[doc] Kapitel 3 - Volle Quadratur finished?

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@@ -449,7 +449,7 @@ gilt, wobei $p$ das Interpolationspolynom von $f$ vom Grad $n$ zu den Knoten $x_
 %   \int_{T_j} \int_{T_k} &\approx \q_{T_j} \q_{J_1} \int_{J_2}
 % \end{align}}
 \subsection{voll analytische Berechnung des Doppelintegrals}
-\subsubsection{Glatter Kern}
+% \subsubsection{Glatter Kern}
 % Das Integral über $T_j$ kann durch die analytische Doppelintegral Funktion ersetzt werden. Die Quadratur über $T_k$ wird nun mittels einer doppelten Gauss-Quadratur berechnet.
 
 \begin{defi}
@@ -484,7 +484,7 @@ Dann gilt für alle $k\in \N_0$
 \end{align}
 \end{lem}
 \hfill$\square$
-\subsubsection{Quadratur}
+% Quadratur -----------------------------------------
 \begin{defi} Seien $T_j,T_k$ Rechtecke und sei $\zeta_Q > 0$ fest. Dann heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_Q$-zulässig, genau dann wenn
  \begin{align}\label{math:sem:zetaQ}
    \dist (T_j, T_k)&\geq \zeta_Q \max\{ \diam(T_j) , \diam(T_k)\}.
@@ -492,14 +492,14 @@ Dann gilt für alle $k\in \N_0$
  Andernfalls heißt das Paar $(T_j,T_k)$ $\zeta_Q$-unzulässig.
 \end{defi}
 
-\begin{sat} Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
+\begin{sat} \label{thm:sem:pol:V} Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke. Sei $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2>0$ und Singularitätsordung $s\geq0$. Dann gilt mit
   \begin{align*}
-     C_{\zeta_Q,j,k}&:=8e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_Q}{c_2} \right)
+     C_{\zeta_Q,j,k}&:=2^3e\frac{c_1}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_Q}{c_2} \right)
   \end{align*}
 die Abschätzung
   \begin{align*}
     \norm{\kappa(\cdot,\cdot)-\I_k^{T_j\times T_k}\kappa(\cdot,\cdot)}_{\infty,T_j\times T_k}
-    &\leq C_{\zeta,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-(p+1)}.
+    &\leq C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-(p+1)}.
   \end{align*}
 \end{sat}
 \beweis Zunächst definieren wir die Konstanten
@@ -540,16 +540,15 @@ Weiterhin folgt für $T_j \times T_k$
 \end{align*}
 womit der Beweis abgeschlossen ist.
 \hfill$\square$
-
-\subsubsection{Matrix}
-\begin{sat}
+% MatrixEINTRAG -------------------------------------------------
+\begin{sat}\label{thm:sem:quad:V}
 Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta_Q$-zulässige Rechtecke mit zugehörigen Parametrisierungen $\gamma_j,\gamma_k$. Sei weiterhin $\kappa : \R^3\times\R^3\to \R : (\bs x, \bs y) \mapsto \kappa(\bs x,\bs y)$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion mit Konstanten $c_1,c_2,s$. Sei
 \begin{align}
-  \tilde C_{\zeta,j,\kappa}
+  D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k)
 \end{align}
 und
 \begin{align}
-  D_{j,k} &= \diam_{\bs a}(T_j)\diam_{\bs b}(T_j)\diam_{\bs a}(T_k)\diam_{\bs b}(T_k).
+   \tilde C_{\zeta_Q,j,k}&:=2^4e\frac{c_1D_{j,k}}{(c_2\dist(T_j,T_k))^s} \left(1+\frac{\zeta_Q}{c_2} \right)
 \end{align}
 Dann gilt für das Integral
 \begin{align}
@@ -564,7 +563,7 @@ und für den durch die Gauss-Quadratur von $A_{jk}$ zum Grad $p$ entstehenden Te
 \end{align*}
 die Abschätzung
 \begin{align}
-.
+  \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}&= \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}
 \end{align}
 \end{sat}
 \beweis Da die Gauss-Quadratur ist interpolatorisch mit dem Exaktheitsgrad $2p+1$ ist gilt:
@@ -578,14 +577,17 @@ wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\b
   \abs{A_{jk} &- (A_p)_{jk}}\\
   &=D_{j,k} \Abs{\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) - \int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \I_{2p+1}^2\I_{2p+1}^2 \kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) dx dy}\\
   &\leq D_{j,k}\int_{[0,1]^2}\int_{[0,1]^2} \Abs{\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y)) -  \I_{2p+1}^2\I_{2p+1}^2 \kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))} dx dy\\
-  &=\why{\sup_{\bs y \in T_k,x_b} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]}}
+  &\leq D_{j,k} \norm{\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)-\I_{2p+1}^4\kappa(\gamma_{j | x_{\bs b}}(\cdot),\bs y)}_{\infty,[0,1]^4}
+\end{align*}
+Mithilfe von Lemma \ref{thm:sem:pol:V} erhalten wir die Behauptung
+\begin{align*}
+  \abs{A_{jk} - (A_p)_{jk}}
+  &\leq D_{j,k} C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^42(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}\\
+  &= \tilde C_{\zeta_Q,j,k}\Lambda_k^4(p+1)\left(1+\frac{2c_2}{\zeta_Q}\right)^{-2(p+1)}.
 \end{align*}
-
 \todo{\hfill$\square$\\}
 
-
-
-\begin{lem}
+\begin{lem} \label{thm:sem:switch}
   Seien $Tj,T_k$ zwei Randstücke, $\kappa$ eine asymptotisch glatte Kernfunktion und
   \begin{align}
     A_{jk} 
@@ -595,10 +597,15 @@ wobei $\I_{2p+1}$ den Chebyshev-Interpolationsoperator vom Grad $2p+1$ in $x_{\b
   \begin{align}
     A_{jk} = A_{k_j}.
   \end{align}
+\end{lem}
 \todo{\beweis
 \hfill$\square$}
 
-\end{lem}
+\begin{bem}
+  Seien $T_j,T_k$ zwei $\zeta$ zulässige Rechtecke. Ist $\diam(T_j) \leq \diam(T_k)$ so kann Satz (\ref{thm:sem:quad:V}) angewendet werden um $A_{jk}$ zu approximieren. Im Fall $\diam(T_j) > \diam(T_k)$ können wir $A_{jk}$ approximieren indem wir mithilfe von $A_{jk} = A_{kj}$ und Satz (\ref{thm:sem:quad:V}), $A_{kj}$ berechnen.
+\end{bem}
+\subsection{Approximierende Matrix}
+
 
 \subsection{Quadratur über eine Achse}
 \subsubsection{Quadratur}