Konvergenzrate von $\O(N^{-1/2})$ gegen 0 erkennen. Bei dieser Strategie erreichen wir für die gleiche Elementanzahl des $\T_{\ell}$ Gitters schon einen Fehler im Bereich von 0.1.
\noindent
-Betrachten wir nun die Strategie "`adaptiv anisotrop"' in \figLineC[], so beobachten wir eine kurzzeitig sehr starke Konvergenz, welche dann von unten gegen eine sehr gute Konvergenzrate von $\O(N^{-3/4})$ strebt. Hierbei erkennen wir, dass der Fehler der Energienorm schon im Bereich von 0.01 für die gleiche Elementanzahl liegt. Jedoch sehen wir auch, dass der Fehlerschätzer $\tilde \mu$ ab dieser Elementanzahl seine Konvergenzrate verliert und damit unzuverlässig wird.
+Betrachten wir nun die Strategie "`adaptiv anisotrop"' in \figLineC[], so beobachten wir eine kurzzeitig sehr starke Konvergenz, welche dann gegen eine sehr gute Konvergenzrate von $\O(N^{-3/4})$ strebt. Hierbei erkennen wir, dass der Fehler der Energienorm schon im Bereich von 0.01 für die gleiche Elementanzahl liegt. Jedoch sehen wir auch, dass der Fehlerschätzer $\tilde \mu$ ab dieser Elementanzahl seine Konvergenzrate verliert und damit unzuverlässig wird.
\noindent
Weiterhin können wir für alle drei Strategien anhand der Parallelität der Fehlerschätzer zum tatsächlichen Fehler, die Effektivität und Zuverlässigkeit der Fehlerschätzer erkennen. Sowie auch die Äquivalents des $h-h/2$ Schätzers zum lokalen $\tilde \mu$ Schätzers aufgrund der Parallelität zu beobachten ist. Außerdem beschreiben die Fehlerschätzer den tatsächlichen Fehler auch in der Größenordnung sehr gut.
In Abbildung \ref{fig:2DQuad:quad:err} haben wir die Ergebnisse der Fehler und Fehlerschätzer für die verschiedenen Quadraturgrade dargestellt. Wir beobachten, dass eine sowie zwei Auswertungsstellen, dargestellt durch die Linien in \figLineA[] und \figLineB[] instabil werden. Für die Quadraturgrade vier und acht dargestellt durch die Linien in \figLineC[] und \figLineD[], erkennen wir, dass die Berechnungen stabil bleiben und das auch für Elementanzahlen bei denen die analytische Berechnung (vergleiche Abbildung \ref{fig:2DQuad:verfeinern}) versagt.
\noindent
-Da wir möglichst ökonomisch arbeiten wollen, haben wir auch die Berechnungszeiten für die Matrix $\hat V_{\ell}$ in Abbildung \ref{fig:2DQuad:quad:time} untersucht. \todo{Wie sich leicht erkennen lässt sind die Berechnungszeiten für die verschiedenen Quadraturgrade etwa äquivalent. Lediglich die Quadratur mit 8 Auswertungsstellen benötigt für kleine Elementanzahlen etwas länger, wobei sie für große Anzahlen jedoch fast gleich ist. Daraus lässt sich ablesen, dass die Wahl des Quadraturgrades für große Netze kaum einen Einfluss auf die Berechnungszeit nimmt.}
+Da wir möglichst ökonomisch arbeiten wollen, haben wir auch die Berechnungszeiten für die Matrix $\hat V_{\ell}$ in Abbildung \ref{fig:2DQuad:quad:time} untersucht. Wie sich leicht erkennen lässt benötigt die Berechnung mit Quadraturgrad 8, dargestellt durch die Linie in \figLineD[] für 3000 Elemente etwa $1000$ Sekunden. Die Berechnungszeiten für die Quadraturgrade 1,2,4 benötigen hingegen wesentlich weniger Zeit und sind fast äquivalent. Sie Berechnen die $\hat V_{\ell}$ Matrix für 3000 Elmente in etwa $100$ Sekunden und sind damit etwa 16 Mal schneller als die Quadratur vom Grad 8.
\noindent
-Aufgrund dieser Ergebnisse werden wir für die Folgenden Berechnungen einen Quadraturgrad von 4 wählen. Denn wir wollen zum einen die Berechnungszeiten auch für kleine Netze gering halten und zum anderen die Stabilität der Berechnungen sicher stellen.
+Aufgrund dieser Ergebnisse werden wir für die Folgenden Berechnungen einen Quadraturgrad von 4 wählen. Denn wir wollen zum einen die Berechnungszeiten gering halten und zum anderen die Stabilität der Berechnungen sicher stellen.
