[doc] kettenregel fin

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@@ -26,6 +26,18 @@
 \definecolor{dgreen}{rgb}{0,.8,.4}
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+\usepackage{fancyhdr}
+
+\pagestyle{fancy}
+\fancyhf{}
+\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
+
+% \lhead{\bf \large Aufgabe \thesubsection}
+% \chead{\thesection. Übung ZtuA}
+\rhead{\todo{ \scriptsize \today}}
+\cfoot{\thepage}
+% \setlength{\headheight}{4\baselineskip}
+
 
 
 \def\q{\Q}
@@ -510,7 +522,7 @@ Dann gilt für alle $p\in \N_0$
   \begin{align}
     g(\lambda) = (\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_3,\lambda_4)),
   \end{align}
-  wobei $\gamma_j$ die Parametrisierung des achsenorientierten Rechtecks $T_j$ aus Definition \ref{math:def:T} ist.
+  wobei $\gamma_j,\gamma_k$ die Parametrisierungen aus Definition \ref{math:def:T} seien.
   Mit der Hilfsfunktion $t_{jk} : \N^4 \rightarrow \N^6$
   \begin{align}
   t_{jk}(\alpha) =
@@ -519,12 +531,12 @@ Dann gilt für alle $p\in \N_0$
       \alpha_3 \cdot {\bs a_k} + \alpha_4 \cdot {\bs b_k}
     \end{pmatrix},
   \end{align}
-  wobei $\bs a_j,\bs b_j \in \R^3$ die paarweise verschiedenen Einheitsvektoren zur Parametrisierung $\gamma_j$ sind, gilt dann für die Verknüpfung $\kappa \circ g$ die Kettenregel
+  wobei $\bs a_j,\bs b_j \in \R^3$ die paarweise verschiedenen Einheitsvektoren zur Parametrisierung $\gamma_j$ sind und für den Index $k$ analog, gilt dann für die Verknüpfung $\kappa \circ g$ die Kettenregel
   \begin{align*}
     \abs{\partial^{\alpha}(\kappa \circ g)(\lambda)}
     &= \diam(T_j)_{\bs a}^{\alpha_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{\alpha_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{\alpha_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{\alpha_4} \abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}(\kappa)(g(\lambda))}
   \end{align*}
-  mit dem Multiindizes $\alpha \in \N_0^4$, wobei $\abs{\alpha} \geq 1$ gilt.
+  mit dem Multiindex $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$, wobei $\abs{\alpha} \geq 1$ gilt.
 \end{lem}
 \begin{beweis} Die Ableitung der Funktion $\kappa \circ g : \R^4 \to \R^6 \to \R$ ist
 \begin{align*}
@@ -551,7 +563,7 @@ wodurch sich die folgenden Ableitungen ergeben.
   \partial_2 g_{1,2,3}(\lambda) &= b {\bs b} &
   \partial_{3,4} g_{1,2,3}(\lambda) &= 0
 \end{align*}
-Für die letzten drei Komponenten
+Für die letzten drei Komponenten, wobei $\tilde{ \bs a}, \tilde{\bs b}$ analog definiert seien,
 \begin{align*}
   g_{4,5,6}(\lambda) &= \gamma_k(\lambda_3,\lambda_4) = \tilde {\bs v} + \lambda_3 \tilde a \tilde{ \bs a} + \lambda_4 \tilde b \tilde{  \bs b}
 \end{align*}
@@ -562,9 +574,7 @@ können wir die Ableitungen analog anschreiben. Hierbei müssen wir nur beachten
   \partial_4 g_{\ell}(\lambda) &= \tilde b \tilde{  \bs b}_{\ell -3}
 \end{align*}
 für $\ell \in \{4,5,6\}$ erhalten.\\
-Mit diesen Vorüberlegungen können wir, da $\kappa$ asymptotisch Glatt ist, $AB \in \R^{1 \times 4}$ anschreiben
-{%
-\newcommand{\mc}[3]{\multicolumn{#1}{#2}{#3}}
+Mit diesen Vorüberlegungen können wir, da $\kappa$ asymptotisch glatt ist, den Gradient $AB \in \R^{1 \times 4}$ anschreiben
 \begin{align}
   AB = 
   \begin{pmatrix}
@@ -572,11 +582,10 @@ Mit diesen Vorüberlegungen können wir, da $\kappa$ asymptotisch Glatt ist, $AB
   \end{pmatrix}
   \cdot
   \begin{pmatrix}
-  a {\bs a} & b {\bs b} & \mc{2}{c}{\bs 0}\\
-  \mc{2}{c}{\bs 0} &  \tilde a \tilde{ \bs a} &\tilde b \tilde{  \bs b}
+  a {\bs a} & b {\bs b} & \bs 0 & \bs 0\\
+  \bs 0 & \bs 0 &  \tilde a \tilde{ \bs a} &\tilde b \tilde{  \bs b}
   \end{pmatrix}.
