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--- a/Vorlesung.tex
+++ b/Vorlesung.tex
@@ -14,6 +14,7 @@
 \def\kgV{\text{kgV}}
 \def\ggT{\text{ggT}}
 \def\sgn{\text{sgn}}
+\def\ord{\text{~ord}}
 \def\mod{\text{~mod~}}
 
 %opening
@@ -163,4 +164,75 @@ Sind ferner $u \und v$ zwei Lösungen von $ax \equiv b\mod m$ , so gilt
 
 Alle $\mod m$ in kongruenten Lösungen sind daher gegeben durch $u, u+ \frac m d, u + \frac{2m}d,\dots, u+(d-1)\frac m d$ \hfill $\blacksquare$
 
+
+\section*{Vorlesung 18.4.12}
+\subsection*{Erweiterung 2.10}
+$m \in \P \Leftrightarrow \phi(m) = m-1$\\
+$\gamma = \lim_{n\to\infty}\left( \sum_{k=1}^n \frac 1 k - ln n \right) \approx 0.577\dots$
+
+\subsection*{Ergänzung 2.11}
+$n = 123$\\
+einsetzen Beispiel!
+
+\subsection*{Beweis 2.11}
+Sei $M_i = \frac {m_1m_2\dots m_r} {m_i} = m_1\dots m_{i-1}m_{i+1}\dots m_r, i = 1,2,\dots,r$ und sie $M_i^*$ Lösung von $M_ix\equiv 1 \mod m_i.$
+( Beachte, dass $\ggT(M_i,m) = 1$ wegen $\ggT(m_j,m_i) = 1 \forall j\neq i$)Es ist dann
+\begin{align}
+ x&= \sum_{i=1}^r a_iM_i^*M_i
+\end{align}
+Lösung des Kongruenzensystems wegen
+\begin{align}
+ x = \underbrace{\left( \sum_{k=1}^{i-1} a_k M_k^*\underbrace{M_k}_{\equiv 0 \mod m_i} \right)}_{0 \mod m_i}%
+  + \underbrace{a_i \underbrace{M_i^*M_i}_{\equiv 1 \mod m_i}}_{a_i \mod m_i}%
+  + \underbrace{\left( \sum_{k=i+1}^{r} a_k M_k^*\underbrace{M_k}_{\equiv 0 \mod m_i} \right)}_{0 \mod m_i}%
+  \equiv a_i \mod m_i,i= 1,2,\dots,r
+\end{align}
+
+Sind $x_1$ und $x_2$ beides Lösungend des Kongruenzensystems, d.h.
+\begin{align}
+ x_1 \equiv x_2 \equiv a_i mod m_i, i = 1,2,\dots,r
+\end{align}
+So folgt daraus sofort
+\begin{align}
+ m_i|x_1-x_2\forall i = 1,2,\dots,r &\Rightarrow \kgV(m_1,m_2m,\dots,r) = m_1m_2\dots M_r | x_1-x_2 \nonumber \\
+ &\Rightarrow x_1 \equiv x_2 \mod m_1,m_2,\dots,m_r
+ \hfill \blacksquare
+\end{align}
+
+\subsection*{Ergänzung 2.??}
+\begin{align}
+ m = m_1m_2\dots m_r , ggT(m_i,m_j)=1 \forall i\neq j \Rightarrow \phi(m_1,m_2,\dots m_r) = \phi(m_1)\phi(m_2)\dots\phi(m_r)
+\end{align}
+
+$ f:\N \to \N (k\in \N)$ d-h $\phi$-Funktion ist multiplikativ
+$n\mapsto n^k$ stark Multiplikativ
+
+\subsection*{Ergänzung 2.12}
+$\phi(p^e) = pe - \# \{ kp | k = 1,2,\dots,p^{e-1} \} = p^e-p^{e-1} = p^e(1- \frac{1}{p})$
+
+\subsection*{Beweis 2.13}
+Sei $\Z_m^* = \{ \bar a_1, \bar a_2, \dots, \bar a_{\phi(m)} \} $ die prime Restklassengurppe $\mod m$. Dann gilt für ein bel. $\bar a \in \Z_m^*$, dass
+\begin{align}
+ \bar a \Z_m^* = \{\bar a \bar a_1,\dots,\bar a \bar a_{\phi(m)}\} = \{ \bar{aa_1},\dots,\bar{aa_{\phi(m)}\} = \{ \bar a_1, \dots, \bar a_{\phi(m)} \}
+\end{align}
+(denn wäre $\bar a \bar a_i = \bar a \bar a_j$, für $i\neq j$, so wäre daruas durch Mult mit $\bar a^{-1}$ sofort $\bar a_i = \bar a_j,$ \blitza)
+
+\subsection*{Beweis 2.16}
+Setzen $e:= \ord_m(a)$
+\begin{enumerate}
+\item  Sei $a \equiv 1 \mod m und i = q\cdot e +r $ mit $0 \leq r\leq e$ ( Dann  $i$ durch $e $ ist Quotienten $q$ und Rest $r$).
+ Dann gilt:
+
+  $a^r\equiv a^{i-q\cdot e} \equiv a^i(a^e)^{-q} \equiv 1 mod m \Rightarrow r = \empty $ (Sonst Wiederspruch zur M eigenschaft von $e = \ord_m(a)$)
+  Umgekerht folgt aus $e|i$, als $ i= q\cdot e$ für ein $q \in \Z$, dass $a^i = a^{q \cdot e} = (a^e)^q \equiv 1 \mod m$
+
+  \item $a^i \equiv a^j \mod m \Leftrightarrow a^{i-j} \equiv 1 mod m \Leftrightarrow e|i-j \Leftrightarrow i \equiv j \mod e$
+  
+  \item
+\end{enumerate}
+
+$\Rightarrow \ord_(a^k) = \frac e {\ggT(k,e)}
+
+
+
 \end{document}