\subsubsection{Vergleich verschiedener Berechnungsarten}
Wie wir für die analytische Berechnung mit adaptiv anisotroper Netzverfeinerung in Abbildung \ref{fig:2DQuad:verfeinern:err} gesehen haben, wird der Fehlerschätzer $\tilde \mu_{\ell}$ ab etwa 3000 Elementen instabil. Deswegen wollen wir an dieser Stelle verschiedene Strategien zur Approximation der Matrix $\hat V_{\ell}$ vorstellen.\\
\end{figure}
\noindent
-In Abbildung \ref{fig:2DQuad:sem:err} haben wir die Ergebnisse des Fehlers gegenüber der tatsächlichen Lösung und der Fehlerschätzer $\tilde mu,\eta$ für die drei Strategien in Abhängigkeit der Elementanzahl vom Netz $\T_{\ell}$ eingezeichnet. Anhand der \figLineA[]farbenen Linie, welche den Fehler und Fehlerschätzer der "`analytischen"' Strategie zeigt, beobachten wir wieder eine gute Konvergenzrate bis etwa 2000 Elemente. Ab dieser Grenze, die auch in \figErr[] eingetragen wurde, erkennen wir deutlich, dass der $\tilde \mu$ Schätzer im Gegensatz zu den anderen Strategien wieder steigt. Der Fehler und $\eta$ Schätzer bleibt für die "`analytische"' Strategie in diesem Vergleich jedoch weiterhin stabil, was auf die Wahl des Steuerparameters der Verfeinerung zurückzuführen ist. An den Linien in \figLineB[] und \figLineC[] können wir die Ergebnisse für die "`semianalytische QE"' und "`volle Quadratur"' Strategie ablesen. Beide Strategien führen zu den selben Ergebnissen und zeigen auch für Berechnungen über 2000 Elemente eine gute Konvergenzrate von $N^{-3/4}$.
+In Abbildung \ref{fig:2DQuad:sem:err} haben wir die Ergebnisse des Fehlers gegenüber der tatsächlichen Lösung und der Fehlerschätzer $\tilde mu,\eta$ für die drei Strategien in Abhängigkeit der Elementanzahl vom Netz $\T_{\ell}$ eingezeichnet. Anhand der \figLineA[]farbenen Linie, welche den Fehler und Fehlerschätzer der "`analytischen"' Strategie zeigt, beobachten wir wieder eine gute Konvergenzrate bis etwa 2000 Elemente. Ab dieser Grenze, die auch in \figErr[] eingetragen wurde, erkennen wir deutlich, dass der $\tilde \mu$ Schätzer im Gegensatz zu den anderen Strategien wieder steigt. Der Fehler und $\eta$ Schätzer bleibt für die "`analytische"' Strategie in diesem Vergleich jedoch weiterhin stabil, was auf die Wahl des Steuerparameters der Verfeinerung zurückzuführen ist. An den Linien in \figLineB[] und \figLineC[] können wir die Ergebnisse für die "`semianalytische QE"' und "`volle Quadratur"' Strategie ablesen. Beide Strategien führen zu den selben Ergebnissen und zeigen auch für Berechnungen über
+2000 Elemente eine gute Konvergenzrate von $N^{-3/4}$.
\noindent
In Abbildung \ref{fig:2DQuad:sem:cond} vergleichen wir noch einmal die Konditionszahlen der $\hat V_{\ell}$ Matrix für die verschiedenen Strategien. Auch hier wurde die \figErr[e] Grenzlinie bei etwa 2000 Elementen eingezeichnet. Anhand der Linie in \figLineA[] erkennen wir deutlich, dass ab der 2000 Elemente Grenze die Konditionszahlen für die analytische Berechnung sprunghaft gegenüber den Konditionszahlen der beiden Quadraturn in \figLineB[] und \figLineC[] ansteigen. Wir erkennen an dieser Stelle aber auch, dass die Kondtionszahlen der "`analytischen"' Berechnung schon ab 1000 Elementen von den Quadraturen geringfügig Abweichen und damit auf eine ungünstige Berechnung hindeuten.