 \end{align}
-}%
 Wenn wir die Summen der Einträge $(AB)_{1m}$ genauer betrachten, sehen wir, dass jeweils nur ein Eintrag $\neq 0$ ist, da $\bs a, \bs b, \tilde {\bs a}, \tilde {\bs b} $ Einheitsvektoren sind.\\
 Mit der Hilfsfunktion 
 \begin{align*}
@@ -595,8 +604,8 @@ für die Einheitsvektoren mit dem Skalarprodukt $\cdot$, können wir den Gradien
 \end{align*}
 % \end{equation}
 genau anschreiben, wobei auch hier wieder auf die richtige Indizierung geachtet werden muss.\\
-Des Weiteren bestehen die ersten Ableitungen nur aus einem Skalar und dem asymptotisch Glatten Kern $\partial_{\ell}\kappa(g(\lambda))$, weshalb wir die Kettenregel beliebig oft anwenden können.
-Mithilfe der Funktion $t_{jk} : \N^4 \rightarrow \N^6$ können wir abschließend für Multiindizes $\alpha \in \N_0^4$ die partiellen Ableitungen  $\partial^{\alpha} (\kappa \circ g)(\lambda)$ anschreiben
+Des Weiteren bestehen die ersten Ableitungen nur aus einem Skalar und dem asymptotisch glatten Kern $\partial_{\ell}\kappa(g(\lambda))$, weshalb wir die Kettenregel beliebig oft anwenden können.
+Mithilfe der Funktion $t_{jk} : \N^4 \rightarrow \N^6$ können wir abschließend für Multiindex $\alpha \in \N_0^4$ die partiellen Ableitungen  $\partial^{\alpha} (\kappa \circ g)(\lambda)$ anschreiben
 \begin{align*}
   \partial^\alpha (\kappa \circ g)(\lambda) &= a^{\alpha_1} b^{\alpha_2} \tilde a^{\alpha_3} \tilde b^{\alpha_4} \cdot \partial^{t_{jk}(\alpha)}\kappa(g(\lambda)).
 \end{align*}
@@ -630,7 +639,7 @@ schreiben.\\
 Bezeichnet $\gamma_j$ die Parametrisierung von $T_j$, so gilt aufgrund der Kettenregel
 \begin{align*}
 %   \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa} &=
-  \Abs{\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}
+  \Abs{\partial_\lambda^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa(\gamma_j(\lambda_1,\lambda_2),\gamma_k(\lambda_1,\lambda_2))}
   &= \diam(T_j)_{\bs a}^{\alpha_1}\diam(T_j)_{\bs b}^{\alpha_2} \diam(T_k)_{\bs a}^{\alpha_3}\diam(T_k)_{\bs b}^{\alpha_4} \abs{\partial^{t_{jk}(\alpha)}(\kappa)(g(x))}\\
 %   &=\diam_{\bs a}(T_j)^{\bs a \alpha}\diam_{\bs b}(T_j)^{\bs b \alpha}\diam_{\bs a}(T_k)^{\bs a \beta}\diam_{\bs b}(T_k)^{\bs b \beta}
 %     \Abs{(\partial_x^{\alpha}\partial_y^{\beta}\kappa)(\gamma_j(x),\gamma_k(y))}\\