modified: ue2.tex

			Bsp 7 hinzugefügt

diff --git a/UE/ue2.tex b/UE/ue2.tex
index 1e79539614308f9790f03dd6a84019ba58eb6be7..89fab3f8b45bbd46e73bc7f5f7f13820726ad998 100644 (file)
--- a/UE/ue2.tex
+++ b/UE/ue2.tex
@@ -30,6 +30,39 @@
 \begin{document}
 \maketitle
 \section*{2.Übung}
+\subsection*{7. Aufgabe}
+{\texttt{Man zeige, durch geschicktes Rechnen mit Kongruenzen und unter Berücksichtigung der beiden Darstellungen
+    \begin{equation}\label{darst641}
+      641=2^{7} \cdot 5 + 1= 5^{4} + 2^{4}
+    \end{equation}
+von $641$, dass $641$ ein Teiler der Fermatzahl $F_{5}=2^{2^{5}}+1$ ist.  }}
+Aus der Gleichung \eqref{darst641} erhält man durch Umformen sofort
+\begin{subequations}
+  \begin{align}
+    2^{7} \cdot 5 \equiv -1 \mod 641 \\
+\stackrel{\textsl{zur 4. Potenz}} \implies 2^{28}5^{4} \equiv 1 \mod 641 \label{darst1}
+  \end{align}
+\end{subequations}
+Weiters erhält man durch Umformen in \eqref{darst641}:
+\begin{equation}\label{darst2}
+    5^{4} \equiv -2^{4} \mod 641 
+\end{equation}
+Setzt man nun \eqref{darst2} in \eqref{darst1} ein, so erhält man zunächst
+\begin{equation}\label{gl1}
+  -2^{4}2^{28} = -2^{32} \equiv 1 \mod 641
+\end{equation}
+Unter Beachtung von 
+\begin{equation}\label{gl0}
+  1-F_{5}=1-\left( 2^{2^{5}}+1 \right) = 1- 2^{32} - 1 = -2^{32}
+\end{equation}
+erhält man nun durch Einsetzen der linken Seite von \eqref{gl0} in \eqref{gl1} das Folgende
+\begin{subequations}
+\begin{align}
+  1-F_{5} \equiv 1 \mod 641\\
+\implies -F_{5} \equiv 0 \mod 641\\
+\implies 641 \mid F_{5}
+\end{align}
+\end{subequations}
 \subsection*{8. Aufgabe}
 System von Gleichungen mit Teilerfremden $m_i$
 \begin{align}
@@ -108,18 +141,18 @@ So ergeben sich die Lösungen:
 Angenommen, man erhält eine Klasseneinteilung --> dann sind alle Klassen nichtleer und paarweise disjunkt.  Kann man nun für jede Klasse zeigen, dass $\vert C_{d} \vert = \varphi(d)$, so ist man fertig.  \\
 Nun gilt aber die Äquivalenz
 \begin{equation}
-  1 \leq x \leq n \land ggt(x,n)=d \Leftrightarrow 1 \leq x/d \leq n \land ggt(x/d,n/d)=1
+  1 \leq x \leq n \land \gcd(x,n)=d \Leftrightarrow 1 \leq x/d \leq n \land \gcd(x/d,n/d)=1
 \end{equation}
 Die Anzahl der Elemente auf der rechten Seite ist aber durch die phi-Funktion gegeben.  Mit $\varphi(n/d)$ durchläuft aber auch alle Teiler, da diese sich eindeutig entsprechen, da $n \neq 0$.  
 \subsection*{11. Aufgabe}
 {\texttt{Sei $p$ eine Primzahl und für jeden positiven Teiler $d$ von $p-1$ sei $A_{d}$ die Menge derjenigen Elemente in $\lbrace 1,2,\ldots, p-1 \rbrace$ mit der Ordnung $d$.  Wieviele Elemente hat ein $A_{d}$ unter der Voraussetzung, dass es nichtleer ist?  Warum folgt daraus mit Hilfe von Aufgabe $10$, dass keine der Mengen $A_{d}$ leer sein kann, insbesondere also $A_{p-1}$ nicht, d.h. es gibt eine Primitivwurzel mod $p$?}} \\
 Es gilt folgende Eigenschaft der Ordnung eines Elements $x$:
 \begin{equation}\label{ord}
-  ord(x)=m \implies ord(x^{k})=\frac{m}{ggT(k,m)}
+  ord(x)=m \implies ord(x^{k})=\frac{m}{\gcd(k,m)}
 \end{equation}
 Ist $A_{d}$ nichtleer, so wähle man ein Element $x_{0} \in A_{d}$ aus, nach obiger Formel \eqref{ord} folgt unter Berücksichtigung von 
 \begin{equation}
-  Z_{n}^{*} = \lbrace z \mid 1 \leq z \leq n \land ggT(z,n)=1 \rbrace, \quad \vert Z_{n}^{*} \vert = \varphi(n),
+  Z_{n}^{*} = \lbrace z \mid 1 \leq z \leq n \land \gcd(z,n)=1 \rbrace, \quad \vert Z_{n}^{*} \vert = \varphi(n),
 \end{equation}
 dass,
 \begin{equation}