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[Startnetz \label{fig:mesh:3DFichCube:start}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_3DFichCube_ref}}
- \subfloat[Netz nach 6 Schritten mit 381 Elementen \label{fig:mesh:3DFichCube:start}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_3DFichCube_6}}
+ \subfloat[Netz nach 6 Schritten mit 381 Elementen \label{fig:mesh:3DFichCube:steps}]{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/exmpl_3DFichCube_6}}
\caption{Fischer Würfel}
\label{fig:mesh:3DFichCube}
\end{figure}
+\noindent
+Bei den folgenden Berechnungen werden wir wieder den Algorithmus \ref{alg:adapt} mit Parametern $\theta=0.5,\nu=0.5$ zum Lösen von \eqref{math:bsp:FichCube:gls} verwenden, wobei für alle auftretenden Gauss-Quadraturen der Grad 4 gewählt wurde. Alle Berechnungsarten werden auf den selben Netzen ausgeführt um die Ergebnisse nicht durch die Wahl des Netzes zu beeinflussen.\\
+Wir werden nun die Matrix $\hat V_{\ell}$ in der "`analytischen"' Strategie durch die in Kapitel \ref{sec:analyt} vorgestellten Stammfunktionen analytisch berechnen.
-
-Siehe Abbildung \ref{fig:3DFichCube:sem}.
\begin{figure}[ht]
\end{figure}
+\noindent
+In Abbildung \ref{fig:3DFichCube:sem:err} betrachten wir den Fehler und die Fehlerschätzer $\eta,\tilde \mu$ der Galerkin-Lösung für die verschiedenen Strategien. Gerechnet wurde hierbei bis zu einer Elementanzahl von etwa 8000. Anhand der Linien in \figLineA[] erkennen wir für die "`analytische"' Berechnung wieder die erwartete Konvergenzrate von $N^{-3/4}$. Da die Kurven des $\tilde \mu$ und $\eta$ Schätzers wieder parallel zum Fehler verlaufen, sind die Fehlerschätzer $\tilde \mu$ und $\eta$ effektiv und zuverlässig. Ab 4000 Elementen beobachten wir am $\tilde \mu$ Schätzer, dass die Lösung instabil wird. Diese Grenze haben wir in \figErr[] eingezeichnet. Weiterhin erkennen wir anhand der Linien in \figLineB[] und \figLineC[], dass die Berechnungen mithilfe von Quadratur weiterhin stabil bleiben und wir dadurch einen Fehler der Energienorm von etwa 0.01 erreichen.
+\noindent
+Die Konditionszahlen der $\hat V_{\ell}$ Matrix sehen wir in Abbildung \ref{fig:3DFichCube:sem:cond}. Bis zu der Elementanzahl 4000 steigt die Kondition der Matrix für alle Strategien auf $10^9$ an. Für feinere Netze, erkennen wir ab der Grenze von 4000 Elementen wieder den sprunghaften Anstieg der Konditionszahl für die "`analytische"' Berechnung in \figLineA[].
+\noindent
+\todo{FAZIT}
-
+\subsection{Beispiel Neztverfeinerung}
% \showMesh[Beispiel 1.1]{exmpl11}
-\showMesh[Beispiel 1.2]{exmpl12}
-\showMesh[Beispiel 1.3]{exmpl13}
+
+\begin{figure}[ht]
+\caption{Beispiel 1.2}
+\label{exmpl12}
+\centering
+\subfloat[Lage]{\includegraphics[width=0.55\textwidth]{fig/exmpl12_ref}}
+\subfloat[Koordinaten]{\input{fig/exmpl12_coo}}\\
+\subfloat[Elemente]{\input{fig/exmpl12_ele}}
+\subfloat[Nachbarn]{\input{fig/exmpl12_nei}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht]
+\caption{Beispiel 1.3}
+\label{exmpl13}
+\centering
+\subfloat[Lage]{\includegraphics[width=0.55\textwidth]{fig/exmpl13_ref}}
+\subfloat[Koordinaten]{\input{fig/exmpl13_coo}}\\
+\subfloat[Elemente]{\input{fig/exmpl13_ele}}
+\subfloat[Nachbarn]{\input{fig/exmpl13_nei}}
+\end{figure}
% \begin{figure}[ht]
% \caption{Weitere Objekt Beispiele}
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DP
DP
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DP
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-DP
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1200 1139 mt 1166 1173 L
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4036 1907 mt 4002 1941 L
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-4156 1887 mt 4122 1921 L
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16 W
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DP
DP
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gr
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DP
DP
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DP
DP
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DP
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DP
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1200 1139 mt 1166 1173 L
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4036 2635 mt 4002 2669 L
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-4156 2718 mt 4122 2752 L
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gr
DD
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+3708 1337 mt 3674 1371 L
+3773 1248 mt 3807 1282 L
+3807 1248 mt 3773 1282 L
+3880 1156 mt 3914 1190 L
+3914 1156 mt 3880 1190 L
+4002 1049 mt 4036 1083 L
+4036 1049 mt 4002 1083 L
gr
/c11 { 0.000000 0.000000 0.900000 sr} bdef
c11
-128 -139 120 -126 122 -126 107 -109 99 -99 97 -94 94 -91 87 -80
-72 -67 55 -55 84 -83 54 -43 64 -57 60 -40 61 -66 61 -41
-45 -39 62 -46 48 -47 52 -24 70 -78 51 -15 90 -73 71 -20
-103 -95 123 -100 190 -126 254 -260 560 -269 1183 2901 30 MP stroke
-gs 1132 342 3187 2611 MR c np
-16 W
-1183 2901 PD
-16 W
-1743 2632 PD
+122 -107 107 -101 99 -91 97 -82 94 -91 87 -75 72 -72 55 -39
+84 -89 54 -24 64 -59 60 -63 61 -44 61 -49 45 -42 62 -53
+48 -41 52 -51 70 -65 51 -77 90 -58 71 -45 103 -97 123 -91
+190 -220 254 -217 560 -313 1183 2959 28 MP stroke
+gs 1132 552 2939 2459 MR c np
16 W
-1997 2372 PD
+1183 2959 PD
16 W
-2187 2246 PD
+1743 2646 PD
16 W
-2310 2146 PD
+1997 2429 PD
16 W
-2413 2051 PD
+2187 2209 PD
16 W
-2484 2031 PD
+2310 2118 PD
16 W
-2574 1958 PD
+2413 2021 PD
16 W
-2625 1943 PD
+2484 1976 PD
16 W
-2695 1865 PD
+2574 1918 PD
16 W
-2747 1841 PD
+2625 1841 PD
16 W
-2795 1794 PD
+2695 1776 PD
16 W
-2857 1748 PD
+2747 1725 PD
16 W
-2902 1709 PD
+2795 1684 PD
16 W
-2963 1668 PD
+2857 1631 PD
16 W
-3024 1602 PD
+2902 1589 PD
16 W
-3084 1562 PD
+2963 1540 PD
16 W
-3148 1505 PD
+3024 1496 PD
16 W
-3202 1462 PD
+3084 1433 PD
16 W
-3286 1379 PD
+3148 1374 PD
16 W
-3341 1324 PD
+3202 1350 PD
16 W
-3413 1257 PD
+3286 1261 PD
16 W
-3500 1177 PD
+3341 1222 PD
16 W
-3594 1086 PD
+3413 1150 PD
16 W
-3691 992 PD
+3500 1075 PD
16 W
-3790 893 PD
+3594 984 PD
16 W
-3897 784 PD
+3691 902 PD
16 W
-4019 658 PD
+3790 811 PD
16 W
-4139 532 PD
+3897 710 PD
16 W
-4267 393 PD
+4019 603 PD
gr
gr
A_plots({'meshSave/1432t05n05_3DFichCube_21'},'../doc/fig/1432t05n05_3DFichCube')
A_plots({'meshSave/1432t05n05_2DQuad_29'},'../doc/fig/1432t05n05_2DQuad')
-A_plots({'meshSave/2222t05n05_2DQuad_30'},'../doc/fig/2222t05n05_2DQuad')
+A_plots({'meshSave/2222t05n05_2DQuad_28'},'../doc/fig/2222t05n05_2DQuad')
close all
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--- /dev/null
+function recompute_time(filein,zeta)
+% dire = 'meshSave/';
+ rows = 13;
+
+% filein = [dire '132t05n05_2DQuad_'];
+
+% zeta = {[2 2 2] [2 2 2] [2 2 2]};
+
+for j=1:40
+
+ if(exist([filein num2str(j) '.mat'], 'file') ~= 2)
+ break
+ end
+
+
+ load([filein num2str(j)]);
+ [m n] = size(data);
+ step = round(n/rows);
+
+ typ = data(1,[2+(0:step-1)*rows])
+
+ [coo_fine,ele_fine,neigh_fine,f2s,sit_fine]...
+ =refineQuad(coordinates,elements,neigh,sites,2);
+
+ for i = 1:length(typ)
+
+ tic
+ V_fine = mex_build_V(coo_fine,ele_fine,zeta{i},typ(i));
+ time(j,i) = toc;
+
+ end
+% time
+ data(1:j,[3+11+(0:step-1)*rows])
+ data(1:j,[3+11+(0:step-1)*rows]) = time;
+ data(1:j,[3+11+(0:step-1)*rows])
+ save([filein num2str(j)],'data','-append');
+end
+
+end
\ No newline at end of file
projects / bacc.git / commitdiff